鐵道車輛不同等效錐度計算方法對比及軟件編制

陳迪來， 曾 毅， 夏張輝， 楊 超， 賀梓豪

（1.上海應用技術大學 軌道交通學院, 上海 201418；2.中國鐵路廣州局集團有限公司 工務部, 廣州 510088；3.中國鐵道科學研究院集團有限公司 機車車輛研究所, 北京 100081；4.中國鐵路廣州局集團有限公司 廣州動車段, 廣州 510000）

等效錐度是評價輪軌接觸狀態的重要指標，直接關系到車輛運行的安全性和旅客乘坐的舒適性[1-3]。等效錐度過小時，鐵道車輛車體容易出現低頻晃動，發生“一次蛇行”；當等效錐度過大并出現“負斜率”特性時，鐵道車輛容易出現轉向架失穩報警和車體抖動，發生“二次蛇行”[4-5]。隨著我國鐵路里程日益增多，車輪和鋼軌間的接觸狀態更加復雜，不同車輛與不同線路上的鋼軌匹配后，等效錐度會發生明顯變化。需要對等效錐度進行管理，確保等效錐度處于正常范圍，保障列車運行的品質。

20 世紀60 年代，歐美各國開始研究蛇行運動和輪軌接觸對車輛運行平穩的影響。經過多年研究，確定了等效錐度的計算原理以及應用標準。國際鐵路聯盟和歐盟鐵路技術規范對服役車輛的等效錐度限值給出了不同的建議限值[6]。標準EN 15302 用于等效錐度算法的驗證，標準UIC 519 給出了等效錐度的計算方法[7]。國內鐵道車輛領域內很多研究工作探討了等效錐度和車輛動力學性能的關系，比較等效錐度計算方法間的不同之處。通過鏇修車輪、打磨鋼軌、焊接接頭不平順區間等檢修方法，可以明顯改善車輛運行過程的穩定性[8]。輪軌參數的變化也會導致輪軌接觸幾何關系發生改變，影響高速列車動力學性能。等效錐度廣泛用于表征輪軌接觸幾何，卻沒有考慮非線性接觸，簡單描述更好的方案以解釋接觸非線性對鐵路車輛運行動力學的重要影響[9]。雖然等效錐度與輪軌接觸狀態間沒有出臺具體標準，但是依據等效錐度對車輪廓形及鋼軌廓形進行動態檢測及管理，進而決定車輪廓形的鏇修及鋼軌廓形的打磨是非常有效的[10]。既有計算等效錐度軟件大多數都是使用商業軟件（如SIMPACK、ADMAS 等）中某1 種計算公式，并且1 次只能計算某一個車輪廓形和一個鋼軌廓形間的等效錐度。隨著智能運維系統中測量的輪軌數據越來越多，單一計算方法及單次計算不能很好表征出不同輪軌間的特征。因此，有必要研究出批量計算等效錐度的計算程序及不同計算方法對比的軟件，方便鐵路工程師對大數據時代下的輪軌數據進行批量管理和提取有效信息。

本文首先介紹了不同等效錐度的計算方法及影響因素，研究了不同計算方法間的差異，編制了批量計算等效錐度的軟件，并對標準及磨耗后LM車輪踏面與r60 鋼軌間等效錐度進行了計算，同時建議以輪對橫移量為2 mm 處等效錐度作為3 mm 等效錐度的補充，用以評價輪軌接觸狀態，為智能運維平臺中等效錐度的管理提供參考。

1 等效錐度的計算方法

等效錐度通常是根據車輪踏面的滾動圓半徑差(rolling radius difference，RRD)函數（見式（1））求得。RRD 函數就是軌道車輛左、右車輪的滾動半徑差隨輪對橫移量變化的函數[10]。下面對UIC 915 積分法、簡化法、簡諧線性法、線性回歸法、概率法進行簡單介紹。

1.1 UIC 519 積分法

軌道車輛運行過程中，自由輪對在軌道上的運動可以用下式來表達：

車輛運行速度為常量v=dx/dt，其中x為縱向位移量；t為運行時長；由此即可得：

根據速度v得到的關系式聯立，綜上得：

將被測車輪踏面錐度角假設為γ，可以得出車輪滾動圓半徑差Δr與γ相關的關系：

用含有γ的式子表示出Δr并代入式（4）中：

x=0 時，y=0 且dy/dx=0。繼續將轉化后所得到的常數系數的二階微分方程求解，得到結果即為Klingel 公式（見式（7））的正弦波波長λ，即：

Klingel 理論中指出的錐形踏面輪對在線路上具有相對固定的正弦運動軌跡，這一運動軌跡的波長取決于輪對踏面的錐度以及左右輪軌接觸斑之間的距離[7]。等效錐度為波長相同的錐形踏面錐度角的正切值，即為Klingle 理論中的tanγ。線性化方法對輪對的周期運動做出假設，引入參數λec作為等效錐度，積分得到車輪運動波長，將其與Klingel 公式中的正弦波波長λ比對，相同波長下的錐形踏面的等效錐度數值作為結果，經轉化得出式（8）：

1.2 簡化法

簡化法將軌道車輛的等效錐度近似的以理想狀態下錐形車輪踏面來表示，把理論上的錐形踏面滾動圓附近的一段為常數的直線段設為斜度λ。計算時通過滾動圓半徑差Δr和輪對橫移量y，建立關于近似等效錐度λ的值，當輪對橫移量發生改變時，λ也會改變，將此時數值作為等效錐度λec（見式（9））。

1.3 簡諧線性法

車輛運行時將車輪的橫向移動看作是簡諧運動，假設由轉向架輪對系統性質決定的周期運動，相當于輪對所受的力與輪對的位移呈正比關系，將輪對橫移量y假設為正弦運動。建立一個關于輪徑差的“描述函數”，描述函數法是從頻率域的角度研究非線性控制系統的穩定性的一種等效線性化方法。為使離散的非線性方程f(y)線性化，并使之與近似的線性方程f(y)≈kx的二次誤差最小化[11]。因此，有式(10)：

對上述關系式求導可以得出k的函數表達式：

進行求解得出x=Asinθ，其中A為諧波線性化幅值。

通過描述函數的線性化處理，近似的可以得出與線性化幅值A有關的等效錐度的表達式（見式（12））。軌道車輛的等效錐度與輪對橫移量有關，當A改變時，得到等效錐度λec。

1.4 線性回歸法

線性回歸是一種以線性模型假設來擬合自變量與因變量之間關系的方法。通過將RRD 函數的擬合曲線分段，并對其每個區段進行一階線性回歸計算，可以得到自變量為輪對橫移量y；一次項系數為k的一次函數，再對每一區段擬合后所顯示的直線函數斜率的1/2 近似地作為等效錐度。線性回歸算法的擬合方程式（13）如下所示：

由該函數方程式可以看出，斜率為k，則被測車輪的等效錐度λec即為式（14）：

1.5 概率法

概率法認為列車在無蛇行失穩的情況下，軌道車輛運動過程中輪對所發生的橫向運動屬于一種服從正態分布的隨機運動。與線性回歸法相同，采用概率法計算時首先要對RRD 函數進行直線擬合。假設得到的擬合函數與RRD 函數間存在一定誤差，將該誤差設為E的函數關系式（見式（15））：

正態概率密度函數為：

當RRD 函數服從正態的概率分布，使E具有最小的擬合直線常數，可以得出函數斜率k和常數量b的表達式（17）：

為計算出函數斜率k具體取得的數值，對式（17）中各項用積分表示，得到如下表達式組（18）：

實驗表明在多數運行情況下，振幅±4 mm 范圍內，概率密度函數中常數σ=2.5 mm，新輪對μ=0，正態分布函數常數a需要滿足如下式（19）：

計算出表達式組（18）中各項參數的值，代入得出k的 1/2 為等效錐度λec（20）：

2 等效錐度算法的編程實現

輪軌接觸應力是影響輪軌磨耗和接觸疲勞的重要因素，在相同的法向輪軌力作用下，輪軌接觸面積越大接觸應力越小[12]。輪軌接觸點和滾動圓半徑差也是2 個重要參數，計算接觸點面積能夠初步推算出等效錐度的情況和運行的狀態，改變輪對橫移量和修正輪對側滾角可以計算左右兩側輪軌的最小垂向距離，比對后輸出輪軌接觸點計算值。滾動圓半徑是車輪在運動狀態下，用于計算車輪周長等于車輪實際運行的距離的等價半徑，兩側滾動圓半徑之差為Δr，結合RRD 函數對等效錐度進行求解。等效錐度要確定輪對橫移量和滾動圓半徑差的關系，通過不同算法的使用，其應用的計算場合和精度也有所不同。

2.1 UIC 915 積分法

使用插值函數找到左右輪滾動圓半徑差為零時所對應的點，分別對左右不同輪對的橫向位移范圍進行相關約束，繼續使用插值函數得出左右車輪的RRD 函數曲線。根據引入的邊界條件采用三次樣條插值對函數進行曲線擬合和不定積分輸出其各自區間內的函數圖像。

對左右輪軌等效錐度取值，計算并輸出搖頭角與等效錐度的圖線。對輪對搖頭角使用3 次樣條插值完成曲線擬合，將擬合后的函數曲線進行不定積分整合，取規定范圍內不同的錐度值在函數中評估數值經過計算得出波長λ?？梢愿鶕阎腒lingel 公式轉化求得所需的等效錐度數值。

2.2 簡化法

簡化法是等效錐度的計算方法中較為簡單的一種算法，利用滾動圓半徑差和輪對橫移量的插值函數關系表示出輪軌間的錐度。改變橫移量數值，車輪錐度的大小會發生變化，以此時所采用的數據點計算出來的錐度即可認為是輪軌等效錐度。簡化法在編程過程中數據的取值范圍比較小，因此存在一定的局限性，可以推測出輸出數據的圖像誤差會比較大，但其名字簡化法的含義就在于計算和編程過程比較簡單也是一種特殊的算法優勢。

2.3 簡諧線性法

簡諧線性法編程時需要將測量等效錐度的輪軌的橫向運動假設為簡諧運動，設置調和函數參數θ在0 到2π的區間，間隔π/100 進行取值。描述函數是對非線性特征在正弦信號作用下輸出進行諧波線性化處理所得到的近似描述[13]。需要先得到一個關于輪徑差Δr的“描述函數”，然后對計算得出的進行曲線擬合，再將諧波準線性曲線進行不定積分，并分別按照其基本區間繪制出圖像。調用fnval 函數在區間內2π點對函數描述評估，再經過計算得出等效錐度數值。

2.4 線性回歸法

線性回歸法是在存在2 種及以上變量的情況時可以使用的一種統計分析定量關系的方法，通過數理統計中的回歸分析可以確定變量之間的定量關系。

在編程時同樣先規定等效錐度的取值，通過polyfit 函數進行階數為一的最小二乘法直線擬合，得到的P1(1)數值即為函數表達式的一次項系數，即函數斜率。已知等效錐度等于斜率的1/2，簡單計算后即可得出結果。

2.5 概率法

概率法編程設置等效錐度的范圍取值并對RRD 函數進行插值處理，下一步引入正態分布概率函數σ。根據正態分布函數的性質可以得知，函數曲線在橫坐標為μ時兩側曲線對稱。當μ值固定時，隨著σ數值的增大曲線越趨于陡峭，且當輸入車輪踏面為新踏面時，默認μ值取0 計算概率函數的常數。根據正態概率分布式（16），以MATLAB程序語言的形式表達，計算出給定截面上的概率函數。

對于擬合的函數直線，同樣根據上一章節內容已知關于其斜率k值的函數，分別對關系式中的各個組成部分進行積分，再將其代回式中計算出k值取1/2 作為等效錐度的數值。

3 計算程序

3.1 程序介紹

通過MATLAB 軟件對計算程序的操作界面和算法編程，設計了2 個獨立操作的GUI 控制操作界面，分別命名為“輪軌幾何接觸計算程序”（見圖1）和“等效錐度計算程序”（見圖2）。輪軌接觸和等效錐度結果分開，使輸出的各部分圖像清晰明了便于辨識，同時數據有機地結合，實現從數據輸入、參數設置、結果計算和圖像輸出等環節。點擊圖1 中“Left Wheel”“Right Wheel”可以單一或者批量導入車輪廓形，點擊“Left Rail”“Right Rail”可以單一或者批量導入鋼軌廓形，實現輪軌接觸幾何的批量計算，能為鐵路工程管理輪軌外形節約時間。

圖1 輪軌接觸幾何計算的操作界面Fig.1 Operating interface for geometric calculation of wheel-rail contact

圖2 等效錐度計算的操作界面Fig.2 Operating interface for the equivalent conicity calculation

主控制界面主要由設置、加載文件、插值、裝配等部分組成。加載文件后按需求更改4 條曲線方向，確保數據處于合適的計算狀態。確認插值和匹配，進行下一步計算可以分別得到左右兩側的輪軌接觸點、輪徑差、滾動角等數據曲線，底部設置的切換按鈕可以在批量輸入輪軌數據時瀏覽各組圖像。

等效錐度計算模塊可以實現對任意車輪計算等效錐度。將等效錐度算法獨立編程完成后分別保存，并連接嵌入到計算程序中。在下方的等效錐度計算區域中，通過對接觸參數設置后可以直接調用輪軌接觸計算模塊計算得到的RRD 函數以及計算得到的等效錐度曲線圖像，操作程序底部的切換按鈕可以實現當前與前后被測輪軌數據的顯示切換，方便在多個數據輸入程序時的批量計算和觀察比較。

3.2 程序測試

載入“輪軌接觸幾何計算程序”和“等效錐度計算程序”控制程序。在設置選項部分設置長度單位為毫米（mm）、角度單位為弧度制（rad）以及計算模式。分別點擊左右車輪踏面和鋼軌廓形，通過預設路徑將數據導入到程序中（測試采用LM 型踏面和r60 型鋼軌），可以單擊圖像下方的“View”對輸入的輪軌曲線（見圖3）進行查看。選擇“Multiple”模式，導入多個數據并通過“View”兩側的“Prev”“Next”進行上、下不同導入數據的切換。

圖3 輪軌曲線Fig.3 Wheel/rail profile

插值方法按需求設置，本程序提供了“linear”線性插值、“cubic”立方插值、“spline”3 次樣條插值這3 種方法，可依照實際情況選擇使用，調至合適的階數點擊“Apply”。輸入軌道車輛的裝配數據，本次采用標稱半徑420 mm、標準軌距1 435 mm、跨度1 493 mm 等，點擊“View Assembly”對輸入輪軌數據的匹配情況進行觀察（見圖4），對4 個不同方向的平面3D 配合圖像檢查完畢后，點擊“Complete Assembly”確認。

圖4 裝配圖像Fig.4 Assembly image

按照測試需求進行設置以及裝配參數調整完畢后，點擊右上方的“Start Calculation”計算輸入的輪軌數據和預設的裝配數據，計算出部分幾何參數圖像（見圖5），各個圖像也同樣支持單獨放大查看。通過觀察關于接觸點、滾動角、輪徑差等參數的曲線可以對當前輪軌的接觸參數進行分析，發現配對維修的錯誤原因所在，及時解決問題提高檢測效率。

圖5 輪軌接觸點分布Fig.5 Distribution of wheel-rail contact points

轉換到等效錐度計算程序界面，將RRD 函數的類型選擇切換到“計算”模式，點擊“Default RRD”和“Calculate Conicity”將會在左右兩個圖表中分別顯示出預設RRD 曲線（見圖6）和采用5 種等效錐度計算方法得到的曲線（見圖7）。

圖6 RRD 函數曲線Fig.6 RRD function curve

圖7 等效錐度曲線Fig.7 Equivalent conicity curve

結合圖6 和圖7 可以看出，RRD 函數在輪對橫移量為[–8.5, 8.5] mm 范圍內，呈現線性趨勢，此時各種算法計算得到的等效錐度基本相同。當RRD 函數有明顯跳躍時，各種算法得到的等效錐度有較大的區別。簡諧線性法和UIC 519 積分法的曲線在整個變化過程中，走向變化都基本吻合，在所有曲線開始突變時，二者間差異也最小。而采用簡化法測得的等效錐度數值上升變化劇烈，中期較為平穩的階段，下降趨勢也十分明顯。

選用1 組磨耗后的輪軌數據（LM 車輪踏面和磨耗60 kg/m 鋼軌）進行測試?？梢郧宄目吹捷嗆壚卧谶\行磨耗下發生改變，重復上文的測試步驟可以計算出磨耗后的部分輪軌參數（見圖8）。

圖8 磨耗后輪軌接觸點分布Fig.8 Distribution of wheel-rail contact points after abrasion

操作等效錐度計算程序得到磨耗后的RRD 函數（見圖9）和等效錐度曲線（見圖10）。

圖9 磨耗后RRD 函數曲線Fig.9 RRD function curve after abrasion

圖10 磨耗后等效錐度Fig.10 Equivalent conicity after abrasion

結合分析圖9 與圖10，磨耗后的輪軌匹配后其錐度差距增大，RRD 函數非線性特征增強，使得各算法得到的等效錐度曲線差異較大?？梢悦黠@看出簡化法與其他4 條曲線走勢相差甚遠，主要原因是簡化計算直接將輪軌型面等效為線性變化的直線區段，當輪軌外形出現磨耗后，型面不再是單一直線，因此不建議對磨耗后的輪軌采用簡化法計算等效錐度。由于等效錐度直接體現的就是自由輪對的蛇行運動，而簡諧線性法和UIC 519 積分法都是將車輛運行軌跡近似看成正弦曲線，這種假設與實際輪軌運行最為接近，因此，采用簡諧線性法和UIC 519 積分法計算數據較為準確。

選用1 組磨耗后的輪軌數據（LM 車輪踏面和打磨前60 kg/m 鋼軌）繼續測試，結果如圖11 和圖12 所示。

圖11 打磨前RRD 函數曲線Fig.11 RRD function curve before grinding

圖12 打磨前等效錐度Fig.12 Equivalent conicity before grinding

國際鐵路聯盟UIC519 定義名義等效錐度指輪對橫移量為3 mm 時等效錐度的計算數值，但若只采用單一某點（3 mm）處等效錐度來評價輪軌接觸狀態并預測車輛穩定性不是很全面。結合圖11 和12 分析，等效錐度出現了“負斜率”增長，若只采用3 mm 時的數值往往較小，因此，建議增加輪對橫移量為2 mm 時數值作為輔助評價輪軌接觸狀態。也可以看出，簡化計算方法得到的等效錐度值與其余幾種方法相差較大，不建議采用簡化計算方法來評價等效錐度。

4 結 語

等效錐度直接反映了輪對蛇行運動的波長，通常采用RRD 函數求得。當RRD 函數呈現線性時，不同等效錐度的計算方法基本一致；當RRD 函數有明顯跳躍時，不同算法計算得到的等效錐度值存在較大差別，尤其是在磨耗后的接軌接觸中，簡化法計算得到等效錐度差異較大，其余方法計算得到的等效錐度最為接近，能較真實地反映輪對蛇行運動的波長。同時建議采用輪對橫移量為2 mm 處的等效錐度作為3 mm 等效錐度的補償，以免局部某一點的較大誤差影響了等效錐度的計算結果。等效錐度用以評價輪軌接觸狀態，能及時對車輛的廓形進行鏇修和指導鋼軌打磨。