基于干擾觀測器的倒立擺抗干擾反步控制研究

李 珺, 李艷芳, 王成華, 魏明鑒

(濰坊工程職業學院機電工程學院, 山東 濰坊 262500)

倒立擺系統是一個非線性、欠驅動、不穩定的機械系統,控制過程中,由于其特殊的結構可有效反映出控制系統魯棒性和抗干擾性能的優劣。因此,在控制領域中,倒立擺系統是檢驗新的控制策略和算法的經典控制系統[1-3],倒立擺為機器人系統中的許多模塊提供了大量模型[4-5],有時也被用作實際控制問題的代表性模型,如機器人的手臂運動或火箭的發射[6-7]等。為了解決單級直線倒立擺系統的鎮定控制和軌跡控制問題,線性自抗擾控制[8-9]、自適應神經網絡[10-12]、最優控制[13-14]和預測控制[15]等各類算法相繼應用于研究中。在已有的研究中,多數算法都依賴于精準的動力學建模[16-17]與線性化過程[18-19],從而導致控制算法在魯棒性和抗干擾能力方面的不足, 難以適用于實際工程環境。為了解決上述問題,本文提出了一種基于干擾觀測器的倒立擺抗干擾反步控制方法。將單級直線倒立擺的數學模型改為受干擾時的形式,設計非線性干擾觀測器對干擾進行實時估計,并基于干擾的估計值和反步控制方法,采用 Lyapunov 穩定性理論設計控制器,得到基于干擾觀測器的單級直線倒立擺抗干擾反步控制器,實現對干擾的抑制。仿真結果表明,該算法能夠有效抑制干擾對單級直線倒立擺控制效果的影響。該研究對以倒立擺為模型的實際控制系統的抗干擾性能提供了改善方法。

1 單級直線倒立擺系統的數學模型

圖1 單級直線倒立擺系統

由牛頓第二定律,可得小車水平方向為

(1)

擺桿水平方向受到的力為Fx,豎直方向受到的力為Fy,因此在擺桿水平方向受力為

(2)

擺桿豎直方向為

(3)

擺桿力矩平衡為

(4)

將式(2)代入式(1),將式(2)和式(3)代入式(4),可得

(5)

(6)

式(5)和式(6)為單級直線倒立擺數學模型,可見單級直線倒立擺系統是一個不穩定、非線性、欠驅動的機械系統。在實際環境中,單級直線倒立擺易受到不確定的干擾,因此將單級直線倒立擺在受到干擾時的數學模型改寫為

(7)

(8)

式中,d為不確定干擾。下面將依據此數學模型,設計單級直線倒立擺非線性干擾觀測器。

2 單級直線倒立擺非線性干擾觀測器設計

設計非線性干擾觀測器為

(9)

其中

非線性干擾觀測器的增益n定義為

(10)

干擾觀測器的觀測誤差定義為

(11)

(12)

其中

(13)

若使微分方程的解指數收斂,則

(14)

(15)

3 基于干擾觀測器的單級直線倒立擺抗干擾反步控制器設計

基于干擾觀測器的單級直線倒立擺抗干擾反步控制原理框圖如圖2所示。

圖2 倒立擺系統的抗干擾控制原理框圖

第1步 定義子系統的誤差變量

e1=θ-θd

(16)

取e1導數,得

(17)

構造Lyapunov函數為

(18)

并取其導數,即

(19)

a1=-c1e1

(20)

其中,ci(i=1,2)>0為控制增益。

(21)

(22)

第2步 對虛擬誤差變量e2取導,得

(23)

構造Lyapunov函數為

(24)

取其導數為

(25)

(26)

得到

(27)

由式(15),得

(28)

小車運動最終位置由基于干擾觀測器的單級直線倒立擺的抗干擾反步控制器u聯立式(5)運算得到。

4 仿真分析

為驗證本文算法的有效性,采用文獻[20]中單級直線倒立擺的具體參數進行仿真,搭建Matlab/simulink仿真平臺,單機直線倒立擺參數如表1所示。

表1 單級直線倒立擺參數

(29)

4.1 單級直線倒立擺受到連續干擾信號時的控制效果

在受到連續正弦信號干擾時,連續正弦干擾信號d=1.5sin0.5t,干擾及干擾觀測器估計值如圖3所示。由圖3可以看出,干擾觀測器能夠穩定估計連續正弦干擾信號,估計值準確且有效。

圖3 干擾與干擾觀測器估計值

在受到連續正弦信號干擾時,單級直線倒立擺擺桿夾角響應曲線如圖4所示。由圖4可以看出,在所受干擾相同的情況下,擺桿與垂直向上方向的夾角,在反步控制器控制時,單級直線倒立擺受干擾的影響較大,擺桿擺角不能漸近穩定在平衡位置,出現振蕩?；诟蓴_觀測器的抗干擾反步控制器控制時,控制器對連續正弦信號干擾有很好的抑制效果,系統沒有超調,擺桿大約在仿真開始后的第2 s擺動到平衡位置,基本達到穩定狀態。

在受到連續正弦信號干擾時,單級直線倒立擺小車位置響應曲線如圖5所示。由圖5中可以看出,為保證擺桿的平衡,小車來回運動,這是由單級直線倒立擺系統的欠驅動性決定,但基于干擾觀測器的抗干擾反步控制器控制時,要比基本的反步控制器振蕩幅度小。因此,基于干擾觀測器的抗干擾反步控制方法,對連續正弦信號干擾的抑制有效。

圖5 單級直線倒立擺小車位置響應曲線

4.2 單級直線倒立擺受到階躍干擾信號時的控制效果

在受到瞬時階躍信號干擾時,單級直線倒立擺受到的瞬時階躍干擾信號d在第10 s幅值由1階躍為0,干擾與干擾觀測器估計值如圖6所示。由圖6可以看出,干擾觀測器能夠在有限時間內有效估計瞬時階躍干擾信號。

在受到瞬時階躍信號干擾時,單級直線倒立擺擺桿角度響應曲線如圖7所示。由圖7可以看出,在所受干擾相同的情況下,擺桿與垂直向上方向的夾角,在反步控制器控制時,單級直線倒立擺受干擾的影響較大,幅值為1時的干擾,擺桿擺角較大幅度地偏離了平衡位置,出現了持續的0.05 rad的誤差,待干擾階躍為0后,經過控制器的控制,重新回到穩定狀態?；诟蓴_觀測器的抗干擾反步控制器控制時,控制器對瞬時階躍信號干擾有很好的抑制效果,較平滑地處在平衡位置的穩定狀態,只在瞬時階躍時,擺桿擺角有較小幅度的變化。

圖7 單級直線倒立擺擺桿角度響應曲線

在受到瞬時階躍信號干擾時,單級直線倒立擺小車位置響應曲線如圖8所示。由圖8可以看出,在受到的瞬時階躍干擾信號相同的情況下,單級直線倒立擺系統在反步控制器控制時,小車運動的幅度較大才能使擺桿重新平衡,基于干擾觀測器的抗干擾反步控制器控制時,為使擺桿重新平衡,小車運動的幅度比基本的反步控制器控制時幅度小約3.5 m,效果明顯提高。綜上所述,基于干擾觀測器的抗干擾反步控制方法,對瞬時階躍信號干擾的抑制是有效的。

5 結束語

為了提高單級直線倒立擺控制系統的魯棒性和抗干擾性能,本文提出了基于干擾觀測器的倒立擺抗干擾反步控制方法。仿真結果表明,相對于反步控制,該算法對連續正弦信號干擾或瞬時階躍信號干擾有效,具有較強的抗干擾能力。本研究設計了干擾觀測器對外界干擾實時估計,將干擾的估計值反饋給控制器產生抑制干擾的補償量,抑制干擾?？紤]到在實際環境中外界干擾對倒立擺系統的影響,具有一定的理論研究和實際應用價值。為進一步提高倒立擺的抗干擾性能,對不同類型干擾的分析是接下來的研究方向。