基于突變理論的空間鋼結構穩定性研究

王健李紅民閆凱

(1. 山東建筑大學信息與電氣工程學院，山東 濟南 250101；2.山東建筑大學土木工程學院，山東 濟南 250101)

0 引言

空間結構因跨度大、抗震性能好等優點已廣泛應用于體育場館、會展中心、鐵路站房等公共建筑形式。 隨著服役年限的增加，在材料劣化、環境侵蝕、隨機荷載等因素的影響下，結構構件不可避免地會產生損傷，空間鋼結構桿件眾多，具有較高的超靜定次數，關鍵構件的失效會導致結構失穩，造成突然倒塌的事故。 結構穩定性是力學中研究的熱點問題，學者們對結構穩定性作了大量的理論研究，如經典的特征值穩定理論、臨界點穩定理論等，較有影響的判定準則有BUDIANSKY 和ROTH 提出的B-R 運動準則、能量準則、李雅普諾夫(Lyapunov)穩定理論判別準則等[1]。 但從工程應用的角度來看，現有的理論研究方法在實際應用中均存在不同的限制條件。

為了預防既有建筑結構安全性事故，大量工程建立了結構健康監測系統。 結構安全評估作為健康監測系統的組成部分，可分為包括層次分析法、極限分析法的確定性方法和包括構件可靠度分析法、體系可靠度分析法的可靠度分析方法[2]，但準確、高效地利用海量監測數據進行結構穩定性分析和安全評估還需深入研究。 RAFIEI 等[3]建立了基于深度學習的整體和局部結構評估模型，以加速度頻譜作為深度限制波茲曼機的輸入，隱含層提取的特征用來確定結構健康程度。 BAO 等[4-5]通過機器學習利用所獲數據進行結構的損傷識別和狀態評估，提出了結構健康監測數據科學與工程的研究方向。 朱宏平等[6]提出精準復雜結構精準體檢技術，通過檢測關鍵局部區域結構評估結構健康狀態。 賀海建等[7]以?？跂|站鋼結構雨棚健康監測為例，建立了單只傳感器的三級閾值預警。 楊淵等[8]基于長短期記憶神經網絡模擬評估了凱威特型(K6)網殼屋蓋結構。 羅堯治等[9]和熊仲明等[10]以層次分析法為基礎運用模糊綜合評價法對大跨度空間鋼結構進行了綜合評估。

突變理論是研究系統從一種狀態跳躍到另一種狀態的數理方法，非常適合于空間鋼結構因構件失效、承載能力驟降而失穩的問題分析。 目前，該理論已在大壩、隧道等工程結構中開展應用研究，并取得了豐碩成果[11-13]。 通常，應變速率作為反映結構動力學特性的指標，在結構動力響應中具有重要作用，關于鋼結構應變速率效應的研究，陳俊嶺等[14]揭示了材料強度和彈性模量會隨著應變速率的增加而提高。 但現有研究并未涉及應變速率效應對既有結構穩定性的影響，同時鮮見以結構健康監測系統為依托針對空間鋼結構穩定性判據研究的相關文獻。

文章依托濰坊北站南站房為工程背景，基于突變理論建立空間鋼結構桿件失穩的尖點突變模型，推導出鋼結構桿件失穩動力學判據；采用主成分分析法對應變傳感器監測數據降維并提取結構特征數值；利用突變級數法對結構穩定性進行綜合評估，通過實例分析，驗證了所提方法的有效性。

1 空間結構穩定判據理論

1.1 動力學模型反演

空間鋼結構自由度較多，根據顯式物理量判別結構穩定性更具有實際意義[15]。 外界荷載作用下結構發生失穩時，結構單元應變能發生突變，應力、應變將突然跳躍較大數值。 將應變速率-時間序列作為結構非線性動力模型的已知特解，反演出結構應變速率的非線性動力模型。

將應變速率作為結構動力學系統的變量X，動力學方程由式(1)表示為

式中f(X) 為結構動力系統隨時間t變化的一般非線性函數。

由ti(i ＝1，2，…，m) 時刻監測數據可得式(1)近似表達式，由式(2)表示為

假設式(1)為非線性多項式，設f(X) 由矩陣Q和相應的A構成，由式(3)表示為

式中Q為(n -1)× m階應變速率矩陣，Q ＝；A為多項式相應系數矩陣，

在所建立的模型中，僅A未知，因此可采用多項式擬合最小二乘法，即用殘差的加權平方和最小值的方法求解A。 采用多項式的最小二乘曲線擬合，可求得系數ai(i ＝0，1，2，3) ，得到3 階階次動力學方程，由式(4)表示為

1.2 突變理論

突變理論是分析事物狀態從一種狀態到另一種狀態跳躍變化的數學方法，突變理論包括7 種變換類型，尖點突變模型勢函數[16]由式(5)表示為

式中x為系統狀態變量；u、v為勢函數的控制變量。

尖點突變模型勢函數對系統狀態變量x的一階導數，由式(6)表示為

奇點滿足方程由式(7)表示為

由平衡方程和奇點可建立尖點突變模型，如圖1 所示。 分叉集曲線即Δ ＝0 為平衡曲面的褶皺處在(u，v) 平面上的投影。 當分叉集Δ ＞0 時，方程只有1 個實根，即系統狀態變化是連續的，不會發生突變；當分叉集Δ ＝0 時，方程有3 個實根，此時系統處于臨界穩定狀態；當分叉集Δ ＜0 時，方程有3 個不相等的實根，系統狀態跨越分叉集發生突變，出現失穩現象。

圖1 尖點突變模型圖

1.3 結構穩定性判據推導

式中bi(i ＝0，1，2，3，4) 為待定系數。

據此，通過判別式(8)可定義空間鋼結構穩定性判定準則:Δ ＞0 為穩定狀態；Δ ＝0 為臨界狀態；Δ ＜0 為失穩狀態。

1.4 突變級數法

突變級數法是基于突變理論演化出來的一種綜合評估方法，其計算步驟為:(1) 將結構系統分為若干指標；(2) 選取合適的突變系統類型通過分歧方程歸一化公式定量計算指標突變級數；(3) 確定結構整體突變級數值[13]。

尖點突變模型可用于2 個指標的綜合評估，通過聯立V′(x) 和V″(x)，即式(6)和(7)消去x，計算出尖點突變模型的系統分叉集方程，由式(12)表示為

假設評估目標E分解為2 個指標，表示為E?(xa，xb)。 通過式(12)可解出尖點突變歸一化公式，由式(13)表示為

式中a、b為E?(xa，xb) 中的控制變量。

利用歸一化公式進行綜合評估計算突變級數值時需考慮非互補原則和互補原則。 對于非互補型指標，即指標間不存在相關性，按大中取小取值為min{xa，xb} ；對于互補指標，即指標間存在相關性，按平均值法取值為。

1.5 主成分分析

監測系統布置大量的傳感器，監測數據維數過多容易淹沒有效特征數據。 同時，采用突變級數法綜合評估時，指標選取過多將會增加計算的復雜度和信息的冗余度。 主成分分析法可以從相互關聯的高維數據中提取有效特征，將高維相關變量轉變為低維線性無關的變量，實現對數據的降維[17]。 假設監測數據有n個樣本、m個傳感器，且第j個傳感器對應第i個測量為yij，則可構造n × m維的矩陣Y，由式(14)表示為

采用Z-Score 對其標準化，標準化公式由式(15)表示為

計算標準化后數據的協方差矩陣R由式(16)表示為

式中rij(i，j ＝1，2，…，m) 為標準化指標間的相關系數，滿足rij ＝rji。

求出監測數據協方差矩陣R特征值λi及對應單位正交特征向量，由式(17)表示為

式中ωi為特征值λi對應特征向量。

計算方差貢獻率，由式(18)表示為

將各個主成分方差貢獻率相加計算得到其累計貢獻率，當m個主成分方差累積貢獻率＞85%，說明提取特征可有效反映高維數據信息，則可得到主成分F，由式(19)表示為

式中Ω＝(ω1ω2…ωm)T為特征值對應特征向量。

通過主成分的提取不僅將原始具有相關性的監測數據轉變為線性無關的特征數據，而且可以提取出與實際狀態變量相近的結果，因此很適合提取分析結構健康監測數據。

2 工程實例

2.1 工程概況

濰坊北站屋蓋為大跨度空間桁架結構，結構設計使用年限為100 a，安全等級為一級。 抗震分區將屋蓋結構分為4 個區域，東西向最長結構單元為194 m、外懸挑最大長度約為38.5 m。 屋蓋構件選用Q345B 鋼材，強度設計值為305 MPa、彈性模量為210 GPa。 為了保障結構安全運維，建立健康監測系統對關鍵桿件實時監測，并進行狀態評估。 其南站房的屋蓋結構健康監測系統中光纖光柵應變傳感器共布置19 支，布置位置如圖2 所示。

圖2 測點傳感器布置圖

2.2 穩定性分析

由于整體布置傳感器數量較多，文章選取南站房屋蓋結構健康監測系統2019 年5 月1 日—6 月30 日應變傳感器監測數據分析研究，監測數據如圖3 所示。 在此期間，結構健康監測系統運行正常，無傳感器損壞等故障，監測數據可反映實際結構監測指標參量。

圖3 屋蓋應變監測值圖

以測點W03B101 為例，監測數據按式(2)求得應變速率，測點W03B101 應變速率見表1。

表1 測點W03B101 應變速率

將應變速率作為非線性動力學方程特解，按1.1節基礎理論反演出動力學方程，由式(20)表示為

對式(20)積分，得到的算式由式(21)表示為

對式(21)進行Tschirnhaus 變換，得到的算式由式(22)表示為

式(23)為尖點突變模型標準形式，u＝-2.052 550、v＝3.174 264，則可得到判別式Δ ＝8u3＋27v2＝202.872 4，即Δ＞0，說明測點W03B101 位置處結構是穩定的。 同理，可得其他測點判別結果，南站房屋蓋結構測點處穩定性的計算結果見表2。

表2 南站房屋蓋測點尖點突變模型勢函數系數及判別表

根據尖點突變理論建立模型對空間結構屋蓋監測結果進行分析，由表2 可知，各測點應變速率尖點突變模型的判別式Δ＞0，可以判斷南站房屋蓋結構所有應變測點處于穩定狀態。 同時，結構健康監測系統中各指標監測數據分析與數值研究均表明濰坊北站南站房的屋蓋結構滿足穩定性要求。 為了說明方法的適用性，以文獻[15]中凱威特型單層網殼結構分析驗證。 由上述方法可得到結構單元尖點突變模型標準形式:V(z)＝z4-19.425z2-8.16521z -158.448。 其中，u＝-19.425、v＝-8.165 21，則可得到判別式Δ ＝8u3＋27v2＝-158.448，即Δ＜0，說明結構單元發生失穩。

2.3 綜合評估

對空間結構綜合評估時，因監測數據較多易淹沒有效特征數據，因此采用主成分分析法降維并提取結構特征數據。 根據式(15)～(18)提取主成分特征值及方差貢獻率見表3。

表3 主成分特征值及方差貢獻率表

由表3 可知，主成分F1和F2的貢獻率分別為75.857%和20.533%，累計貢獻率達96.390%。 這說明F1、F2兩個主成分可以反映出應變監測數據96.390%的信息量，提取信息較為充分，有效降低了信息維數。 通過對監測數據分析可知，第一主成分F1反映了屋蓋結構測點W03B101、 W04B111、W05B102、 W05B103、 W05B202、 W05B203、W07A101、 W07A201、 W07C111、 W07C112、W07D112、W07D113、W09B102、W09B103 的應變情況，第二主成分F2反映了屋蓋結構測點W09B202、W09B203、W11G101、W10C001、W12B101 的應變情況，可以看出屋蓋結構右半區域應變情況對屋蓋結構整體穩定狀態的影響占到75.857%，與有限元計算下的屋蓋受力分析得出結果相符。F1、F2兩個特征向量由式(24)和(25)表示為

式中y1～y19分別為不同測點應變監測數值，με。

在用式(13)評估之前，對指標進行標準化，由式(26)表示為

式中q1、q2、q3、q4為標準化區間值；d1、d2、d3為指標區間值，με。

依據GB 50017—2017《鋼結構設計標準》[18]考慮Q345 鋼理論屈服應變及結構構件實際受力性能，設定應變指標區間值和標準化區間見表4。

表4 指標區間值表

以2019 年6 月30 日監測數據為例，通過式(24) 和(25) 提取出主成分F1＝140.342、F2＝132.52，再通過式(26)對主成分數值標準化，由式(27)和(28)表示為

由于提取出兩個主分量F1、F2滿足尖點突變模型、突變級數法2 個指標的要求，運用尖點突變模型歸一化公式(13)計算2 個指標突變級數值，由式(29)和(30)表示為

由于提取主成分向量F1、F2線性無關，因此依據非互補原則求取突變級數值，由式(31)表示為

即其突變級數值為0.927。 同理，可求得其他時間突變級數值，由歷史監測數據得到結構突變級數值較大且基本穩定，說明空間鋼結構屋蓋整體穩定性較好。

綜上分析，得出空間鋼結構屋蓋穩定性分析和綜合評估結果的一致性較好，尖點突變理論在空間結構穩定性分析和綜合評估中具有適用性，同時驗證了主成分分析在結構健康監測海量數據降維中具有有效性。 應該指出，文章所提結構穩定性分析方法是廣義上的穩定，即結構失穩的幾何突變。 該方法不僅適用于具有結構健康監測系統的結構穩定性評估，同時為既有建筑結構穩定性分析和綜合評估提供了新思路。

3 結論

文章基于突變理論和空間鋼結構應變監測數據，建立非線性動力學—突變模型，通過穩定性判據分析空間結構的穩定性，通過計算突變級數值進行了綜合評估，得到以下結論:

(1) 空間鋼結構受力具有非線性特征，通過分析結構桿件的應變速率來分析空間結構的穩定性是可行的。 基于突變理論對空間結構穩定性分析進行了初步探討，提出了通過應變速率判別式Δ值的正負來判斷空間結構穩定性的方法。

(2) 采用主成分分析提取監測數據特征并降維，與結構有限元受力分析結果相符，并通過特征數據計算突變級數值來判斷空間結構整體穩定性。

(3) 結合濰坊北站工程分析空間結構屋蓋穩定性，采用尖點突變模型推導出的判別準則和計算突變級數值的方法均表明空間鋼結構屋蓋處于穩定狀態，驗證了所提方法的合理性。

(4) 所提出的空間結構穩定性實用判別和綜合評估方法，不僅能夠判別結構局部的穩定性，而且能夠反映空間結構整體隨荷載作用其突變級數值不斷變化的全過程，此方法適用范圍廣、工程應用性強。