Latin 方陣和二維量子漫步相結合的圖像加密

蔣建偉，張 田，陳禎羽，馬鴻洋*

(1.青島理工大學信息與控制工程學院 山東 青島 266520；2.青島理工大學理學院 山東 青島 266520)

隨著互聯網與多媒體技術的快速發展，信息的安全性問題日益凸顯。數字圖像作為信息傳輸的主要載體之一，如何有效地保護圖像的信息不被竊取是當今的一個熱門研究課題。保護圖像信息安全的方法主要分為兩類：圖像加密[1-5]和圖像水印[6-9]。圖像加密的原理是針對圖像的像素點的位置和像素值按照特定的方式做出改變，從而在變換之后的圖像上無法獲取原圖像的數據信息；圖像水印是通過把圖像嵌入載體圖像以此來達到隱藏圖像信息的效果。如今的圖像加密技術已經發展得比較成熟，其中主流的加密方法有： DNA 編碼加密[10-12]、混沌系統加密[13-15]、魔方置亂加密[16-18]、 Arnold 置亂變換[19-22]等。

Arnold 置亂變換是在研究遍歷理論時提出的一種變換方法。由于Arnold 置亂變換最初的實驗對象是貓的圖片，所以Arnold 置亂變換也叫作“貓臉變換”。Arnold 置亂變換是一種在有限區域內進行反復折疊和拉伸變換的置亂方法，憑借其置亂直觀、具有周期性等多種優點，經常與混沌系統相結合被用于圖像加密。文獻[23]在Arnold 置亂變換和混沌系統的基礎上，設計了一種以彩色圖像為載體的抵抗幾何攻擊的數字水印方案。該算法可以有效地解決圖像質量和魯棒性之間的沖突問題。文獻[24]提出了一種基于Arnold 置亂變換和Hardmard 單像素的彩色圖像加密算法。該加密算法只需要一個桶形探測器就可以對彩色圖像實現成像質量好、安全性能高的加密效果。

近年來，量子計算與量子通信飛速發展，為許多經典算法難以有效解決的難題提供了新的思路以及發展方向。量子隨機行走是經典隨機行走與量子計算相結合而生成的。量子隨機行走已與多種經典算法相結合，存在于許多加密以及搜索算法中[25-28]。量子隨機行走相比于經典隨機行走主要有兩方面的優勢：1)量子隨機行走具有量子計算的并行性特點，因此它有著更快的運行速度；2)量子隨機行走有著更大的密鑰空間，如果把量子隨機行走應用于加密算法中，能使加密算法中的隨機序列有更強的隨機性，加密圖像從而可以更好地抵御暴力攻擊。文獻[29]設計了一種基于量子漫步和離散余弦變換的彩色圖像加密方案，利用量子漫步的控制參數替代隨機掩膜來作為加密過程中的密鑰，有利于密鑰的管理與傳輸。文獻[30]將量子漫步與雙隨機相位編碼技術相結合，提出了一種新型圖像加密技術，量子漫步被用來在雙隨機相位編碼的過程中生成隨機掩碼。

Latin 方陣是一種特殊的方陣，它的每一行或每一列中的元素各不相同，但是每一行以及每一列中的元素種類是相同的。Latin 方陣具有直方圖均勻、密鑰空間大等諸多優點，在圖像加密方面有很大優勢[31-33]。文獻[34]將Latin 方陣與混沌系統相結合研究出了一種圖像加密方案，該加密算法利用Latin 方陣與混沌系統的同質性使得方案本身具有更好的混淆和擴散效果。文獻[35]設計了一種新型的圖像加密方案：首先利用混沌系統生成隨機序列，再利用兩個隨機序列生成Latin 方陣，然后用Latin 方陣以及隨機矩陣完成像素值替代，從而完成圖像加密。

本文將Arnold 變換與Latin 方陣、量子漫步相結合，設計了一種新型的圖像加密方式。其中Arnold 變換和Latin 方陣用來對圖像進行處理，然后對置亂之后的圖像使用加取模擴散方法進行像素值的變換。解密過程為加密過程的逆過程。

1 相關工作

1.1 Arnold 置亂變換

Arnold 置亂變換被定義為：

式中， αn, βn表示變換前圖像中的像素點坐標；αn+1和 βn+1表示經過變換之后圖像的像素點坐標；N表示圖像的長度；n表 示當前所變換的次數；x,y為參數(本文采用x=y=1)。在圖像解密時，可以用Arnold 反變換(這里 α=β=1)，反變換的公式為：

Arnold 置亂變換的原理如圖1 所示。

圖1 Arnold 變換原理圖

1.2 量子漫步

量子漫步是量子計算中的一個重要模型。如今量子漫步有連續量子漫步和離散量子漫步兩種計算模型，本算法利用的是離散時間量子漫步。離散量子漫步是經典漫步與量子計算結合而來的。離散量子漫步在經典漫步的基礎上引入了硬幣態的概念，它的每步行走由硬幣態控制操作和偏移操作共同決定。首先進行硬幣態操作，再由硬幣態的輸出來決定下一步如何移動。而量子漫步的希爾伯特空間由粒子的位置空間與硬幣空間張量而成，故量子漫步的動態演化可以看作是一個酉算符反復作用到疊加態上，其中酉算符可以表示為：U=SC，其中，S為偏移算子，C是硬幣算符。

本文采用Hardmard 算子作為硬幣算符，S作為偏移算子。當硬幣態為0 時，位置態將前進一步；反之當硬幣態為1 時，位置態將后退一步：

在二維空間內的交替量子漫步中，如圖2 所示，偏移算子可看作兩部分組成：X軸方向上的偏移算子和Y軸上的偏移算子：

圖2 量子漫步原理圖

假定交替量子漫步的初始態為 | ψ0〉，則在N步行走之后的疊加態為：| ψN〉=UN|ψ0〉。

根據漫步在位置(x,y)的概率大小得到概率矩陣：

1.3 Latin 方陣

對于一個n階方陣A=(ai,j)n×n，如果該方陣正好有n種不同的元素，并且每一種元素在同一行或同一列里只出現一次，那么這種方陣稱作Latin 方陣。Latin 方陣在圖像加密中具有促進像素值的均勻分布，平衡圖像矩陣中的像素值的作用。圖3a～圖3d 分別對應3～6 階Latin 方陣。

圖3 Latin 方陣

2 算法流程

該算法的加密過程分為4 個過程：1) Arnold變換；2)利用量子漫步生成隨機序列從而生成Latin 方陣；3)由Latin 方陣和兩個隨機矩陣生成與圖像矩陣做異或操作的密鑰矩陣；4)對圖像進行加取模擴散處理。如圖4 所示。

圖4 算法流程圖

2.1 加密步驟

1)輸入待加密的大小為M×N的彩色圖像I，將圖像分別按行、列進行位置置亂得到初步置亂圖像Io，然后把初步置亂圖像Io分解成3 個單通道圖像R1,G1,B1：

2)對分離后的3 個單通道圖像R1,G1,B1分別進行Arnold 置亂，得到單通道像素點置亂圖像R2,G2,B2。Arnold 置亂變換的公式如下：

3)通過離散量子漫步生成一個長度為512 的隨機序列P1，然后把該隨機序列平均分成兩個長度為256 的隨機序列P2和P3，并對兩個隨機序列利用文獻[32]中的方法生成Latin 方陣LS：

4)利用量子漫步生成兩個長度為M×N的隨機序列P4和P5，通過如下的方法將隨機序列的各個數據轉化為大小在0～255 的序列S1和S2，然后把S1和S2轉 化為大小為M×N的矩陣Q1和Q2：

5)利用Latin 方陣LS、Q1和Q2生成新的密鑰矩陣Q3。 其中將LS作為 參 考 矩陣，Q1和Q2分別控制查找行、列：

6)將三通道圖像R2,G2,B2分別與得到的密鑰矩陣Q3按 位異或得到圖像R3,G3,B3，即：

7)對圖像R3,G3,B3進行加取模正向、逆向擴散處理得到單通道加密圖像R4,G4,B4，加取模擴散算法的正向以及逆向公式為：

式中，Ci代 表R,G,B這3 個單通道加密圖像；Pi代表R3,G3,B3；Si代 表隨機序列；Di代表經過加取模擴散得到的單通道加密圖像R4,G4,B4。

8)將3 個單通道加密圖像合并得到最終加密彩色圖像Ie。

2.2 解密步驟

1)將加密圖像Ie的R,G,B三通道分離，得到3 個單通道加密圖像R4,G4,B4：

2)對單通道加密圖像R4,G4,B4進行加取模逆向、正向逆擴散處理得到圖像R3,G3,B3。加取模擴散算法的正向以及逆向公式為：

3)將R3,G3,B3這3 幅單通道圖像分別與加密階段量子漫步產生的密鑰矩陣Q3進行按位異或操作，得到圖像R2,G2,B2：

4)對得到的R2,G2,B2這3 幅單通道圖像分別進行Arnold 反變換，得到圖像R1,G1,B1。Arnold 反變換公式如下：

5)將R1,G1,B1三通道圖像合并，并對其進行行列置亂逆變換，得到解密圖像。

3 實驗結果及性能分析

為驗證加密算法的可靠性與安全性，本文主要對Plane、Boat、Milk 和Lena 4 幅大小為512×512的彩色圖像進行仿真實驗以及結果分析。本文量子漫步選用參數(400, 801, π/3, π/2)。下面對圖像的直方圖、信息熵、相關性、抗攻擊性、密鑰空間及密鑰敏感性多性能進行分析。

3.1 仿真結果

為證明該加密算法的可行性，本文對4 幅彩色圖像進行了仿真實驗，實驗結果如圖5 所示。由圖5 可見，在加密后的圖像上無法獲得任何原圖像的視覺信息，而解密后的效果與原圖視覺感上是一致的。

圖5 加密和解密圖像

3.2 直方圖分析

直方圖由一系列垂直的條紋組成，用以表示數據的分布情況：橫軸為像素值，代表0～255 的色階；縱軸表示圖像中此像素值的像素點個數。本文對圖像的原圖及其加密圖像的R,G,B三通道分別進行了直方圖測試，測試結果如圖6～圖8 所示。

圖6 R 通道原圖、加密圖像及其直方圖

圖7 G 通道原圖、加密圖像及其直方圖

圖8 B 通道原圖、加密圖像及其直方圖

原圖像的直方圖像素分布不均，高低錯落易于進行統計學分析，而加密后的圖像像素分布均勻，無法據此進行統計學分析，具有良好的加密效果，能有效抵御統計學分析攻擊。

3.3 信息熵分析

信息熵在描述圖片像素點混亂程度上扮演著重要的角色。信息熵可以由以下公式計算得出：

式中，pi代表每個像素值出現的概率；N表示整幅圖像像素點的數量總和。加密過程中像素值為[0,255]，加密圖像信息熵值越接近8.0，說明圖像的加密效果越好。本文測試了4 幅加密圖像的熵值，信息熵值如表1 所示，并將加密的Lena 圖像與文獻[36]及文獻[37]中的實驗Lena 圖像作了熵值對比。由本方案得到加密圖像的信息熵值約在7.999 2 左右，接近于理想值8。因此，本文提出的加密算法具有良好的加密效果。

表1 加密圖像信息熵

3.4 相關性分析

一副完整的圖像中相鄰像素之間具有很強的相關性，而加密效果好的算法往往能消除像素間的相關性。相鄰像素的相關性主要體現在水平、垂直和對角方向上，且一般的彩色圖像像素之間的相關性基本近似線性關系且相關系數趨近于1。對每一幅圖像隨機選擇3 000 對像素值分別計算各方向的相關系數，計算相關系數的公式為：

式中， cov(x,y)表 示相鄰像素點x和y之間的協方差；D(x)和D(y) 分 別表示像素點x和y的方差。本方案對Plane、Boat、Milk 3 幅彩色圖像的加密圖像進行了相關性分析，測試結果如表2 所示(視覺化效果如圖9～圖11 所示)。從相關性數值來看，各個方向的相關性均趨近于0，從圖中看到加密前的圖像相關性很強、呈線性關系，而加密后的圖像像素之間的關系基本上不存在，像素無序分布，表明算法具有良好的加密效果。通過與其他方法比較，說明該加密算法有較好的加密效果。

表2 像素相關性分析

圖9 圖像Plane 和其對應的加密圖像的三通道相關性圖

3.5 抗噪聲攻擊性分析

在加密圖像的數據傳輸過程中，可能會或多或少地摻入噪聲，從而影響圖像的解密。所以對于加密圖像來說，抵抗噪聲的能力是評價加密算法的一個重要指標。高斯噪聲和椒鹽噪聲是最為常見的兩類噪聲，對加密圖像Plane 分別加入強度為5%的椒鹽噪聲和均值為0、方差為0.000 5 的高斯噪聲，圖12和圖13 分別為加密圖像Plane 加入椒鹽噪聲和高斯噪聲之后的圖像以及其對應的解密后的圖像。實驗結果表明，該加密算法有著良好的抵抗噪聲的能力。

圖12 加入椒鹽噪聲的加密圖像及對應的解密圖像

圖13 加入高斯噪聲的加密圖像及對應的解密圖像

3.6 抗裁剪攻擊性分析

加密圖像在網絡傳輸中，可能會出現某一塊區域的像素點丟失。因此，加密算法必須具有在加密圖像缺損情況下解密的能力。如果在加密圖像缺損情況下，原始信息在解密之后得以保留，說明該算法可以有效抵抗外界的裁剪攻擊。對加密圖像Plane移除一塊 8 0×80像 素的紅色通道、一塊 50×80像素的綠色通道和一塊 6 0×50像素的全通道，然后對其進行密，裁剪加密圖像及其對應的解密之后的圖像如圖14 所示。實驗結果表明，在加密圖像的某一塊區域的像素值缺失時，經過解密可以恢復原始圖像信息，說明該加密算法具有良好的抵抗裁剪攻擊的能力。

圖14 裁剪之后的加密圖像及對應的解密圖像

3.7 密鑰空間分析

一個優良的加密算法往往具有一個足夠大的密鑰空間。密鑰空間越大，該算法抵抗外界暴力攻擊的能力越強。在本加密算法中使用了交替量子漫步，交替量子漫步提供了無限的密鑰空間。密鑰空間在理論上達到2100時，加密圖像就可以有效地抵抗暴力攻擊。如果計算精度為1 0-15，那么該算法的密鑰空間為1 060，這對保護加密圖像的安全性已經足夠了，因此該算法可以有效抵抗外部的暴力攻擊。

3.8 密鑰敏感性分析

差分攻擊是破解加密圖像的另一種常用手段。差分攻擊是外界對原待加密圖像的數據信息做微小的變動，然后利用加密算法對改變后的數字圖像和原待加密圖像分別進行加密，然后把兩幅加密后的密文圖像進行對比，找出原圖像數據與加密圖像數據之間的內在聯系，利用二者之間的聯系來進行破解加密圖像。為了應對差分攻擊，加密算法應該對密鑰足夠敏感。即當密鑰發生一點變化，產生的加密結果應該是與原加密結果完全不同的。像素改變率(NPCR)和統一平均變化強度(UACI)是檢驗加密算法的密鑰敏感性的兩個重要指標，分別定義為：

式中，P1和P2分別代表密鑰改變前后生成的兩幅加密圖 像。如果P1(i,j)=P2(i,j)，Q1(i,j)=0，反 之Q(i,j)=1，稍微改變隨機行走的一個參數，產生其對應的加密圖像，然后計算兩幅加密圖像的NPCR 和UACI，結果如表3 所示。并將Lena 圖像的測試結果與文獻[38]及文獻[39]中的測試結果進行對比。測試結果表明，該加密算法具有良好的密鑰敏感性。

表3 密鑰敏感性分析 %

4 結 束 語

本文將Arnold 變換與Latin 方陣、量子漫步相結合，設計了一種新型的彩色圖像加密方法。首先把彩色圖像三通道分離，然后通過Arnold 變換對三幅單通道圖像進行置亂處理。另一方面，利用量子漫步產生Latin 方陣和隨機矩陣對初步置亂圖像進一步處理，然后對處理之后的圖像使用加取模擴散方法進行像素值的變換，最后把3 個單通道圖像合并得到加密圖像。經過實驗仿真結果分析，加密圖像的相關性非常低，信息熵接近于8，說明本文提出的算法具有比較良好的抵抗統計分析的能力；經過噪聲攻擊和裁剪攻擊之后的加密圖像在經過解密之后仍然可以看到原圖像信息，說明本文提出的算法具有較強的魯棒性；算法的密鑰空間足夠大且密鑰敏感性良好，能夠抵抗差分攻擊。