“錯誤”綻放光彩：初中數學錯題本的建立和應用

□福建省莆田市第八中學 陳中鋒

數學學科是一門需要對各種題型進行大量練習，從而訓練解題能力和積累解題經驗，達到縮小自身思維能力與出題者要求之間的差距的目的。而初中數學知識點多，對學生的要求已經從知識層面上升到能力層面，學生在學習過程中會遇到各種問題，因此數學教師經常會要求學生建立錯題集，但是效果常常是不盡如人意，究其原因是每個學生的能力不同，因此在錯題管理能力的培養上需要教師摒除一刀切的模式，采用的循序漸進的方式培養學生錯題建立、管理和運用能力。

一、錯題來源分析

初中數學知識點多且知識點間的邏輯性強，學生只有經過大量的練習、出錯、糾錯、思考和反思后才能建立自己的數學知識體系，才能應用數學抽象思維解決現實問題。錯題的來源非常豐富，例如教材習題、課堂練習、配套教輔、考試試題等，通過習題鞏固和應用知識點的時候學生經常會產生一些錯題而且有些錯題的原因類似，所以系統化地整理錯題對于鞏固所學知識是非常必要的。

二、錯題整理原則

錯題的整理不是把題目抄在一本錯題本里，然后寫上正確答案這種簡單、機械、重復且無意義的行為。學生如何整理錯題集才是有效的？首先根據記憶遺忘曲線及時整理錯題，錯題整理的時效性對知識點的鞏固起到事半功倍作用；其次根據心理學的研究發現，一個良好習慣的養成需要90 天的重復強化，學生一定要摒除“三天打魚兩天曬網”的行為，持之以恒地堅持養成錯題整理的好習慣；最后錯題整理也是講究科學性的，可以采用“四色錯題集”的方法，即黑筆抄寫題目，藍筆抄寫自己錯誤答案，紅筆訂正正確答案，紫色的筆用來寫錯因分析。最后在題頭的位置用不同符號標注錯題類型，比如三角形表示計算錯誤、圓形表示審題錯誤、橢圓形表示概念性錯誤等，方便在接下來的學習中高效應用錯題。

三、錯題集建立策略

1.學生紙質錯題記錄過程

錯題是學生在學習過程中遇到的障礙，如何有效地利用這個障礙完成知識與能力的提升，對于每個學生來說是一個更大的困難。而在教師的指導下科學、有效地利用錯題資源完成自身知識、能力的補缺補漏，構建更完善的數學知識體系是一種高效的策略。接下來以2017 福建省中考24 題為例探討學生紙質錯題集的建立方法。

第24 題.（12 分）如圖，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P，E 分別是線段AC、BC 上的點，且四邊形PEFD為矩形。

（Ⅰ）若△PCD 是等腰三角形時，求AP 的長；

解：（1）∵在矩形ABCD 中AB=6，AD=8，∠ADC=90°

從這位學生的答題情況上分析：第1小題的解答結果是對的，但是也犯了沒有分類討論的錯誤，第2小題明顯就是無法找到思路求出來，而去隨便證明三角形相似成立，從正確解答可以看出，關鍵是要過點P 作出AD 的垂線NM，并證出兩組相似三角形，就可用對應邊成比例和等量代換最后求出CF 的長，而該學生在做錯題集的時候就是把題目抄寫在錯題本上，然后照著答案抄錄一遍，缺乏對錯題深入分析和管理，這種低效的錯題集建立方式是學生常用的，那該如何建立和管理錯題本呢？

（1）題到點。題到點就是某個錯題對應的是哪個知識點，例如2017 中考試卷第24 題考查的是四邊形綜合題，包含的知識點有矩形的性質、勾股定理、等腰三角形的性質與判定、相似三角形的性質與判定，像這種綜合性的題目學生在做錯題本的時候應該一張紙上就做一道題以便總結和整理，在教師分析過程中把本題的所涉及的知識點及知識點在課本中具體哪一頁標注在旁邊，然后自己錯誤的知識點用記號筆標注，接下來對錯題進行錯誤解析。為了減少不必要的勞動浪費時間，學生可以把試卷復印一份，把錯誤的題目剪下來粘貼在錯題本上，根據題目的難度預留空白處用于復習后重新解題1到2 遍。

（2）題到類。題到類就是對某個錯題進行變式，避免就題論題，做到以題解題、解決新題，這個工作需要教師幫助學生完成，教師在分析這類題目時根據歷年中考或者其他資料中類似的題目選擇1 到2道，讓學生明白這些知識點不同的考查形式，訓練學生的運算能力、思維能力、分析和解決實際問題的能力、數學聯結能力等。老師“下題?！?，學生“上題?！?，通過問題的由簡單到復雜、循序漸進使學生明確題目的演變過程，揭開綜合性較強題目的神秘面紗，形成剖析問題，抓住本質的良好習慣，讓錯題達到舉一反三的效果。

試題知識點第24題.（12分）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E 分別是線段AC、BC 上的點，且四邊形PEFD 為矩形。

（Ⅰ）若△PCD 是等腰三角形時，求AP 的長；

解題思路：

①學生答題情況

②復習內容

③查漏補缺

2.學生電子錯題集的建立

智能化已經滲透到方方面面，為人們的生活、學習等方面提供極大的便利?，F在幾乎每個學生家里至少有一部智能手機，合理使用智能手機能讓手機成為學生學習的一大助手。微信有一個小程序—學吧錯題本，它可以使用拍照功能將錯題拍照上傳后對錯題進行分類管理，并可以把錯題進行組卷后采用word的形式輸出，學生可以對易錯題進行再一次的訓練、分析，大量減少抄錄及整理的時間，將紙質錯題本和錯題軟件巧妙結合達到事半功倍的效果[1]。

3.教師電子錯題集的建立

經驗豐富的教師常常會發現不同屆的學生錯誤的情況和知識的薄弱點往往是相似的，因此借助大數據建立班級錯題集，跟教材同步建立節、章、單元、冊的錯題集，使教學、復習更有針對性[2]?，F在學?？荚囈话悴捎镁W上閱卷系統，這就為教師建立系統化的電子錯題集提供素材，因為網上閱卷系統對于試題的數據分析非常全面，有得分率、優秀率、區分度等，也有學生的具體答題情況，以2021 年福建省中考數學試卷的選擇題第4 題為例，分析教師電子錯題集建立的方法：

第4 題：下列運算正確的是（ ）

[錯誤統計]本題正確答案是D，據所教的124名學生的統計，選A 的3.2%，選B 的9.4%,選C 的14.3%，本題的得分率73.1%。

[錯因分析]沒有掌握好整式運算的相關公式與計算方法，A 選項需要提取公因式a,再把系數相加減，選A 的學生直接把a 消掉；B 選項要進行完全平方差計算，卻錯把平方分配到括號中的每一項；C選項要把次數相減，卻做成系數相除。

[反思拓展]數學運算是解決數學問題的一種基本方法，屬于演繹推理范疇，也是數學學科核心素養的組成部分。要求學生基于運算法則，理解運算對象，運用運算思路，獲得運算結果，在這個過程中訓練學生嚴謹的數學思維，規范思考問題的品質。本題考查了合并同類項、完全平方公式、有數冪的乘法和冪的乘方，掌握相關公式和運算法則是解答本道題的關鍵，因此需要學生回歸到課本熟記課本的相關內容，為解答運算問題打下良好的基礎。

[變式訓練]下列運算正確的是：

當教師積累的錯題達到一定的量后，對這些錯題進行篩選，特別是針對學生出現的突出問題，對錯題進行重新組成不僅達到更有針對性地查漏補缺，還可以完善錯題體系。

四、錯題本運用方法

1.錯題本由“厚”到“薄”

制作錯題本的時候采用活頁的形式，隨時對錯題進行增加或刪減。有的學生制作錯題本時一股腦地把自己不會的題目全抄上，錯題本只加不減，導致錯題本越來越厚，像用書一樣地使用錯題本，使錯題本的作用大打折扣。錯題不能只在考試前翻看，平時也要經常翻閱，而且不能一眼看過去覺得自己已經掌握，把錯題當做新題再演算一遍，正確無誤后把本道錯題的活頁移出，通過策略性地使用錯題本，多分析總結，讓不會的題目變成會，不會的題目越來越少，錯題的質量越來越高，錯題本自然也就越來越“薄”。

2.錯題本由“薄”到“厚”

雖然錯題本由“薄”到“厚”需要花費的時間較長，但效果很好，因此可以選擇在寒暑假制作此類錯題集。經歷了錯題集從“厚”到“薄”的過程后，錯題本里剩下一般是難度大且綜合性強的，因此可以采用從“難”到“易”的反向策略，選取最難的一道題，整理出本道題的所涉及的知識點后，根據命題老師的命題思路將這些知識點按照一定的邏輯聯系串聯成串。以這條線索為基礎，完成本道題的思維導圖，構建跨主題的知識網絡。在這個過程中學生嘗試從命題者的角度思考問題，使學生對知識從理解角度上升到應用的層次，使學生不自覺的產生“如果我是老師，這個知識點會如何考？”這種對話式的疑問，隔空實現與命題者對話。以錯題來構建知識網絡的方式不僅讓學生從題回歸到課本進行梳理重構打牢基礎，更重要的是提供更加多元的角度看待錯題，充分挖掘錯題的價值，使錯題更好地為師生服務。

3.錯題本數據分析

一本完整的錯題本除了錯題分析，更重要的要包括錯題統計，這部分恰恰是學生最容易忽略且薄弱的關鍵點。根據經濟學家維爾弗雷多·帕累托的ABC 分類管理法則，決定一件事物的原因有主次之分，也就是說在考試中造成失分的原因有決定性因素（A 類）和影響較少的次要因素（B 類和C 類），分配較多的時間和精力解決A 類問題會取得更好的效果[3]。

因此完成10 套左右的中考卷或中考模擬卷后，在積累一定的錯題量基礎上進行統計分析（如表1），這個階段的復習結果中相似三角形的判定和性質是失分的主要知識點，基礎知識不牢是錯誤的主要原因，那就要進行專項訓練，攻克這個難點。如果下一次統計的結果相似三角形的判定和性質的錯誤率比圓周率定理還低的話，那攻堅的重點要轉移到圓周率的定理，這樣不斷調整才能提高整體的數學成績。

表1：錯誤原因及知識點統計表

4.錯題分享與競猜

定期以專題的形式舉行師生、生生之間的錯題交流活動，學生之間互相挑戰完成對方的錯題集，可以從別人的錯誤中吸取經驗，避免自己犯同樣的錯誤?；蛘呓處熆梢允孪仁占瘜W生建立某個知識點的典型錯題展示到PPT 中，采用抽簽搶答的形式讓學生解決典型錯題，借鑒別人反思自己，進行補缺補漏。

五、反思

錯誤是學生思維的真實反映，通過科學的建立錯題本和高效地運用錯題本，將學生的“錯”分析越透徹，才能達到“對”的彼岸。數學教師應該在平常教學中善于利用學生的錯題，指導學生質疑、糾錯和反思，達到訓練數學思維，提升學習效果的目的[4]。