巧解“空瓶換水”問題

李艷鋒

（山東省臺兒莊區張山子鎮侯孟中心小學）

小朋友，空瓶換水指的是規定若干個空瓶可以換一定瓶數的水，如某人已經買了若干瓶水，按規定用空瓶換水，最多可以喝到多少瓶水，或者某人需要一定數量的水，最少需要購買多少瓶水等類似的問題。這是一個古老的趣味數學問題，曾以“空瓶換酒”“廢電池換新電池”等形式出現在不同國家的各種數學競賽題中。如何解答這類問題呢？下面我們一起來看一下。

一、已知某人購買了若干瓶水，求最多可以喝到多少瓶水

例題1 朵朵和小伙伴們去商店買汽水，商店正在進行空瓶換汽水的活動。商店規定：每3個空瓶可以換1瓶汽水。朵朵買了10瓶汽水，如果把喝完的空瓶換成汽水，他們一共能喝到多少瓶汽水??

方法一：按照先喝后換的方法逐步分析。

第一步：朵朵買了10瓶汽水，把10瓶汽水都喝完后剩下10個空瓶。

第二步：每3個空瓶可以換1瓶汽水，因為10÷3＝3（瓶）……1（個），所以用10－1＝9（個）空瓶可以換3 瓶汽水。把換來的3 瓶汽水喝完，此時一共有3＋1＝4（個）空瓶。

第三步：因為4÷3＝1（瓶）……1（個），所以用4－1＝3（個）空瓶可以換1 瓶汽水。把換來的1 瓶汽水喝完，此時一共有1＋1＝2（個）空瓶。

第四步：剩下的2 個空瓶不夠換1 瓶汽水，此時可以先向老板借1個空瓶湊夠3個瓶子，用3個空瓶換1瓶汽水，把換來的1瓶汽水喝完，然后把1個空瓶還給老板。

他們一共能喝到10＋3＋1＋1＝15（瓶）汽水。

方法二：按照先喝后換的方法解決問題很煩瑣，我們可以換個思路來思考。

如果先買2瓶汽水，喝完后向老板借來1個空瓶，然后用3個空瓶換1瓶汽水，把換來的1瓶汽水喝完，再把剩下的1個空瓶還給老板。按照這樣的思路分析，相當于每買2 瓶汽水，就可以換1 瓶，一共能喝到3瓶汽水。

如果每買2瓶汽水換一次，朵朵一共買了10瓶汽水，可以換到10÷2＝5（瓶）汽水，他們一共可以喝到10＋5＝15（瓶）汽水。

方法三：先找出“買的瓶數”與“喝到的瓶數”之間的關系，根據關系式解答。

根據每買2 瓶汽水可以喝到3 瓶這個關系可知，“喝到的瓶數”是“買的瓶數”的。朵朵一共買了10 瓶汽水，一共可以喝到10×＝15（瓶）汽水。

例題2 學校正在開運動會，李老師在商店給同學們買了42瓶汽水。商店規定：每5 個空瓶可換到1 瓶汽水。請你算一算，如果把喝完的空瓶換汽水，同學們一共能喝到多少瓶汽水？

方法一：先買4 瓶汽水，喝完后向老板借來1 個空瓶，然后用5個空瓶換1瓶汽水，把換來的1瓶汽水喝完，再把剩下的1個空瓶還給老板。按照這樣的思路分析，相當于每買4瓶汽水，就可以換1瓶，一共可以喝到5瓶汽水。

如果每買4 瓶換一次，李老師一共買了42 瓶汽水，42÷4＝10（瓶）……2（個），可以換到10 瓶汽水，剩下的2 個空瓶不夠兌換，同學們一共能喝到42＋10＝52（瓶）汽水。

方法二：根據每買4瓶汽水可以喝到5瓶這個關系可知，“喝到的瓶數”是“買的瓶數”的5 4 。李老師一共買了42 瓶汽水，42×＝52.5（瓶），其中的0.5 瓶不夠1 瓶，此時要用去尾法舍去尾數，同學們一共能喝到52瓶汽水。

已知某人購買水的瓶數，求最多可以喝到多少瓶水的問題，可以歸納總結出下面兩種計算公式：

公式一：先算出“買的瓶數÷(瓶子可換購數－1)”的商和余數（整除時，余數為0），算出的商就是能換到的瓶數，最多可以喝到的瓶數＝買的瓶數＋換到的瓶數。

二、已知某人需要一定數量的水，求至少要買多少瓶水

例題3 有40 名同學去秋游，他們口渴了，班長欣欣去買礦泉水。商店規定：每4 個空瓶可以換1 瓶礦泉水。保證每人都能喝到1瓶水，欣欣至少要買多少瓶礦泉水？

方法一：如果先買3 瓶礦泉水，喝完后向老板借來1 個空瓶，用3＋1＝4（個）空瓶換1 瓶礦泉水，把換來的1 瓶礦泉水喝完，然后把剩下的空瓶還給老板。按照這樣的思路分析，相當于每買3瓶礦泉水，就可以喝到4瓶。

一共有40名同學，每人喝1瓶礦泉水，一共要喝40瓶。因為每買3 瓶礦泉水，就可以喝到4 瓶，所以需要買40÷4＝10（次），欣欣至少要買10×3＝30（瓶）礦泉水。

方法二：根據每買3 瓶礦泉水可以喝到4 瓶這個關系可知，“買的瓶數”是“喝到的瓶數”的，他們一共要喝40 瓶礦泉水，欣欣至少要買40×＝30（瓶）礦泉水。

例題4 某校2名老師帶領58名學生參加植樹活動，由于天氣比較熱，王老師到商店給同學們買飲料。商店規定：每8個空飲料瓶可以換1 瓶飲料。保證每名師生都能喝到1 瓶飲料，王老師至少要買多少瓶飲料？

方法一：如果先買7 瓶飲料，喝完后向老板借來1 個空瓶，用7＋1＝8（個）空瓶換1瓶飲料，把換來的1瓶飲料喝完，然后把剩下的1個空瓶還給老板。按照這樣的思路分析，相當于每買7瓶飲料，就可以喝到8瓶。

一共有58＋2＝60（名）師生，每人喝1 瓶飲料，一共要喝60瓶。因為每買7 瓶飲料，就可以喝到8 瓶，60÷8＝7（次）……4（瓶），所以王老師至少要買7×7＋4＝53（瓶）飲料。

方法二：根據每買7瓶飲料可以喝到8瓶這個關系可知“買的瓶數”是“喝到的瓶數”的7 8 ，師生一共要喝60 瓶飲料，60×＝52.5（瓶），此時不論算出的積的尾數是多少，都要用“進一法”把積保留整數，王老師至少要買52＋1＝53（瓶）飲料。

已知某人需要一定數量的水，求至少要買多少瓶水的問題，可以歸納總結出下面兩種計算公式：

公式一：先算出“喝的瓶數÷瓶子可換購數”的商和余數（整除時，余數為0），至少要買的瓶數＝商×(瓶子可換購數－1)＋余數。

小朋友，你學會了嗎？你在平時的學習中，如果遇到了按照常規思路分析比較復雜的問題時，也可以嘗試轉換思維方式，把題目化繁為簡，從而解決問題。