多維地震作用下結構的瑞利阻尼系數實用計算方法

徐漢勇, 何澤, 余志武, 李玲瑤

(1.長沙學院 土木工程學院,湖南 長沙 410022; 2.珠海市建筑工程勘察設計院有限公司,廣東 珠海 519000; 3.中南大學 高速鐵路建造技術國家工程實驗室,湖南 長沙 410083)

瑞利阻尼模型廣泛應用于結構的抗震計算中,瑞利阻尼系數取值會對瑞利阻尼模型和結構動力響應產生顯著影響。因此,國內外學者針對瑞利阻尼系數的計算方法展開了研究。

第一類瑞利阻尼系數的計算方法是通過對結構進行模態分析,提取前若干階模態,選取任意二階振型頻率作為指定頻率,根據瑞利阻尼模型求得的該二階振型阻尼比與事先假定阻尼比相等的原則確定瑞利阻尼系數。CHOPRA A K[1]、CRUZ C等[2]、ERDURAN E[3]和樓夢麟等[4]指出,該類阻尼系數計算方法只能考慮二階指定頻率對阻尼系數的影響,在應用時,除指定頻率外,其余各階頻率對應的阻尼比都存在誤差,且指定頻率的選擇對結構響應影響顯著。

第二類瑞利阻尼系數的計算方法是先對結構進行模態分析,提取N階振型,建立由事先指定的該N階振型阻尼比、振型阻尼比變化量平方的權重系數、質量瑞利阻尼系數和剛度瑞利阻尼系數表示結構響應變化量平方的表達式,并根據響應誤差最小的原則得到阻尼系數優化計算式。相比第一類瑞利阻尼系數的計算方法,第二類計算方法能夠考慮多階頻率對阻尼系數的影響,其關鍵是權重系數的構建與計算。按照響應類別,已有的權重系數計算方法可分為基于節點位移[5-11]、基底剪力[12]和結構整體應變能響應[13-15]3種。按照所采用的方法類別,已有的權重系數計算方法可分為時程分析法[5-9,12-14]、多維組合法[10]和多維虛擬激勵法[11,15]3種。按照激勵維數,已有的權重系數計算方法可分為基于單維地震激勵[5-9,12]和多維地震激勵[10-11,13-15]兩種。

在已有的第二類瑞利阻尼系數計算方法中,對于由節點位移或基底剪力組成的權重系數,節點序號或位移方向或基底剪力方向的改變,勢必會影響阻尼系數的取值,進而影響結構響應。相比之下,結構整體應變能響應不受此影響。同時,作用于實際工程結構的地震激勵是多維的。因此,用多維地震激勵作用時的結構整體應變能響應構建權重系數更合理,如文獻[13-14]。但文獻[13-14]中的權重系數計算方法需要先構建以振型頻率和振型阻尼比為動力特性的單自由度體系,并計算出該體系在各向地震波作用下的偽速度反應譜。顯然,當振型階次發生變化時,振型頻率勢必發生改變,致使各向偽速度反應譜也發生變化。以實際工程中常用的塔式結構[16]或大跨空間結構[17]為例,在振型分析時,所取振型數目常在60階及以上,以使各向振型質量參與系數累計數滿足《建筑抗震設計規范》(GB 50011—2010(2016年版))[18](以下簡稱《規范》)要求,并假設承受三維平動地震激勵,在利用文獻[13-14]中的權重系數計算方法時,需要利用時間步積分法求得各階振型對應的3個偽速度反應譜,共計180個及以上偽速度反應譜,計算量略大。文獻[15]中構建了多維激勵振型參與系數矩陣,并以此提出了計算多維激勵應變能響應的虛擬激勵法和瑞利阻尼系數計算方法,但計算過程均較復雜。因此,本文在前人研究成果的基礎上,先后利用CQC振型組合法和SRSS多維組合法求得應變能響應,并提出應用更方便的瑞利阻尼系數實用計算方法,且以帶樓板的多塔結構和不帶樓板的空間結構為例,對瑞利阻尼系數實用算法、文獻[13-14]算法和文獻[15]算法求得的節點位移和桿件內力進行對比分析。應注意的是,在已有瑞利阻尼系數優化計算方法中[5-15],均以利用基于事先擬定振型阻尼比的振型分解法求得的結構響應為標準,本文也以此來確定標準。

1 SRSS多維組合應變能響應計算

(1)

取前N階振型,記φi為第i階振型的節點位移幅值向量,qi(t)為位移振型坐標,根據振型疊加原理和振型正交規則,得平衡方程為:

(2)

利用式(2)求得qi(t),并得到結構在x向地震激勵下的應變能時程響應Wx(t)為:

(3)

式中:φj為第j階振型的節點位移幅值向量;qj(t)為第j階位移振型坐標。

利用振型正交性,可將式(3)變為:

(4)

式中Ei為第i階振型應變能。

(5)

對于非隔震土木工程結構,常用材料阻尼比較小,根據文獻[19],可得振型坐標qi(t)最大值為:

(6)

將式(6)代入式(4)的累加項,可得累加項最大值。應注意的是,式(4)中累加項值僅取決于相應單階振型。因此,可將累加項最大值看作相應單階振型對應的最大應變能Eimax,

(7)

在式(7)基礎上,只需利用振型組合方式便可求得單維地震激勵作用下的應變能響應值。按照《規范》給出的CQC振型組合方式,得到x向地震激勵單獨作用時的結構應變能響應Wx:

(8)

式中:ρij為振型相關系數[18];Ejmax為第j階振型對應的最大應變能;Ej為第j階振型應變能;rxj為沿x向第j階振型參與系數;axj為第j階振型對應的地震影響系數;ωj為第j階振型圓頻率。

類似式(8),可分別求得y向和z向地震激勵單獨作用下的應變能響應Wy和Wz:

(9)

(10)

式中:ryi、ryj分別為第i階振型和第j階振型的y向振型參與系數;rzi、rzj分別為第i階振型和第j階振型的z向振型參與系數;ayi、azi分別為以第i階振型頻率和振型阻尼比為特性的單自由度體系對應的水平y向和豎直z向地震影響系數,其中ayi與axi相等。

當考慮多維地震激勵作用時,根據SRSS多維組合法規則,可得結構應變能響應W的平方為:

(11)

2 瑞利阻尼系數實用計算方法

按照瑞利阻尼模型構造原理,阻尼矩陣C[1]為

C=αM+βK。

(12)

式中:α為質量阻尼系數;β為剛度阻尼系數。

文獻[6-7]構建了結構響應變化量Qk與瑞利阻尼系數的優化方程:

(13)

提取式(11)的后面累加項,可得

(14)

則

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

3 工程案例

3.1 塔式結構

相比文獻[13-14],式(8)—(19)所示的瑞利阻尼系數實用計算方法不需要計算各向地震波各階振型對應的偽速度反應譜,只需結合《規范》給出顯式曲線來計算地震影響系數。相比文獻[15],該計算過程簡單,且SRSS多維組合法是在工程實踐中得到認可的計算方法。為進一步說明各類阻尼系數計算方法的差異,分別以常用的帶樓板鋼筋混凝土塔式結構和不帶樓板的K8單層球面網殼結構作為案例進行分析。

塔式結構如圖1所示,底盤一層,塔樓1與塔樓3、塔樓2與塔樓4在幾何位置、構件幾何尺寸和材料強度等方面都滿足水平雙向對稱要求。記各塔樓各層樓面質量分別為M1、M2、M3和M4,構建比值為1∶1∶1∶1的水平雙向對稱、1∶1∶2∶1的水平單向偏心以及1∶1∶2∶2和1∶1∶2∶4的水平雙向偏心多塔結構。利用ANSYS軟件構建有限元模型,用beam4單元模擬梁柱,用shell63單元模擬樓板,進行模態分析和提取振型參與質量比值。選取了水平雙向對稱(1∶1∶1∶1)和水平雙向偏心(1∶1∶2∶4)最顯著的多塔結構進行分析,結果如圖2所示。

圖1 四塔結構

由圖2可知,無論對于帶樓板的雙向對稱多塔結構,還是對于帶樓板的雙向偏心多塔結構,各向多階振型參與質量顯著不為零,尤其是水平雙向偏心結構更顯著。

3.2 空間網殼結構

K8單層球面網殼結構如圖3所示,所有環向構件、徑向構件采用的材料強度、幾何尺寸以及底部支座約束均滿足球對稱條件。假設球面質量集中分布在構件交點上,并按照集中質量大小將球面分成4個區域,集中質量分別記為M1、M2、M3和M4,構建1∶1∶1∶1的水平雙向對稱、1∶2∶1∶1和1∶1∶2∶1的水平單向對稱和1∶2∶3∶4的水平雙向偏心的空間結構。利用ANSYS有限元軟件的beam4單元模擬環向和徑向構件,mass21模擬集中質量點,建立數值模型,并進行模態分析和提取前100階振型的振型參與質量比值。選取了水平雙向對稱(1∶1∶1∶1)和水平雙向偏心(1∶2∶3∶4)的網殼結構進行分析,結果如圖4所示。

圖3 K8單層球面網殼質量分布

圖4 K8單層球面網殼結構振型參與質量比值分布

由圖4可知,不帶樓板的雙向對稱和雙向偏心K8單層球面網殼結構,多階振型的參與質量也顯著大于零,偏心結構更顯著。

4 算法比較

假設各類塔式結構和各類K8單層球面網殼結構均位于Ⅱ類場地,設計基本地震加速度為0.10g,抗震設計分組為兩組。根據該地震環境,并結合《規范》,可繪制出動力系數反應譜曲線。依據動力系數反應譜曲線相似的原則,確定了Kobe波和Taft波的動力系數反應譜曲線,如圖5所示。

圖5 動力系數反應譜曲線的比較

4.1 塔式結構比較

按照文獻[13-14]算法、文獻[15]算法,以及本文提出的瑞利阻尼系數實用計算方法的計算過程,并結合MATLAB軟件規則,編制各算法對應的計算程序。對于各鋼筋混凝土塔式結構,根據《規范》,各振型阻尼比可擬定為0.05,利用各阻尼系數算法的計算程序求得相應質量阻尼系數α和剛度阻尼系數β(×10-3),結果見表1。對于文獻[13-14]算法,表中給出了各塔樓在Taft波作用下得到的阻尼系數。表中塔1、塔2、塔3和塔4分別表示M1∶M2∶M3∶M4為1∶1∶1∶1、1∶1∶2∶1、1∶1∶2∶2和1∶1∶ 2∶4的塔式結構。

表1 基于不同算法的塔式結構阻尼系數的比較

以基于擬定振型阻尼比求得的結構三維平動地震激勵時程響應最大值為標準,對基于各阻尼系數算法求得的結構時程響應最大值進行比較。響應包括節點位移和桿件內力,節點為各結構塔樓1左下角第1列柱的13個節點,并選取該列柱的12根桿件。圖6給出了塔1和塔4的響應誤差比較結果,并按照文獻[13-14]阻尼系數算法,給出了圖7所示的以塔4結構前60階振型頻率和振型阻尼為特性的單自由度體系在三維Kobe地震波作用下的偽速度反應譜。

圖6 在Taft、Kobe兩種地震波作用下基于不同算法的塔式結構響應誤差比較

圖7 三維Kobe地震波作用下的偽速度反應譜

由圖6可知,對于塔式結構,基于本文瑞利阻尼系數實用算法得到的節點位移誤差和桿件內力誤差與基于文獻[13-14]算法得到的誤差相差不大,但明顯小于基于文獻[15]算法得到的誤差。這是由于塔樓底盤的強連接作用,致使局部塔的振動引起其他位置塔的振動,表現為該類結構的空間作用顯著。而本文瑞利阻尼系數實用算法和文獻[13-14]算法本質上都是基于SRSS多維組合法,文獻[15]算法中的系數矩陣缺乏足夠的理論依據,致使該算法并不是基于SRSS多維組合法。此外,按照文獻[13-14]的計算方法,需要構建以振型頻率和振型阻尼比為動力特性的單自由度體系,并求得該體系在各向地震激勵作用下的各向偽速度反應譜。顯然,當振型階次發生變化時,振型頻率也隨著改變,各向偽速度反應譜也發生變化(圖7)。本文選取了兩條三維地震波,取了前60階振型,文獻[13-14]算法需要采用時間積分步法計算360個偽速度反應譜,而本文的實用算法只需直接利用《規范》中的公式計算240個地震影響系數。因此,計算效率更高,應用更方便。

4.2 空間網殼結構

擬定各類K8單層球面網殼結構各階振型阻尼比為0.02,表2給出了利用各類阻尼系數算法求得的質量阻尼系數α和剛度阻尼系數β(×10-3),表中的殼1、殼2、殼3和殼4分別表示質量比M1∶M2∶M3∶M4分別為1∶1∶1∶1、1∶2∶1∶1、1∶1∶2∶1和1∶2∶3∶4的K8網殼結構,對于文獻[13-14]算法,表中給出了各網殼結構在Kobe波作用下得到的阻尼系數。

表2 基于不同算法的K8單層球面網殼阻尼系數比較

選取球面第1環的8個節點和該環的8根桿件進行計算,圖8給出了殼1、殼4節點位移誤差和桿件內力誤差的比較結果。

圖8 在Taft、Kobe兩種地震波作用下基于不同算法的K8單層球面網殼響應誤差比較

由圖8可知,對于網殼結構,基于本文瑞利阻尼系數實用算法、文獻[13-14]算法和文獻[15]算法求得的節點位移誤差和桿件內力誤差均較小,未出現類似塔式結構誤差顯著的現象。其原因為網殼結構桿件之間沒有通過鋼筋混凝土樓板相連,理論上局部振動可以是獨立的。此外,在利用文獻[13-14]算法時,取了前100階振型,累計求得600個偽速度反應譜,在用本文實用算法時,累計求得400個地震影響系數。

5 結論

1)結合應變能響應計算公式和SRSS多維組合法,構建了振型阻尼比變化量平方的新型權重因子,并提出了能合理考慮多階振型和多維地震作用對結構響應影響的瑞利阻尼系數實用計算方法。

2)基于瑞利阻尼系數實用計算方法得到的帶樓板塔式結構和不帶樓板網殼結構的地震響應誤差均較小,且相比已有基于應變能響應的瑞利阻尼系數計算方法,計算過程更簡便,應用更方便。