右端不連續免疫對雙線性病毒變異模型的影響

李 迅，陶 龍

（1.江蘇聯合職業技術學院南京衛生分院，江蘇 南京 210038；2.皖南醫學院公共基礎學院，安徽 蕪湖 241000）

在人類社會的發展過程中，傳染病總是伴隨左右，始終威脅著人類的生存［1］。 盡管醫療防治水平已有很大提高，但像由新型冠狀病毒、埃博拉病毒和猴痘病毒［2-4］等引起的傳染病仍然威脅著各國人民的生命健康安全。

建立傳染病模型，進行定性和定量分析，是研究傳染病的重要方法。 W. O. Kermack 等［5］建立了SIR 艙室模型，研究了傳染病的閾值理論?？紤]到病毒在傳播過程中會發生變異，A. P. Dobie［6］提出并研究了一類具有病毒突變的SIS 傳染病模型，發現當病毒發生變異時會導致一種死亡率很高的疾病發生。G. R. Jiang 等［7］提出了具有脈沖和種群變化的SIS 模型，并研究了其周期解的存在性和穩定性。 李?。?］研究了病毒自身發生變異的傳染病模型

通過引入恰當的Lyapunov 函數證明了模型平衡點的全局漸近穩定性。 在文獻［8］基礎上，班相函等［9］考慮了時滯對模型的影響，研究了系統的Hopf 分支的時滯臨界點，提出了幾種控制疾病的方法。以上研究都是建立在連續函數基礎上的，而當某種病毒開始傳播時，人們尚未發現其危害，不會給予高度關注，但隨著時間的推移，人們一旦發現這種病毒的危害，就會立即采取防治措施。 因此，感染者數量總體上是不連續的。

為了精準研究病毒的傳播情況， 我們建立了右端不連續的雙線性病毒變異模型， 給出了模型的種群基本再生數R0,通過構造Lyapunov 函數和使用LaSalle 不變集證明了R0>1時模型的解將全局漸近收斂于有病平衡點，R0<1時模型的解將全局漸近收斂于無病平衡點，并通過MATLAB 數值仿真驗證結論的正確性。

1 模型的建立

以文獻［8-9］為基礎，建立微分模型

其中，S為易感染者人數，I1為變異前患者人數，I2為變異后患者人數，A為種群的輸入率，μ為自然死亡率，β1為變異前患者的傳染率，β2為變異后患者的傳染率，γ1為變異前患者的康復率，γ2為變異后患者的康復率，ε為變異前的患者向變異之后患者的轉化率，以上參數均為正數。

記微分模型的初值為S(0)、I1(0)和I2(0),模型的種群基本再生數

將模型（1）的3 個方程相加，可得

即dNdt=A?μN,其中N=S+I1+I2。

若N>A μ,則有dNdt<0,從而有N(t)

為了得到本文結論，作如下假設。

假設1：h(I1)=?(I1)I1,其中?:(0, +∞) → (0, +∞)是單調遞增的分段連續函數，h(I1)僅有可數個孤立的不連續點{pk}。

由于模型（2）中關于dS(t) dt和dI1(t) dt的方程右端是非連續的， 故連續方程的解理論不適用于模型（2）。 因此，我們考慮采用Filippov 解［10］。

對于一類不連續的微分方程，它的Filippov 解定義為

其中，f(t,x)是關于t 和x(t)可測的不連續函數，且局部有界，即f∈(R ×Rn, Rn)。

定義1［11］：對于集值映射K是加在f上的算子，F(t,x)是由f(t,x)構成的集合，若f(t,x)在一點處連續，則F(t,x)構成單點集合，若f(t,x)在一點處不連續，則F(t,x)構成一凸閉包集合。

由定義1 可知，式（3）是存在于凸閉包F(t,x)中的函數，即dxdt∈F(t,x),t∈[0,T)。

由Filippov 解的定義可知，右端不連續微分模型的解是絕對連續的向量函數，即Filippov 解(S(t),I1(t),I2(t))在[0,T)上絕對連續，且滿足

2 平衡點的存在唯一性

若假設1 成立，式（4）的平衡點滿足微分包含

對于有病平衡點，設(S*,I1*,I2*)是式（4）的有病平衡點，則有

很明顯，若(S*,I1*,I2*)是式（8）的平衡點，則存在使得0=β1S*I1*+β2S*I2*? (μ+γ1+ε)I1*?ξ*,其中ξ*是唯一的，且ξ*=β1S*I1*+β2S*I2*?(μ+γ1+ε)I1*∈[?(I1?)]I1?。

聯立式（7）中的微分方程，可得

令

求函數g(I1)的導數，可得

因為所有參數均為非負數，所以有g′(I1) <0，即g(I1)是單調遞減函數， 因此對于無病平衡點，有如下結論。

引理：如果R0>1，那么是式（10）中的唯一正解，并且滿足

其中

證明：先證明解的存在性。 因為R0>1,所以有g(0)>?(0) > 0。由于g(I1)是單調遞減函數，?(I1)是單調遞增函數， 因此g(I1) ≤0成立的充分必要條件是I1滿足

由假設1 可知?是單調遞增函數，記

則有f≥0。式（11）中的兩式相減，兩邊再同除以I1*?I1**,可得

這與兩邊相等矛盾，說明假設不成立，因此微分包含（9）有唯一正解。

3 穩定性分析

下面證明模型（2）的平衡點的全局漸近穩定性。

對于有病平衡點(S*,I1*,I2*),由及可知

假設2：若R0>1,則?(I1)在I1*處有一個跳躍間斷點，其中I1*是式（10）所確定的唯一正解，且

根據假設2，定義

則有θ> 0。

定理1：若假設1 和假設2 成立，則式（4）滿足初值S(0) ≥0,I1(0) ≥0,I2(0) ≥0的所有解全局穩定于有病平衡點E*=(S*,I1*,I2*),且在有限時間內趨于穩定，即當

時，有(S(t),I1(t),I2(t)) =(S*,I1*,I2),其中

構造Lyapunov 函數

其中，α是一個可以確定的正常數，后面將給出其取值范圍。

顯然V1(x(t),y(t),z(t))是關于(x(t),y(t),z(t))的正則函數。 當(x(t),y(t),z(t)) ≠0時，V1(x(t),y(t),z(t)) >0;當且僅當V1(0,0,0) =0;當x(t)→ +∞或y(t) → +∞或z(t) → +∞時，有V1(x(t),y(t),z(t)) → +∞。

對V1(x(t),y(t),z(t))求關于t的導數，有dV1dt=

由假設2 可知，若(x(t),y(t),z(t)) ≠0,則有[η(t)?η*]2>θ2,故對于任意的t∈{t:(x(t),y(t),z(t))≠(0,0,0)},有

對dV1dt從0 到t進行積分，有

令

由文獻［12］可知，當

時， 對任意的t,都有(x(t),y(t),z(t)) =0,故有(S(t)?S*,I1(t)?I1*,I2(t)?I2*) =(0,0,0),即當t>t*時，有(S(t),I1(t),I2(t)) =(S*,I1*,I2*)。

下面證明模型（2）的解在無病平衡點的全局漸近收斂性。 由于假設1 不符合右端不連續的假定，因此給出以下假設。

假設3：h:(0,+ ∞ ) →(0,+ ∞)是單調遞增且至多存在有限個間斷點的函數，I1=0是函數h(I1)的間斷點，且h(0) = 0。

定理2：若模型（2）滿足假設3，則當R0<1時，它的解都將在有限時間內全局穩定于無病平衡點即當t>t*時，有

證明：令x(t)=S(t)?S0,則模型（2）變為

對V2(x(t),I1(t),I2(t))求關于t的導數，可得

由R0<1,0≤β1≤1,0≤β2≤1可知，

由假設3 可知η(t) ≥h(0+),因此有≤?μh(0+)。兩邊做從0 到t的積分，可得0≤V2(x(t),I1(t),I2(t))≤V2(x(0),I1(0),I2(0))?μh(0+)t。

令V2(x(0),I1(0),I2(0))?μh(0+)t=0,即可求得

4 數值分析

現在將運用MATLAB 軟件仿真模擬驗證結論的正確性。

4.1 有病平衡點的數值分析

由假設1 和定理1 可知，當R0>1時，模型（2）的解將在有限時間內全局漸近收斂于平衡點E*=(S*,I1*,I2*)。選取參數β1=0.01,β2=0.3,μ=0.2,γ1=0.9,γ2=0.9,ε=0.1,A=50,設置初值(S(0),I1(0),I2(0)) =(100,150,200),R0=7.7,選取不連續函數

則模型（2）的解在E*全局漸近收斂，結果如圖1 所示。

圖1 >1時模型（2）的解在的全局穩定性

4.2 無病平衡點的數值分析

由假設3 和定理2 可知，當R0<1時，模型（2）的解將在有限時間內全局漸近收斂于平衡點E0=(S0,0,0)。選取參數β1=0.2,β2=0.2,μ=0.8,γ1=0.8,γ2=0.1,ε=0.1,A=5,設置初值(S(0),I1(0),I2(0)) =(10,15,20),R0=0.82,選取不連續函數

則模型（2）的解在E0全局漸近收斂，結果如圖2 所示。

圖2 <1時模型（2）的解在的全局穩定性

5 結束語

為了分析非連續治療策略對病毒變異傳染病模型的影響，我們通過引入右端不連續治療函數h（I1），研究了模型各平衡點的存在唯一性。通過研究發現：當R0＞1 時，在有限時間內，模型的所有Filippov 解全局漸近收斂于有病平衡點E*；當R0＜1 時，在有限時間內，模型的所有Filippov 解全局漸近收斂于無病平衡點E0。 這說明“有限時間內被治愈”具有重要的現實意義， 因為患者總是想知悉他們的病能否被治愈、何時能被治愈。

我們利用MATLAB 軟件對此不連續模型進行了數值仿真，驗證了定理1 和定理2 的正確性。 在今后的研究中，我們將把Filippov 解和微分包含理論應用到更多的生物動力學系統［13-14］，以獲得更加符合實際的結論。