基于支持向量機的斜拉橋應力可靠度分析

董 曦

(湖南省交通運輸廳規劃與項目辦公室，湖南 長沙 410029)

0 引言

斜拉橋因其造型美觀、跨越能力大以及梁體截面尺寸小等特點，近些年來得到了廣泛的應用[1-2]。由于斜拉橋往往是區域交通網絡中的控制性工程，是地區經濟社會的生命線，一旦發生事故，對人民生命安全和地區經濟發展均影響巨大。因此，為確保斜拉橋的安全運營，對其可靠度進行研究具有十分重要的意義。

目前，國內外相關研究人員對斜拉橋的可靠度進行了眾多研究[3-4]。王濤等[5]采用有限元軟件建立了某大跨度鐵路斜拉橋的有限元模型，基于損傷理論，采用蒙特卡洛法對該橋在風以及列車動力作用下的可靠度進行了分析；魯乃唯等[6]根據斜拉橋的結構失效特點建立相應模型，基于神經網絡和聯合智能算法對某斜拉橋的體系可靠度進行了分析，并探討了相關參數對結構體系可靠度的影響；劉劍等[7]采用ANSYS建立了某斜拉橋的有限元模型，采用綜合分析法對該大跨度斜拉橋的可靠度進行了分析。然而，上述方法有一定的運用環境和限制條件，其中采用蒙特卡洛法需要抽取大量的樣本，才能滿足精度要求，運算量較大，耗時久；神經網絡法在泛化時，易出現對數據進行過擬合的現象，從而影響可靠度計算。

基于此，本文闡述了支持向量機的基本原理，提出了基于支持向量機的橋梁結構可靠度分析方法。以國內某斜拉橋為工程實例，建立了該橋斜拉索應力極限狀態方程以及主塔應力極限狀態方程，通過基于支持向量機的橋梁可靠度計算方法，得到了斜拉索的應力可靠度以及主塔應力可靠度。

1 基本理論

1.1 支持向量機基本原理

支持向量機(SVM)是一種基于統計學習原理的機器學習算法，其基本原理為超平面上的樣本數據線性分類器，可用于處理數據的擬合和預測，且支持向量機可以根據數據樣本針對性地改進核函數參數的選擇，對于不同類型的數據均有較好的學習性和適應性，對于結構近似功能函數的擬合具有天然的優勢[8]。

SVM算法可根據線性可分的假定進行相應的推導，本文通過二維線性回歸對其基本原理進行相應闡述，其中回歸是指將已得到的樣本數據點與響應值進行擬合，再根據擬合得到的擬合函數預測位置樣本數據點的響應值，二維線性分類如圖1所示，其中矩形點和三角形點分別表示兩類不同的訓練樣本，H為將兩類訓練樣本分隔開來的分類線，H1、H2分別為距離分類線最近并且通過各自訓練樣本點的線，同時該線平行于分類線H，h為H1與H2之間的距離，稱為分類間隔。當分類間隔最大并且使兩類訓練樣本誤差率為0的分類線H稱為最優分類線，若將其擴展至三維空間，最優分類線即可稱為最優超平面。

圖1 二維線性分類示意

假設存在兩類線性可分的訓練樣本{(x1，y1)，(x2，y2)，……，(xn，yn)}，其中xn∈Rn，xn∈(-1，1)，定義其判別函數如式(1)所示：

y(x)=αx+b

(1)

那么，分類面方程可表示為：

αx+b=0

(2)

將訓練樣本進行歸一化處理，使兩類訓練樣本均滿足|y(x)|≥1,即:

yi(αxi+b)≥1,i=1,2,…,n

(3)

通過式(3)即可將兩類訓練樣本正確分隔開，此時分隔間隔h=2/α。為得到最優超平面，分裂間隔h應盡可能大，即α2應取最小值。因此，可將上述問題轉化為約束優化問題，如式(4)所示：

(4)

式中：minα2表示目標函數，yi(αxi+b)≥1表示分類超平面。若H為最優超平面，那么處于分H1、H2上的訓練樣本即為支持向量。

引入拉格朗日函數可將其轉化為二次規劃尋優的對偶問題，其中定義拉格朗日函數如式(5)所示：

(5)

式中：vi表示拉格朗日乘子，通常情況下vi=0，但若訓練樣本為支持向量時vi≠0。

令上式對α、b、v的偏微分為0，則可求得拉格朗日函數的最小值。根據二次規劃尋優的對偶問題可得：

(6)

對于式(6)，可將其視為函數求極值問題，通過計算推導可得其最優分類函數：

(7)

上述為線性可分情形下采用支持向量機的求解方法，然而在實際應用中非線性可分的情形居多。對于非線性可分的情形，可在線性可分的基礎上引入松弛系數ξ求解[9]，即將式(4)轉化為式(8)：

(8)

式中：c表示懲罰因子，主要用于減小計算過程中的誤差；松弛系數ξi≥0。

1.2 樣本的選取

采用支持向量機法對功能函數進行模擬時，通常需要一定數量的訓練樣本，本文利用拉丁超立方抽樣的方法對數據進行抽樣，該方法的優點是其具有記憶功能，以使抽樣得到的訓練樣本覆蓋較大的范圍，從而使樣本點分布均勻，避免樣本點出現局部集中的情況[10]。對于本文選用的斜拉橋，取訓練樣本區間為[μ-3δ，μ+3δ]，其中，μ表示隨機變量的均值，δ表示隨機變量的標準差，此區間已包含絕大部分樣本點。

2 可靠度分析方法

橋梁的可靠度是指橋梁結構在規定的條件下、規定的時間內完成預定功能的能力[11]。在實際工程中，可靠度通常用于預測和評估結構的性能，通?？刹捎霉δ芎瘮祦肀硎窘Y構的具體狀態，如式(9)所示：

Z=g(R,S)=R-S

(9)

式中：R表示結構抗力；S表示荷載效應。

影響結構可靠度大小的因素有很多，例如材料性能、荷載分布情況以及服役環境等，考慮到影響結構可靠度因素的不確定性，可將功能函數式(9)改寫為：

Z=g(X)=g(X1,X2,…,Xm)

(10)

式中：X1，X2，…，Xm表示影響結構可靠度的隨機變量。

橋梁結構的可靠性概率可以通過式(11)計算得到：

Pr=P(Z>0)=

(11)

通過式(11)直接計算得到結構的可靠性概率十分困難，因此，在計算分析中，通常使用結構的可靠度指標β來代替可靠性概率Pr，它表示結構安全性的度量，可靠度指標β的計算表達式如(12)所示：

(12)

式中：μz、σz分別為功能函數Z的均值和方差，假定功能函數Z服從正態分布。

對式(12)進一步細化可得：

(13)

3 算例分析

3.1 工程概況

本文選取國內某斜拉橋為工程實例，橋梁全長為640 m，跨徑組合為(50+95+350+95+50)m，主梁采用預應力混凝土箱梁，C55混凝土；主塔為獨柱式橋塔，采用C50混凝土；斜拉索采用聚乙烯高強鋼絲拉索。該斜拉橋總體布置如圖2所示。

圖2 算例斜拉橋總體布置(單位：m)

3.2 有限元模型建立

本文采用有限元軟件ANSYS對該斜拉橋進行建模，其中主梁采用BEAM44單元進行模擬，橋塔采用BEAM188單元進行模擬，采用LINK10單元對斜拉索進行模擬，其垂度效應采用ERNST公式進行計算，橋面板采用SHELL63單元進行模擬。

3.3 隨機變量的選取

橋梁結構實際建設是一個理論與實際相融合的過程，相關設計人員提供的構件幾何尺寸、材料特性等均是在理想條件下設計的。然而，在橋梁的施工過程中，由于施工工藝以及施工技術人員施工水平的差異會導致結構實際所處的狀況與理想設計時的狀態有所差異。因此，為了定量分析上述差異對橋梁結構的影響，首先需要選取影響斜拉橋可靠度的隨機變量。斜拉橋結構復雜，影響因素較多，為了簡化計算，本文算例斜拉橋考慮的隨機變量主要包括：主梁、主塔以及斜拉索的彈性模量和容重、二期恒載、汽車荷載等。參考相關文獻[12]以及相關規范標準[13-14]，本文選取的隨機變量取值如表1所示。

表1 隨機變量相關參數取值隨機變量主梁彈性模量/GPa主塔彈性模量/GPa斜拉索彈性模量/GPa主梁容重/(kN·m-3)主塔容重/(kN·m-3)斜拉索容重/(kN·m-3)汽車荷載/(kN·m-1)二期荷載/(kN·m-1)分布類型正態分布正態分布正態分布正態分布正態分布正態分布極值I型分布正態分布均值35.534.5204262578.532.96112.28變異系數0.10.10.10.10.10.10.120.08

3.4 建立功能函數

3.4.1斜拉索應力失效模式的功能函數建立

由相關規范[14]可知，在正常運營狀態下，斜拉索應力的應滿足式(13)：

[σ]≤fyk

(13)

式中：[σ]表示斜拉索容許預應力；fyk表示斜拉索屈服強度。

由此可建立斜拉索應力失效的功能函數，如式(14)所示：

Z1=[σ]-σ(E1,E2,E3,γ1,γ2,γ3,q1,q2)

(14)

式中：E1、E2、E3分別為斜拉橋主梁、主塔以及斜拉索的彈性模量；γ1、γ2、γ3分別為斜拉橋主梁、主塔以及斜拉索的容重；q1、q2分別為汽車荷載和二期荷載。

3.4.2主塔應力失效模式的功能函數建立

算例斜拉橋為超靜定結構，其主塔為最主要的偏心受壓構件，承擔著由主梁傳遞過來的恒載以及活載作用。由于主塔采用的是C50混凝土，故其軸心抗壓強度設計值[σ]=23.1 MPa，從而可得到主塔應力失效模式的功能函數為：

Z2=[σ]-σ(E1,E2,E3,γ1,γ2,γ3,q1,q2)

(15)

3.5 可靠度計算

3.5.1斜拉索應力可靠度計算

采用拉丁超立方抽樣的方法選取200組數據，其中20組為測試樣本，其余為訓練樣本，各隨機變量取值范圍為[μ-3δ，μ+3δ]，通過內插法對各隨機變量進行相應計算可得訓練樣本。然后，對訓練樣本進行歸一化處理，在通過支持向量機對其進行學習并擬合功能函數，并從中選擇最優結果。最后，根據式(12)可計算得到斜拉索的應力可靠度，如圖3所示。由于算例斜拉橋為對稱結構，故圖3中僅列出了半結構的斜拉索應力可靠度，其中邊墩到索塔的斜拉索編號依次為1#～14#，索塔至跨中的斜拉索編號以此為15#～28#。

圖3 各斜拉索可靠度

從圖3中可以看出，斜拉索可靠度指標整體上符合越靠近主塔，可靠度指標越大的規律，其中可靠度指標最大的斜拉索為15#，最大值達到了7.30；可靠度指標最小的斜拉索為邊跨最外邊拉索，即1#斜拉索，其值為4.21。根據設計可知，該橋斜拉索規格并不完全一致，共有6種規格，由于離主塔較遠的斜拉索可靠度較小，因此，在斜拉索設計過程中，可通過調整斜拉索的規格以使全橋各斜拉索的可靠度分布均勻，從而提高斜拉索的體系可靠度。

3.5.2主塔應力可靠度計算

該橋主塔應力可靠度的計算與3.4.1節類似，故不再贅述。為了分析該斜拉橋主塔各個位置可靠度指標的變化規律，將3#主塔分為24個單元，從3#主塔底部至頂部依次進行編號為1#～24#，其中，5#單元為主塔與主梁相接位置的上部，4#單元為主塔與主梁相接位置的下部，主塔各單元的可靠度如圖4所示。

圖4 斜拉橋主塔各單元的可靠指標

從圖4中可以看出，5#單元的可靠度最小，為4.56，表明其所處位置(即主塔與主梁相接位置上部)的主塔壓應力最大；主塔與主梁相接位置的下部各單元的可靠度均較大，其中最大值達到了7.50；而主塔與主梁相接位置上部的可靠度度呈現遞增趨勢，即距離主塔與主梁相接位置越遠，其單元可靠度越大，其中24#單元的可靠度達到了7.05，主塔底部與頂部位置的可靠度均較大。

4 結論

本文闡述了支持向量機的基本原理，基于可靠度理論，得到了基于支持向量機的橋梁可靠度分析方法。以國內某斜拉橋為工程實例，建立了該橋斜拉索應力極限狀態方程以及主塔應力極限狀態方程，通過基于支持向量機的橋梁可靠度計算方法，得到了斜拉索的應力可靠度以及主塔應力可靠度及以下結論：

1)越靠近斜拉橋的主塔，斜拉索的應力可靠度越大，其中最大值達到了7.30，最小值為4.21。在實際工程中，可通過調整斜拉索的規格使全橋各斜拉索的可靠度分布均勻，從而提高斜拉索的體系可靠度。

2)主塔與主梁相接位置上部的可靠度呈現遞增趨勢，距離主塔與主梁相接位置越遠，主塔單元的可靠度越大。

3)主塔應力可靠度最小值出現在主塔與主梁相接位置上部第1個單元，表明此處主塔壓應力最大，主塔與主梁相接位置下部各單元的可靠度均較大。