基于擾動觀測器的無人機固定時間編隊協同控制

賀林翰，高晗威，程鵬飛，孫銘陽，郭 永

（1.西北工業大學自動化學院，陜西西安 710129；2.西安現代控制技術研究所，陜西西安 710065；3.航天科工智能運籌與信息安全研究院（武漢）有限公司，湖北武漢 432200）

0 引言

近年來，無人系統的自主能力和智能化水平不斷發展和提高，已經能夠取代人類執行某些特定任務。無人機不僅廣泛應用于任務偵察、目標打擊等軍事領域，還廣泛應用于農業植保、遙感測繪、森林消防、影視航拍等民用領域[1-3]。隨著無人機的應用越來越廣泛，無人機所執行的任務也越來越復雜，任務難度也逐漸增加。單個無人機存在續航時間短、承載能力弱的缺點，這極大地限制了它的性能發揮，無法完成龐大的任務。在此背景下，多無人機協同控制與編隊成為新的研究熱點[4]。與單個無人機系統相比，無人機編隊系統具有很多優點。例如，當無人機編隊執行任務時，盡管編隊中可能有一些無人機失敗，但其他無人機可以繼續執行任務，如此可以提高無人機完成任務的可靠性和效率。在無人機的編隊控制中，需要使用一些編隊控制方法，來完成多個無人機的協調控制，無人機的編隊方法主要包括：領航-跟隨方法[5-6]、虛擬結構法[7-8]、基于行為的方法[9]等。

無人機編隊是1 個典型的多變量、強耦合非線性系統，而且在編隊飛行過程中易受陣風等不確定外部擾動的影響。因此，提高無人機編隊控制系統的魯棒性和快速性至關重要。在各種干擾下提供準確穩定的編隊控制是1 項具有挑戰性的任務。到目前為止，大多數控制方法只能保證漸近或有限時間收斂，在這些方法中，收斂時間與初始狀態有關。而在某些初始條件下，系統的收斂時間可能過長，這在工程實踐中是不可接受的。文獻[10]在研究雙極限加權齊次系統穩定性的過程中發現了固定時間收斂特性。文獻[11]對此進行了系統總結，提出了固定時間收斂的概念。固定時間收斂理論預先定義了1 個條件，即收斂時間與初始狀態無關。這有效地解決了系統初值未知所帶來的控制問題?，F有的固定時間收斂研究主要集中在控制器設計和干擾觀測器設計方面[12-14]。

基于固定時間收斂理論可使用各種控制設計方案設計控制器，以實現使系統固定時間穩定的目的。反步控制是1 種有效的非線性控制設計方案，它將原高階非線性系統分解為不超過系統階數的誤差子系統，并利用李雅普諾夫穩定性理論計算控制律。文獻[15]首先提出了求解非線性編隊模型的反演控制方法，其基本思想是設計1個虛擬子系統的輸入信號，并將其反饋給控制器，從而得到真實子系統的控制輸入。該方法常用于無人機編隊控制器的設計，并通過構造李雅普諾夫函數來驗證其有效性。文獻[16-17]將“leader-follower”方法應用于無人機的群體控制，將任意無人機作為“leader”，其他無人機作為“follower”；所考慮的問題可以簡化為多無人機編隊控制問題。然而，這種方法有一定局限性。文獻[17-18]提出了虛擬領航者方法。他們將無人機視為剛體，每個無人機只能跟蹤固定點并保持理想的隊形。同時，文獻[19]提出了基于行為控制方法的編隊幾何中心概念。此外，文獻[20-22]采用基于“leader”的有向圖協議共識方法，研究了多無人機的隊形保持問題。

在控制器設計的過程中，為增強控制器的魯棒性，基于擾動觀測器的控制方法被提出，如模糊觀測器[23-24]、非線性擾動觀測器[25]、超螺旋觀測器[26]、擴展狀態觀測器[27]等。超螺旋方法首先由Levant 提出，用于魯棒精確微分[28]。超螺旋方法作為1種特殊的二階滑模，具有不需要滑模變量導數信息的優點。文獻[29-30]將超螺旋方法與其他智能控制算法相結合，進一步證明了其實用性。傳統的超螺旋方法包括2個可調諧的固定增益，根據干擾的界來設計。文獻[31]提出了1種多變量超螺旋滑模方法，但只實現了有限時間收斂。文獻[32]通過對其進行修正，提出了1 種新的多變量固定時間的可重復使用運載火箭再入姿態控制方法。目前，國內對無人機編隊的基于超螺旋觀測器的固定時間控制研究較少。

綜上分析，本文提出了1 種基于超螺旋算法的擾動觀測器（super- twisting disturbance observer，STDOB）和固定時間反步控制（fixed-time backstepping control，FBC）的多無人機編隊控制策略，并通過MATLAB 仿真軟件對基于虛擬領航者的多無人機編隊控制策略進行驗證。相對于文獻[31-32]，總結出本文的關鍵創新點如下：

1）設計了1種基于超螺旋算法的擾動觀測器，該觀測器能夠在固定時間內觀測系統的外部時變擾動；

2）使用反步法解決無人機編隊的固定時間控制問題，所設計的控制器實現了與無人機編隊初始狀態無關的固定時間收斂；

3）通過對擾動的精確觀測，該控制器避免了傳統自適應中對控制增益的過度估計，從而顯著降低了抖振效應。

1 問題描述及預備知識

1.1 無人機單機及編隊控制系統模型

考慮1 類含有外部擾動的無人機單機模型，第i架無人機的非線性運動學與動力學模型如下：

式（7）中：

為了構造編隊誤差模型，考慮1個由N架跟隨者無人機與1 個虛擬領航者構成的多無人機系統，控制目標為：

定義編隊中第i架無人機的聯合位置誤差：

由上式可以看出，當聯合位置誤差ei收斂到0時，各無人機將按照預設的隊形收斂到各自的期望位置，并形成期望隊形。

定義編隊聯合位置誤差與相對距離矩陣為：

則整個編隊聯合位置誤差為：

定義：

則式（16）可以表示為：

對式（20）求導可得：

對式（21）求導并結合編隊運動學與動力學模型，式（7）可得編隊聯合誤差模型為：

式（22）中，d=。

令e?=ev，ev為編隊聯合速度誤差，則式（22）編隊聯合誤差模型可整理為：

本文的控制目標：針對一類含有外部時變擾動的無人機編隊系統，設計1 種超螺旋干擾觀測器觀測系統的擾動；進而利用擾動信息設計反步控制器，使無人機編隊能在指定時間跟蹤上期望指令。

1.2 圖論

1.3 預備知識

引理1[33]若有一連續徑向有界函數為V:Rn→R+∪{0}符合以下條件：

1）V(x)=0 ?x=0；

則原系統能夠在固定的時間內收斂到0，且對收斂時間T有：

注1 由式（24）可知系統的收斂時間僅由?1、?2、α、β決定，與系統的初始狀態無關。

引理2[33]若有一連續徑向有界函數為V:?n→?+∪{0}符合以下條件：

1）V(x)=0 ?x=0；

2） 任 意x(t) 都 符 合 不 等 式V?(x)≤-?1Vα(x)-?2Vβ(x)+?，式中，?1、?2、α、β、?都是正常數，并且0＜α ＜1、β ＞1。

則原系統能夠在固定的時間內穩定，且對收斂時間T有：

式（25）中，?是滿足0＜? ＜1的正常數。

引理3[34]若ε1,ε2,…,εM≥0，則有：

引理4（Yong’s Inequality）[35]對于?(a,b)∈?2，下列不等式成立：

式（27）中：ζ ＞0，Ψ ＞1，Φ ＞1，(Ψ-1)(Φ-1)=1。引理5[35]對于任意ι ＞0,x∈?，存在不等式：

式（28）中，κ滿足κ=，e 為自然常數，例如κ=0.278 5。

2 基于超螺旋算法的擾動觀測器設計

針對無人機編隊系統，設計了基于超螺旋算法的具有定時收斂特性的擾動觀測器（STDOB），可以補償等效擾動。此外，還分析了擾動觀測誤差的收斂時間。無論初始狀態如何，該擾動觀測器都能在有限時間內將估計誤差收斂到原點的小鄰域內。觀測器的設計結構如下：

定理1 構造的擾動觀測器（29）可以在固定時間內對外界擾動d精確估計，且觀測誤差σ為0。

證明對σ求導，可以得到：

接著計算σ2的導數，可得：

由式（32）（33）可得誤差如下：

基于文獻[36]的結論，如果觀測器的增益滿足條件（30），則σ?和σ?2可以在固定時間t0內收斂到原點，且有：

則可得，當t≥t0時，σ=0，σ2=0?；仡櫴剑?1）可得σ?=d-d?=0，即d?=d。因此，t≥t0之后，觀測器可以精確地估計等效擾動，即可以實現固定時間擾動觀測，證畢。

3 固定時間反步控制器設計

根據前文中建立的無人機編隊模型以及所設計的固定時間擾動觀測器，設計虛擬控制量evd和固定時間反步控制器F為：

定理2 考慮模型為式（23）的基于聯合誤差的無人機編隊誤差模型，設計基于擾動觀測器（29）的固定時間反步控制器（37），可實現無人機編隊控制，且閉環系統中所有的信號都是固定時間穩定的，編隊聯合位置誤差e和編隊聯合速度誤差ev在固定時間tm內收斂到0，且tm滿足tm≤t+t0，t將在后文給出。

證明定義：

設速度誤差與虛擬控制量的誤差為：

構造李雅普諾夫函數：

對式（40）求導得：

將式（37）代入式（41）得：

由Young’s不等式（引理4）可知：

代入式（42）得：

對向量z1中的元素z1i(i=1,2,…,N)的值分情況討論。若z1i ＞1，

若z1i ＜1，

由引理5整理得到：

4 仿真分析

4.1 仿真條件

為了驗證設計控制方案的有效性，在本文提出的控制器下對無人機編隊飛行任務進行了數字仿真。仿真中的無人機編隊包含3架實際編隊飛行的無人機和1架虛擬領航無人機，所有無人機的初始信息如表1所示。無人機編隊隊形為以虛擬領航無人機（編號0）為中心，3架無人機（分別編號1、2、3）為3個頂點的等邊三角形。在編隊中，設計的隊形中其他無人機與虛擬領航無人機的期望相對距離如表1 所示；編隊中各個成員的初始參數如表2所示。

表1 無人機編隊隊形Tab.1 UAV formation

表2 無人機編隊初始參數Tab.2 Initial parameters of UAV formation

表3 控制參數Tab.3 Control parameters

4.2 仿真結果

圖1為編隊中3架無人機基于編隊模型建立的編隊聯合位置誤差。在設計的基于固定時間超螺旋干擾觀測器的多無人機反步控制器的作用下，聯合位置誤差的跟蹤曲線光滑且無超調，并且無人機#1的穩態誤差在0.1 m 以內，其余2 架無人機的穩態誤差在0.01 m 以內。

圖1 無人機聯合位置誤差Fig.1 Joint position error of UAVs

圖2 為3 架無人機的聯合速度誤差?？梢钥闯?，聯合速度誤差以較快的速度收斂，且無人機#1的穩態誤差保持在0.15 m/s 內，其余2 架無人機的穩態誤差在0.05 m/s以內。

圖2 無人機聯合速度誤差Fig.2 Joint speed error of UAVs

圖3為3架無人機的實際上與自身在編隊中的理想位置的絕對位置誤差?？梢钥闯?，其收斂的時間與聯合位置誤差是一致的，且收斂過程無超調，穩定誤差在0.1 m以內。

圖3 無人機絕對位置誤差Fig.3 Absolute position error of UAVs

圖4為3架無人機的3個方向的控制力變化情況，控制力的輸入有最大限制。系統在3個方向上存在正弦波形式的擾動，因此控制力也呈現一定的波動來抵消擾動，且控制力在波動的過程中保持在輸入限制以內。

圖4 無人機控制力Fig.4 Control force of UAVs

綜上所述，基于本文所提出的超螺旋干擾觀測器，可對系統中存在的外部擾動進行固定時間內的快速準確的估計?；诠潭〞r間超螺旋干擾觀測器的多無人機反步控制系統，可使無人機編隊在固定時間內組成期望隊形，并跟蹤上虛擬領航無人機的軌跡。

5 結論

本文提出了1種基于固定時間超螺旋干擾觀測器的多無人機反步控制系統。針對含有外部擾動的多無人機編隊系統，基于超螺旋干擾觀測器和反步法理論設計了固定時間控制器，使得系統的多架無人機能在指定時間內跟蹤上期望的指令信號。最后，數值仿真結果證明了本文所提出的控制方法的可行性與先進性。