基于三次樣條插值法的凸輪型線誤差算法研究

吳云帆，張仕明，吳玉國，時禮平,3,4*

(1.安徽工業大學 機械工程學院，馬鞍山 243032；2.安慶中船柴油機有限公司，安慶 246005；3.特種服役環境的智能裝備制造國際科技合作基地，馬鞍山 243032；4.特種重載機器人安徽省重點實驗室，馬鞍山 243032)

0 引言

凸輪機構作為發動機的核心零部件，直接影響發動機的配氣效率和供油配給[1-2]，但其輪廓曲線的加工卻十分困難[3-4]，導致凸輪加工的誤差難以檢測[5]。在凸輪的型線檢測時，由于三坐標測量機內置軟件缺乏相對應的凸輪分析模塊，無法對檢測數據進行有效的處理和結果分析。

針對凸輪型線檢測手段及檢測數據處理困難的問題，文獻[6]利用光柵位移傳感器做了接觸式測量，通過三次均勻B樣條擬合和最小二乘法測量數據進行處理，檢測結果表明其升程誤差小于1.1%。文獻[7]采用直線光柵及步進電機設計內燃機凸輪外輪廓檢測裝置，由直線光柵測得到凸輪升程，實現了凸輪外輪廓的在位檢測。文獻[8]利用圖像理技術處理凸輪盤的圖像得到凸輪盤二mnbvcxz值圖像，通過與設計值比對并輸出檢測結果，結果表明該方法可以對大批量的凸輪完成快速檢測。文獻[9]在研究葉片加工時，結合樣點優化(SPO)法和非均勻有理B樣條插值法構筑NURBSKI算法，以此完成葉片輪廓的重構及誤差測定，結果表明NURBS-KI算法能夠精準有效地完成葉片輪廓檢測。文獻[10]利用數據采集和數據預測技術研究躍度、應力和尺寸優化對凸輪位移誤差進行試驗研究，結果表明該法能夠較好的對凸輪位移誤差進行預測。

綜上所述，凸輪型線等的復雜曲線在精密生產中有著重要應用，且對凸輪型線的檢測數據進行處理和分析十分困難，專用凸輪檢測裝置的成本較高且普適性較差。因此現利用企業現有的三坐標測量機測得的原始數據，對比最小二乘法和三次樣條插值法的擬合精度，選擇以三次樣條插值法為基礎編寫凸輪輪廓誤差算法程序，實現凸輪型線數據處理，完成凸輪輪廓誤差檢測。

1 基于三次樣條插值法的凸輪升程數據擬合

在完整的凸輪型線的誤差檢測的過程中，主要由檢測數據的獲取、數據的擬合和誤差計算這三個部分構成。其中，凸輪理論升程數據的擬合是誤差檢測的基礎，直接影響誤差檢測結果的可靠性。在數據獲取階段，通過測量設備得到的數據為一系列的坐標位點。對采集到的原始數據需要利用插值擬合的方法得出檢測對象的曲線或曲面方程。

1.1 三次樣條插值法基本原理

針對凸輪型線的檢測數據處理問題，提出利用三坐標測量機檢測凸輪型線數據并以三次樣條插值法為基礎構建凸輪誤差檢測系統。首先利用三坐標測量機對凸輪輪廓進行檢測，通過測量機的掃描功能測量凸輪型線，得到凸輪輪廓的三坐標位點數據，最后編寫算法對凸輪檢測位點的數據進行誤差計算，判斷凸輪加工是否達到理論設計要求。三次樣條插值擬合基本原理是基于三次樣條函數而得出的曲線擬合方法，其基本定義為：

設在給定區間[a,b]上給定一個確定的節點劃分

當存在正整數k=3使[a,b]上的分段函數s(x)滿足以下條件：

1）在區間[a,b]內存在k-1階導數；

2）在每個區間[xi,xi+1](i=0,1,2,…xn-2,xn-1)內皆為不大于三階的多項式；

則稱s(x)是以[a,b]為節點集的三次樣條函數。

設函數f(x)在節點的函數值為：

且節點集的三次樣條函數s(x)滿足插值條件

則稱此三次樣條函數s(x)為三次樣條插值函數。

三次樣條插值函數的函數表達式求解時，通常有三轉角法、三彎矩法、基樣條法等方法。通過對比，基樣條法在處理大批量數據時，計算量及計算復雜度對比三彎矩法有明顯的上升，三轉角法在曲線擬合光滑度上對比三彎矩法有所不足，同時為滿足如凸輪型線此類擬合精度要求較高的曲線，采用三彎矩法構建系數矩陣方程。

1.2 三次樣條插值系數矩陣構造及其求解

在求解三次樣條插值函數s(x)時，其共有n段三次多項式，因此未知系數共有4n個，通過樣條條件和插值條件可以確定4n-2個方程，對于系數方程的求解仍缺乏兩個條件。根據應用場合的不同，選擇相匹配的邊界條件，確定得到相應的系數矩陣方程。其基本步驟為：

首先利用三彎矩法和邊界條件構建系數矩陣方程，式(4)～式(6)分別為s(x)的函數表達式、一階導數形式和二階導數形式。

其中：ai,bi,ci,di分別為分段函數s(x)在第i段曲線上的各項系數，i=0,1,2～n-1。

插值條件：Si(xi)=yi

連續性條件：Si(xi+1)=Si+1(xi+1)Si(xi+1)=Si+1(xi+1)

綜上，可得系數方程組式(7)：

其中：hi=xi+1-xi

由式(14)可得三次樣條插值函數的一般表達式式(9)，如下：

式(16)由式(15)化簡得到的更為簡潔的表達式，代入數據可以確定4n-2個方程。凸輪型線在擬合時要保證所有相鄰兩段曲線之間光滑過渡且首尾相接，因此選擇周期條件作為三次樣條插值法的邊界條件，表達式如式(11)所示：

由周期條件、樣條條件及插值條件可得式(12)的矩陣方程，如下：

在工程計算中經常會遇到形如式(18)的周期三對角矩陣，與標準的三對角方程組相比，在循環三對角方程組的系數矩陣的右上角和左下角各有一個非零元素，求解時較標準三對角方程在復雜度上有所提升。對于一般的三對角方程求解，采用追趕法求解所需計算量較小?；贚U分解法的思想上，對循環三對角方程采用一種LUD法求解，相較于傳統的追趕法，LUD算法在計算量上由O(17n)降低到O(14n)，提高了循環三對角方程的求解效率[11]。對一般的循環周期三對角線性方程組：

其中：

LUD算法的基本思想是將式(13)中的n階系數矩陣A分解，得到三個n階矩陣L、矩陣U和矩陣D的乘積。

其中：

依次求解簡單線性方程組Lu=d，Uv=u和Dx=v，x即為循環三對角線性方程組的解。運用此算法將系數矩陣A分解為三個簡單矩陣，對比LU分解法，分解后系數矩陣在數量上增加了一個，但在計算量和計算難度上比LU分解法低。由此可以降低運算次數，同時也降低了算法程序編寫的難度，提高計算結果的可靠性。

1.3 三次樣條插值法擬合凸輪升程

在凸輪型線誤差檢測中，對原始的凸輪理論升程數據需要進行擬合處理，以達到檢測的要求。在擬合凸輪升程數據時，要求擬合曲線首尾平滑相接，遍歷所有數據點，同時保證擬合曲線光滑無明顯的轉折棱角。圖1為最小二乘法擬合的凸輪升程數據，圖2是三次樣條插值法擬合得到的一段凸輪升程曲線。

圖1 不同擬合次數方程擬合曲線結果

圖2 三次樣條擬合曲線結果

由圖1可得，在應用最小二乘法擬合凸輪升程時，為保證擬合精度需要使用超過八階及以上的多項式方程，因此易導致龍格現象的產生[12-13]，數據的還原度在局部區域難以達到誤差檢測的要求。

由圖2可得，三次樣條插值法擬合出的曲線整體平滑，且沒有偏離擬合數據點的情況存在。因插值擬合法對數據的遍歷，保證了擬合曲線方程通過所有理論數據點，對理論數據的擬合誤差極小[14]，便于后期對誤差的計算。

綜上所述，處理凸輪升程數據時采用三次樣條插值法，在保證數據測量點皆為有效數據點的前提下，對已有的理論數據進行最大化全部利用，并且確保在誤差范圍內數據擬合的準確性[11]。對比三次樣條插值法，在擬合凸輪升程曲線時，為達到同等精度，最小二乘法的計算量更大，且擬合曲線方程次數過高且更復雜，而三次樣條插值法擬合的曲線更平滑[15]，因此采用三次樣條插值法對凸輪型線數據進行處理。

2 凸輪型線檢測的數值試驗

在實際檢測運用時，將三坐標測量機檢測的笛卡爾坐標系轉換為極坐標，同時由于凸輪滾子的存在，已知凸輪理論輪廓線和滾子半徑，利用平面等距公式計算得出凸輪的實際輪廓線。由此計算出的數據則為凸輪型線檢測的標準理論數據。由安慶中船柴油機有限公司提供的一組凸輪型線理論升程表1可知，理論凸輪的升程表一般將整個圓周劃作360份的均勻等分區間，以凸輪的實際轉動中心為極坐標原點，取坐標原點到滾子中心的極半徑作為凸輪升程數據。

表1 某凸輪理論輪廓數據表

由表1可以得到類似圖2的凸輪升程曲線，在檢測時，因三坐標測量機輸出的檢測數據為笛卡爾坐標系下的位點數據，具體數據如表2所示。

表2 凸輪三坐標檢測數據

由表2可知，三坐標檢測輸出的數據類型與常見的理論凸輪升程表在表達形式上需要進行轉化。同時由于三坐標檢測在檢測時存在震動，會增加檢測數據結果的誤差波動，一般會對檢測儀器測得的原始數據進行濾波處理，對檢測的有效數據點進行篩選，提高檢測數據的可靠性，降低三坐標測量機檢測時因機器震動和操作人員的操作誤差等因素所引起的隨機誤差，進而提高檢測結果的精確度和可靠性。

通過對最小二乘法和三次樣條插值法的研究，在方法的選擇上確定三次樣條插值法作為檢測計算的核心算法，以三次樣條插值法為基礎，通過編寫算法檢測凸輪型線的誤差是否滿足設計要求。算法的基本思想流程圍繞三次樣條插值法展開，針對算法的實現需要區分不同的功能模塊，包括數據類型轉換模塊、中點回彈法濾波模塊、三次樣條插值法數據擬合模塊、理論與檢測數據的相似度比對模塊、結果輸出模塊。其基本實現流程件圖3算法流程圖。

圖3 算法流程圖

模塊一，通過數據轉換模塊將三坐標數據轉換為極坐標下的升程表；

模塊二，通過濾波處理模塊，采用中點回彈法降低檢測數據的隨機誤差；

模塊三，利用三次樣條插值法計算擬合凸輪理論型線，同時對所有的測量點進行插值計算。

模塊四，相似度檢測模塊，凸輪檢測和誤差計算時需要確定相位差，以確定檢測的起始點，運用斯皮爾曼系數作為相似度的標準值。

模塊五，遍歷計算出各檢測點的誤差，結合其公差帶確定是否合格。計算結束后以表格形式對結果進行輸出。

通過編寫程序實現各個模塊的功能，整合后得到凸輪型線的誤差算法程序。軟件初始界面如圖4凸輪型線誤差檢測界面。由此，可以根據被測凸輪的具體型號，將標準數據和測量數據按要求代入程序中，設定相對應的誤差參數，完成誤差計算及評判。

圖4 凸輪型線誤差檢測界面

將原始測量數據帶入算法程序，計算并輸出凸輪型線的誤差值，最終結果以表格形式輸出，其部分結果如表3所示。

表3 凸輪檢測誤差結果表

通過表3可以看到凸輪型線加工誤差的準確值，圖5和圖6分別顯示了進氣凸輪的法向誤差和徑向誤差，對整個凸輪圓周進行了誤差測定，通過對檢測結果的分析可以看出：以三次樣條插值法為核心的算法對誤差的數值計算精度可以達到微米級，檢測結果可以得到凸輪軸上凸輪型線的各個位點的誤差大小，通過分析數據可以得到凸輪型線誤差分布的主要集中區域，對總體誤差的分析可以得到的凸輪型線的誤差的波動范圍，確認產生最大誤差的點及最大點附近的誤差波動，對產品的質量作出判斷。

圖5 進氣凸輪法向誤差

圖6 進氣凸輪徑向誤差

4 結語

在研究了盤型凸輪的型線檢測過程中數據處理及檢測結果分析困難等問題后，設計了一種盤型凸輪誤差檢測算法，提出應用三次樣條插值法對凸輪型線進行擬合，計算出被測凸輪型線的誤差值。通過編寫算法程序實現了凸輪型線的誤差檢測，并利用三坐標測量機的檢測數據完成凸輪型線的誤差分析，結果表明：三次樣條插值在凸輪型線擬合的精度高于最小二乘法，其擬合曲線與柴油機凸輪型線有著良好的兼容性。雖然在實際應用時，因需要計算檢測數據與理論數據之間存在的相位差而增大了計算量，但測量結果對凸輪型線的誤差檢測和零件加工工藝的改進有著重要意義，有著良好的實際應用價值。