一種基于振幅物體約束的相位恢復算法

牟新剛,肖 靖,路志鵬

(武漢理工大學 機電工程學院,湖北 武漢 430070)

無透鏡成像在實現大視場、高分辨成像有著獨特的優勢,同時無透鏡成像憑借其系統簡單、低成本和高通量的優點廣泛應用于水質監測[1]、臨床醫療[2]和細胞跟蹤[3]等多個領域。但透鏡引入了樣本衍射重建的相位恢復問題。相位恢復算法主要分為非迭代算法和迭代算法兩大類。

相移法、光強傳輸方程屬于典型的非迭代相位恢復算法。前者利用光學相移硬件實現相位恢復;后者通過縱向振幅和橫向相位的分布關系,利用多個記錄振幅信息求解相位分布。光學器件本身尺寸限制了前者應用于樣本鄰接記錄介質的無透鏡成像系統。后者對拍攝圖像質量要求較高,對衍射面噪聲信息比較敏感,相比于迭代算法重建結果誤差較高[4]。因此在計算成像中常應用迭代算法進行相位恢復。

迭代算法包括單幀迭代和多幀迭代算法。單幀迭代通過光場在物面支持域和像面振幅兩個約束間來回迭代實現[5-6]。其主要應用于光源方向性較好的遠場無透鏡相干衍射成像系統中。近場無透鏡相位恢復的多幀迭代原理基于多物距[7]、多波長[8-9]、多角度[10]以及疊層衍射成像[11-12]4大類,算法通過在不同距離軸向衍射面之間反復迭代得到最終收斂后的相位恢復結果。

筆者提出一種單幀迭代相位恢復算法,在傳統GS(gerchberg saxton)迭代算法的基礎上引入純振幅物面約束,同時只需記錄單幀強度衍射圖像。通過樣本物面與記錄像面來回迭代傳播,最終得到恢復相位后的衍射圖以及消除孿生像后的重建樣本圖像。

1 相位恢復算法

光作為一種電磁波具有幅值和相位兩種信息,圖像頻域的相位信息決定圖像的空域分布。相位迭代恢復算法作為解決相位缺失問題的常用方法,在魯棒性和相位恢復結果誤差上是其他相位恢復算法很難達到的。

1.1 問題提出

常見的數字成像元件僅能檢測光場的強度分布,無法感知高頻變化的相位信息。

Urec=ASP-1{Uimg}=ASP-1{ASP(Utarget)}=Utarget

(1)

Uimg=ASP(Utarget,-z)=

(2)

式中:Urec為樣本重建場分布;Uimg為衍射像場分布;ASP、ASP-1分別為角譜正向和逆向傳播公式;Utarget為樣本物光波場分布;z為物光場傳播到像平面的距離;F,F-1分別為正向和逆向傅里葉變換;λ為物光波長;fx,fy為像場平面空間頻率。

在圖1所示的無透鏡衍射系統中,平行光源穿過物體平面得到包含目標物體分布信息的物光波,物光波向前傳播到記錄平面上形成衍射圖樣。

圖1 無透鏡衍射系統

記錄介質在記錄光場分布時存在局限性,即無法檢測相位信息,只能測量光場的強度振幅信息。衍射像相位信息的缺失直接導致后續衍射重建結果出現大量共軛噪聲,嚴重影響重建結果。圖2為相位缺失的衍射像使用角譜法直接重建的結果,與原圖相比存在大量紋路噪聲,影響后續測量和觀察。

圖2 原始圖像與重建圖像對比

根據角譜衍射逆傳播理論,如式(1)所示,當系統獲取到包含相位信息的復振幅分布衍射圖像Uimg,通過式(2)所示的角譜逆衍射傳播重建算法可以重建無失真的樣本圖像Utarget。

1.2 迭代算法

筆者提出一種單幀迭代相位恢復算法。算法根據振幅物體零相位的特性建立物面相位約束,結合像面振幅約束在物、像兩平面間來回迭代,最后得到相位恢復后的復振幅分布結果。

圖3所示的流程圖展示了算法的3個步驟:

圖3 單幀迭代相位恢復算法流程圖

1.3 評價指標

衡量相位迭代恢復算法收斂效果可從像面和物面兩個方面著手,其原理是相通的。為符合日常觀察習慣,通過對比物面重建結果條紋可見度V對重建結果清晰度進行評價;選擇重建結果與原圖的均方誤差MSE(mean squared error)衡量恢復算法結果噪聲大小;實際應用時往往是樣本原圖未知,因此將已知的記錄像面誤差函數EF(error function)作為衡量算法重建效果指標。各指標計算表達式如下:

(3)

(4)

(5)

2 實驗

2.1 實驗條件

為驗證算法的可行性,使用仿真系統生成衍射圖像作為后續恢復算法輸入。系統光源使用波長600 nm的平行光,為減少后續迭代算法運算量,此處選擇圖4(a)所示100×100像素的USAF(united srates air force)分辨率板作為樣本觀測對象。平行光經樣本調制為物光波,角譜衍射傳播物距z1=4 mm,z2=5 mm。到達尺寸100×100×3.75 um的記錄平面,分別得到如圖4(b)和圖4(c)所示的衍射圖像。

圖4 原始樣本圖像與衍射振幅圖像

2.2 實驗結果

利用所提出的相位恢復算法對圖4(b)所示的衍射圖進行5 000次迭代相位恢復,得到樣本的再現結果如圖5(d)所示。為了評價該算法的性能,設置傳統近場衍射GS算法和直接重建法作為對照組,GS算法通過在圖4(b)和圖4(c)兩衍射面之間進行往復迭代運算,在5 000次迭代后得到如圖5(c)所示的樣本目標再現結果。直接重建法使用未經相位恢復的衍射記錄圖進行重建,圖5(b)所示的重建結果為圖4(b)衍射像直接角譜重建得到。圖5(b)所示的直接重建結果受嚴重共軛噪聲影響,噪聲能量分布不均且大多以紋路的形式呈現,嚴重影響對目標的觀察。與圖5(a)的原始圖相比,直接重建圖像左下方區域部分線對已淹沒在背景噪聲中,因此無法通過閾值分割去除背景噪聲。圖5(c)所示GS迭代結果相比直接重接結果在噪聲分布程度上有非常明顯的優化,算法去除了大量共軛紋路噪聲,但殘留的隨機噪聲影響目標清晰度。圖5(d)對應本文提出的恢復算法,消除了共軛噪聲和隨機噪聲對觀察目標的干擾,與圖5(a)所示的原圖一致。為衡量各算法重建結果對觀測目標的影響,引入式(3)所示的條紋可見度V作為評價指標,對各重建結果的線掃描截面分布曲線圖5(i)～圖5(l)進行對比分析。

圖5 樣本各重建結果比對

圖5(j)由于存在共軛背景噪聲,直接重建結果由原來的峰峰值0～255變換成102～210,因此目標線對可見度為0.3,與可見度為1的原圖相差較大。若實驗選擇觀測對象為弱可見樣本,將很難從重建結果中分辨出目標對象。圖5(f)所示的GS算法對噪聲抑制作用明顯,而隨機噪聲的存在使得重建峰峰值為5～230,對應0.9的圖像可見度,從圖像上看目標線對很容易辨別。圖5(d)所示的線掃描結果達到與原圖相同的可見度,對應重建結果沒有噪聲干擾。圖5(b)和圖5(c)表明衍射像缺失的相位信息在物面以共軛紋路噪聲和隨機噪聲的形式出現,其中屬共軛噪聲對目標的影響最為明顯,如圖5(j)所示。而所提出的相位恢復算法能有效抑制共軛噪聲和隨機噪聲。

為進一步量化兩種算法在迭代過程中的相位恢復效果,將從均方誤差對相位恢復效果進行衡量。根據重建物面的形式可將重建結果與原圖的均方誤差分為振幅均方誤差AMSE(amplitude mean squared error)和復振幅均方誤差CMSE(complex amplitude mean squared error)。分別衡量重建結果與原圖之間的振幅和相位誤差。

圖6(a)為物面振幅均方誤差隨迭代次數r的變化曲線,圖6(b)則是復振幅均方差曲線。對比兩曲線圖可知復振幅均方誤差始終大于振幅均方誤差,滿足實部虛部相加兩邊之和大于第三邊的關系。首先,對比傳統GS算法的兩曲線圖發現,振幅均方差隨迭代次數增加呈遞減趨勢,代表迭代算法重建圖像振幅分布隨迭代次數增加越來越接近原圖,從開始的0.017逐漸降到0.000 42,GS算法通過5 000次迭代將誤差縮小了25倍,平均每200次迭代降低一倍誤差;其中,誤差從0.017下降到0.000 91經過419次迭代,平均每38次迭代降低一倍誤差;從0.000 91下降到0.000 42經歷4 581次迭代,平均每2 036次迭代降低一倍誤差。前后迭代速度相差近一個數量級;由此可見GS算法的收斂速度越來越慢,419次迭代之后優化的效果不明顯。同時注意到圖6(b)中復振幅均方差曲線呈緩慢增長趨勢,從開始的1.619到1.627緩慢增加,誤差在236次迭代達到1.627后保持穩定不再變化。穩定的復振幅誤差說明GS算法重建的樣本與原圖相比有穩定的相位偏差,同時逐漸減少的幅值誤差說明重建樣本在振幅上無限趨近原始圖像。因此GS算法得到的結果為振幅上無限趨近但與原圖相比有穩定相位偏差的復振幅重建像,且迭代收斂速度越來越慢,因此該算法適用于對振幅噪聲和相位偏移要求不高的觀測場合,由于筆者僅研究純振幅樣本,因此不考慮相位偏移。其次,對比所提出的算法兩誤差曲線圖,觀察比較振幅誤差的迭代收斂速度發現,經過419次迭代后誤差降低了33倍,平均每13次迭代縮小一倍誤差;之后經過4 581次迭代誤差降低了31 579倍,平均每次迭代縮小7倍誤差;前后迭代速度相差91倍。因此該算法迭代速度隨迭代次數的增加呈現增長趨勢。同時圖6(b)中復振幅誤差也呈下降趨勢,在迭代次數為2時出現一拐點,拐點前后復振幅誤差與振幅誤差比值由原來的47下降到1.1,在后續的迭代過程中再降低到1.001。與GS算法恒定復振幅誤差不同,基于振幅條件約束算法可將重建圖像的相位偏移降低到極小范圍內。之后復振幅迭代誤差的收斂速度與在振幅中的收斂速度一致,即在從2～5 000相同的迭代次數下,誤差均下降了兩個數量級,復振幅誤差與振幅誤差保持高度一致性。因此該算法適用于純振幅物體這類無相位信息的目標。對比圖6(a)中兩算法曲線,兩曲線在迭代次數為419處相交,角譜逆傳播法求解此時兩恢復算法的重建物像,如圖7所示。

圖6 迭代過程物面均方誤差變化曲線

圖7 相交點處兩算法重建像比對

比較圖7(a)和圖7(b)所示的交點處兩迭代算法重建像可知,本文算法重建像相比圖5(b)所示的直接重建像,在圖像噪聲上有很大改善,大量有規律的共軛噪聲被去除,為衡量兩算法額外引入的隨機噪聲,對比兩重建像的線掃描結果曲線如圖7(e)和圖7(f)所示。兩重建像的強度能量均在5～225范圍內,因此兩重建像可見度V均為0.96,說明從視覺觀察角度兩重建像的效果是相同的。結合圖6(a)可知兩重建像在誤差水平上也一致,因此可得兩重建像線相交處的平均迭代收斂速度一致,而在此之前GS算法迭代收斂速度要高一些,在這之后所提出的算法迭代速度要快一些。因此當迭代次數小于419次時,GS迭代算法迭代速度比所提出的算法快1.6倍;而在迭代次數大于419次時,本文算法比GS迭代算法快一個多數量級。

在實際實驗中,往往不能準確得到物光場的復振幅分布,因此以上兩個評價指標多用于仿真分析,實際實驗常用誤差函數EF來衡量相位恢復算法結果誤差。

誤差函數EF用于衡量迭代過程的衍射像與記錄得到的衍射像之間的誤差。迭代過程EF誤差曲線如圖8所示。對比圖6(a)和圖8可知,兩種算法的兩類誤差曲線在變化趨勢上一致。且由于誤差函數EF未做平均化處理,因此其誤差值稍微偏高,將其除以像素數100×100后進行比較,在1～5 000次迭代過程中,GS算法EF誤差下降11倍,與AMSE誤差下降25倍的相差較大。

圖8 迭代過程EF隨迭代次數r變化曲線

本文算法EF誤差每迭代一次下降3倍,與AMSE誤差每迭代一次下降243倍的相差也較大。在相交節點處迭代次數不一樣。在開始迭代時,GS算法的AMSE誤差是EF誤差的3.6倍;本文算法的AMSE誤差是EF誤差的7倍。5 000次迭代后AMSE誤差是EF誤差的883倍;本文算法的AMSE誤差是EF誤差的9 410倍。雖然兩變化曲線不構成線性關系,但隨著迭代次數的增加,EF衍射面誤差迭代收斂速度比實際物面迭代收斂速度慢2～81倍,可以作為迭代收斂條件近似描述物面收斂情況。

3 結論

筆者提出一種基于振幅樣本的相位恢復算法,通過仿真實驗對算法有效性進行驗證。仿真實驗重建結果表明,引入振幅約束可有效提升相位恢復質量,消除物面共軛噪聲和隨機噪聲。此外,通過像面誤差評價指標誤差函數的變化曲線發現,引入振幅約束可有效提升相位恢復算法迭代收斂速度,且在與傳統近場衍射GS算法的對比實驗中,相比多個衍射面的記錄振幅約束,引入物面振幅約束條件的迭代結果很好地收斂到原始圖像,而傳統算法在收斂速度隨迭代次數的增加愈發緩慢,存在迭代極限,而所提出的算法在迭代后期一直保持極高的收斂速度。因此所提出的算法能有效提升振幅樣本的迭代收斂速度以及重建結果的準確性。為振幅物體的衍射成像提供了新的途徑。