進給系統機電耦合仿真建模與誤差影響規律分析

李海洲，謝麗軍，周夢潔，柏明劍，朱潤平，龐 偉

（1.東莞穩控自動化技術有限公司，廣東東莞 523000；2.中國航空工業集團成都飛機設計研究所，成都 610041；3.東莞理工學院，廣東東莞 523808；4.東莞市東莞理工科技創新研究院，廣東東莞 523808）

0 引言

當前，我國現代機械制造業正朝著高精度、高速度、高效率的方向發展[1]。數控機床作為工業母機，其加工精度決定著工業制造水平的高低[2]。進給系統是數控機床的關鍵部件，該部件的性能對數控機床的精度影響很大[3]。因此，分析機床進給系統的穩定性，對于提高機床的加工速度和加工精度具有非常重要的意義[4]。

進給系統的動態響應特性受可動結合面、結構剛性變形、控制系統的響應性能等多因素影響，以上影響因素具有強耦合特點[5]，這對動態響應特性的精確建模提出了巨大的挑戰。

進給系統動態響應特性仿真分析研究方法主要有基于機電聯合仿真建模與基于數學模型和Simulink 的建模方法。多位研究者用機電聯合仿真的建模方法[6-9]考慮了進給系統實際運行時的接觸變形、結合面剛度、阻尼、固有頻率等。孫名佳、方晨曦、羅茹楠等[10–21]考慮了延時、摩擦等影響因素，用Simulink 進行仿真建模，分析其動態響應過程中的固有頻率、跟隨誤差等影響。

本文從理論建模與基于Simulink 仿真兩方面出發，對滾珠絲杠進給驅動系統的控制系統與機械傳動系統進行數學簡化，建立了進給系統的Simulink 仿真模型。搭建了單軸伺服進給系統實驗平臺，并通過理論推導、仿真分析與實驗驗證研究了位置環增益、位置、速度、加速度、間隙等因素對跟隨誤差的影響規律。

1 機電系統理論建模

1.1 進給系統動力學建模

本文采用交流永磁同步電機驅動的滾珠絲杠進給系統，其機械部分組成如圖1所示。

圖1 進給系統的組成

伺服驅動器驅動電機旋轉，電機軸通過聯軸器帶動絲杠旋轉，進而轉化為工作臺的直線運動。進給系統的轉矩平衡方程為：

式中：Tl為電機軸輸出轉矩；Ta為系統總慣性力矩；Tf為系統總摩擦力矩，包括支撐軸承的滾動摩擦、工作臺承載滑塊與導軌間摩擦、絲杠螺母副的摩擦力等；Tc為切削負載等效切削力矩。

進給系統總慣性力矩為：

式中：ωm為絲杠轉速；J為系統總的轉動慣量，包括絲杠、聯軸器、軸承等旋轉部件的轉動慣量以及工作臺、滑塊等直線運動部件的等效轉動慣量。

進給系統的摩擦力建模常見的有Stribeck模型[22]：

式中：Tfc為庫倫摩擦力矩；Tfs為最大靜摩擦力矩；vs為臨界速度；σ 為黏滯摩擦因數，v為接觸面的相對運動速度。

Stribeck 摩擦模型如圖2所示。由Stribeck 摩擦模型可知，高速時摩擦力與速度基本是線性關系，但在啟、停、過象限點等低速運動時，摩擦力與速存在很強的非線性，這對系統在低速階段的運動跟蹤精度產生不利影響。

圖2 stribeck摩擦模型

此外，進給系統傳動過程中，還存在如圖3 所示的各種典型非線性影響因素。

圖3 進給系統典型非線性影響因素

因零部件本身尺寸精度、導軌的非線性摩擦，以及反向間隙、裝配精度等因素影響，工作臺的運動速度是變化波動的，與指令值存在一定偏差，這種偏差經伺服反饋調節引起伺服電機電樞電流變化，進而改變電機輸出扭矩。圖4 所示為電機軸由勻加速到勻速階段的輸出扭矩信號和速度信號。

圖4 進給系統絲杠輸入扭矩與轉速

可以看到，在勻加速階段存在慣性力矩，加速和勻速段均存在明顯的扭矩波動，電機軸的實際速度也并不穩定，說明進給系統在運動過程存在加大的非線性干擾，這種干擾將對進給系統的跟蹤精度產生一定影響。

1.2 進給驅動系統控制模型建立

進給軸控制系統通常采用串聯式閉環的三環控制結構，如圖5所示。

圖5 進給系統三環控制結構

（1）電流環：與交流永磁同步電機直接相連，實時監測電機的驅動電流大小，限制電機電樞的電流范圍，提供有穩定的加速轉矩。其響應速度快，能有效抑制內部干擾，在工程上常采用負反饋PI控制。

（2）速度環：位于中間的是速度環，利用絲杠末端編碼器監測絲杠軸實時轉速，與指令速度比較對電機轉速進行調整，將整個電流環作為被控對象，抑制負載變化和外部干擾引起的速度波動，常采用負反饋PI控制。

（3）位置環：最外環是位置環，利用編碼器或光柵尺監測的工作臺實際位置，與指令位置進行比較，對工作臺的位置進行調整，保證系統的位置跟蹤精度和定位精度。根據三環控制系統的設計結構可知，相對于電流環和速度環，位置環的截止頻率更小，這嚴重影響了位置控制器的快速性。因此，常采用P 控制來提高位置環響應的快速性。

基于以上三環結構，建立如圖6 所示的單軸伺服進給系統的控制結構。

圖6 單軸伺服進給系統PID控制結構

2 跟隨誤差影響因素理論分析

2.1 穩態誤差分析

根據系統開環傳遞函數中積分環節的個數將系統分為0 型系統、Ⅰ型系統、Ⅱ型系統等，將上節伺服控制系統模型進行簡化，以開環傳遞函數表示進給系統PID三環控制模型，則其誤差傳遞函數如下：

式中：E（s）為系統響應誤差；R（s）為指令輸入。

根據終值定理可知，若系統穩定，系統穩態誤差可由下式計算：

進給系統動態響應誤差與進給軸速度、加速度等密切相關，實際加工作程中系統給定的運動指令常由多種典型信號線性組合而成，因此，本文以3 種典型信號作用下對系統的穩態誤差進行分析：階躍信號為r(t)=1(t)，R(s)=1/s；斜坡信號為r(t)=t?1(t)，R(s)=1/s2；加速度信號為r(t)=t2/2?1(t)，R(s)=1/s3。將上述3 種典型信號的R（s）代入，可以計算得到該信號輸入下的系統穩態誤差：

式中：C0為位置誤差系數；C1為速度誤差系數；C2為加速度誤差系數。

可知，當進給系統的控制參數確定時，其響應的跟隨誤差僅由輸入決定。進給系統的指令輸入信號主要是由上述3 種典型信號線性組合而成，因此，其跟隨誤差也是輸入指令中位置、速度、加速度分量的組合。

2.2 跟隨誤差的計算

對于PID 三環控制這樣的線性系統，其脈沖輸入響應的拉式變換等于其傳遞函數。線性系統的輸入輸出滿足卷積關系：

式中：u（t）為系統輸入；h（t）為脈沖響應；x（t）為系統輸出。

根據此關系計算任意輸入下系統的響應輸出：

式中：w（k）為單位脈沖響應。

根據脈沖響應的特性，脈沖響應在時域上具有一定寬度N，當k＜0 及當k＞N時，w（k）=0，因此，系統輸出可以表示為：

可以看到，通過數值法計算脈沖響應的有限項，可以得到對應的輸出。但這種方法需要事先知道系統的脈沖響應函數，且需要大量繁瑣的求和計算，過程復雜?？紤]PID 三環控制模式下的進給控制系統可以看做是一個二階系統，其跟隨誤差可近似如下：

可知，跟隨誤差與位置、速度、加速度存在相關性，是跟隨誤差的重要影響因素。

3 基于Simulink的進給系統動力學仿真分析

3.1 進給系統動力學模型參數的設置

（1）機械結構參數

本文利用KISTLER 扭矩傳感器采集的電機輸出扭矩信號，對進給系統的總等效轉動慣量和阻尼進行辨識，得到簡化后進給系統的等效轉動慣量和阻尼如表1所示。

表1 進給系統機械結構參數表

（2）交流永磁同步電機參數

在本文所搭建的單軸伺服進給實驗臺中，選用的是YASKAWA 公司生產的Σ-7 系列SGM7G 型交流永磁同步電機。根據Σ-7系列電機選型手冊中所給參數進行計算，可以得到相關的仿真參數，如表2所示。

表2 進給系統伺服電機參數表

（3）PID三環控制參數

進給伺服系統采用的是PID 三環控制結構，經整定過后，可以得到如表3所示的進給系統仿真控制參數。

表3 進給系統PID三環控制參數表

根據上述參數，建立了進給系統的Simulink 仿真模型，如圖7所示。

圖7 進給系統Simulink仿真模型

3.2 伺服控制參數與絲杠間隙對動態響應誤差的影響

（1）位置環增益對跟隨誤差的影響

以2.2節建立的進給系統動力學模型為基礎，保持模型其他參數不變，改變系統位置環增益，分別取Kp為100、150、200、250、300、350、400 時，進給系統對階躍信號輸入、斜坡信號輸入以及正弦信號輸入的動態響應，其仿真結果如圖8所示。

圖8 不同位置環增益下的系統響應

由圖8（a）可知，位置環增益Kp在由100 逐漸增加到400 的過程中，進給系統對階躍信號的響應逐漸產生超調量，響應速度越來越快；由圖8（b）可知，隨著進給系統位置環增益Kp的增大，進給系統勻速運動的跟隨誤差逐漸減小，但減小的幅度在逐漸降低，同時達到穩態的時間也逐漸減小，當Kp達到200 后跟隨誤差大小基本不再變化，只是稍微有點下降；由圖8（c）可知，對于速度時變的正弦信號，在反向點處，由于實際位置響應滯后于指令，導致進給系統在運動指令反向后一段時間參才反向，這將導致實際加工過程中產生相應的輪廓誤差，但這種誤差隨著Kp的增大逐漸減小，并在Kp達到200后基本趨于穩定。

綜上所述，進給系統位置環增益Kp對載荷突變過程、勻速運動過程以及周期性變速運動過程的跟隨誤差均會產生顯著影響。

（2）絲杠間隙對跟隨誤差的影響

以建立的進給系統動力學模型為基礎，改變進給系統的進給加速度的大小，分別取絲杠間隙Cn為0.00、0.01、0.02、0.03、0.04、0.05 mm 時，仿真進給系統對正弦信號輸入的動態響應，保持勻加速運動至速度達到1 200 mm/min。其仿真結果如圖9所示。

圖9 不同間隙下進給系統的動態響應

與無間隙相比，當絲杠間隙存在時，進給系統在啟、停點處以及速度反向點處的動態跟蹤精度會迅速下降，工作臺在經過這些啟、停、反向點處時，跟隨誤差會迅速累積絲杠間隙而發生突然增大，而與進給系統的控制參數無關。在工作臺走過間隙區間后，此時很大的跟隨誤差值將被PID三環控制系統逐漸補償，有、無間隙的位移輸出響應曲線慢慢重合，但這個過程將消耗一段時間，表現為相對于無間隙的進給系統，有間隙的進給系統在反向點前后的一個時間區段內跟隨誤差會突變，這個區間段的長度與間隙大小呈正相關，有、無間隙的跟隨誤差差值會先增大后減小的，且這種差值的變化是非線性的。

4 跟隨誤差影響因素相關性驗證

4.1 實驗平臺搭建

本文搭建了單軸伺服進給系統實驗平臺，如圖10所示。

圖10 單軸伺服進給系統實驗臺

4.2 誤差影響因素相關性驗證

（1）位置的相關性驗證

如圖11 所示，通過輸入指令的整體平移使運動軌跡在進給臺上的位置發生改變，以此進行位置相關性驗證。

圖11 單軸伺服進給系統直線軌跡

同一軌跡在不同位置下的響應特性誤差對比如圖12所示。由圖可知，在第二個位置下的跟隨誤差與第一個位置下的跟隨誤差之差在±0.003 mm范圍內波動，而此實驗平臺的的重復度誤差也在0.004 mm 左右，其跟隨誤差的大小和變化趨勢并不會改變，即跟隨誤差與位置并不相關。

圖12 不同位置下的跟隨誤差對比

（2）速度的相關性驗證

以梯形加減速的直線運動軌跡來進行速度相關性實驗，分別進行進給速度為4 000、6 000 mm/min 兩組不同速度下的直線軌跡運動，比較不同速度下跟隨誤差的大小和變化趨勢。不同速度下的跟隨誤差按軌跡展開后的曲線如圖13所示。

圖13 不同速度下的跟隨誤差對比

可以看到，進給速度由4 000 mm/min 變化到6 000 mm/min的后，跟隨誤差的變化趨勢基本一致，但跟隨誤差的大小明顯不同。在4 000 mm/min 時，勻速段的跟隨誤差穩態值在2.2 mm 左右，而當進給速度變為6 000 mm/min 時，勻速段的跟隨誤差穩態值增大到了3.4 mm左右。而且可以發現，隨著速度的增大，跟隨誤差也相應增大。由此，跟隨誤差和進給速度有較強關聯性。

（3）加速度的相關性驗證

以重復的梯形加減速運動軌跡來進行跟隨誤差加速度相關性實驗，分別進行加減速時間常數為200、300 ms 時的軌跡運動，所對應加減速段的加速度分別為500 mm/s2和333 mm/s2。去除速度相關部分跟隨誤差后的跟隨誤差曲線如圖14所示。

圖14 不同加速度下的跟隨誤差對比

可以看到，當加速度由333 mm/s2變化到500 mm/s2后，跟隨誤差的變化趨勢保持一致，但跟隨誤差的大小發生了顯著變化。加速度為333 mm/s2時，加速度段跟隨誤差最大值約為0.29 mm，當加速度增加至333 mm/s2后，加速度段跟隨誤差最大值增加到了約0.42 mm。由此，跟隨誤差和進給加速度具有一定的相關性。

綜上所述，速度、加速度是跟隨誤差的重要影響因素，而位置基本對跟隨誤差無影響。

5 結束語

本文對滾珠絲杠伺服進給系統進行簡化，利用Simulink 仿真工具建立進給系統的動力學仿真模型，從理論上分析了系統動態響應過程中的穩態誤差，利用仿真模型分析了位置環增益以及速度、加速度、間隙等對跟隨誤差的影響。同時，在單軸伺服進給系統實驗臺上進行了跟隨誤差影響因素的相關性驗證，明確了速度、加速度與跟隨誤差的相關性，為進給系統非穩態跟隨誤差的精確建模和預測奠定了基礎。