基于PMU梯度動態偏差的新型電力系統快速穩定性

于 淼, 胡敬軒, 張壽志, 魏靜靜, 孫建群, 吳屹瀟

(1.北京建筑大學 機電與車輛工程學院,北京 100044;2.北京市建筑安全檢測工程技術研究中心,北京100044; 3.清華大學 電力系統及發電設備安全控制和仿真國家重點實驗室,北京 100084)

隨著電力系統核心設備電力電子化發展以及新能源發電快速變革,當前電力系統呈現出向高比例可再生能源以及電力電子設備“雙高”發展態勢.同時輸電網中高壓大容量變流設備持續推廣以及配用電側電力電子技術廣泛應用,將逐步成為新一代電力系統重要技術特征.在新型電力系統中,大型同步發電機組被小型電源替代,海量分布式電源、電動汽車、分布式儲能等以電力電子為接口的新型設備從中低壓側接入系統,使得穩定性分析中需要考慮動態元件數目可能達到十萬到百萬量級[1],并且各類設備動態特性差異相對較大,呈現出高度異構性.對新型電力系統小干擾穩定性分析需要解決由于維數爆炸引發的計算負擔、通信負擔等嚴峻挑戰[2].此外,電力系統變化時間尺度在穩定性分析模型中可以視為恒定時間,現有穩定性分析理論與工具多是針對給定平衡點進行,當平衡點變化時,穩定性分析需要重新進行.新能源供能所引起的波動以及來自大量電力電子設備頻繁投切和系統拓撲結構高速變化,使得新型電力系統運行位置變化更加快速[3].因此,深入研究新型電力系統小干擾穩定性機理迫在眉睫.

從我國未來新型電力系統“雙碳”目標方面出發,肖先勇等[4]闡述未來新型電力系統對“雙碳”貢獻.在此基礎上,論述構建新型電力系統關鍵技術,總結建設新型電力系統將要面對的主要挑戰.文獻[5]中針對我國“30·60雙碳”目標和新型電力系統建設背景,闡述我國燃氣發電發展前景,提出我國新型電力系統安全低碳發展若干建議.文獻[6]中闡述在“雙碳”目標下研究清潔電力發展路徑具有重要意義,分析我國水、風、光等清潔能源儲量及其特征,預測中長期電力需求,提出我國未來清潔電力發展的對策與建議.

在新型電力系統穩定性分析研究方面,文獻[7]中從分析“雙高”電力系統特點出發,對經典穩定性進行概述以及簡要歸納,探討經典穩定性分類適用性,最后嘗試提出一種新的穩定性分類方法,以求在經典分類邏輯上兼容“雙高”電力系統穩定性分析.文獻[8]中對電力系統由于小干擾產生失穩現象進行總結與歸納,再結合“雙高”系統特性與需求,探討現有研究理論方法不足.文獻[9]中基于電力系統提出寬頻振蕩廣域監測與預警系統分析方法,并通過模擬振蕩場景驗證該系統有效性.文獻[10-12]中主要對非線性系統以及新型并網電力系統穩定平衡點、穩定域及建模進行分析和研究,對直接法研究結果具有一定參考價值.文獻[13-16]中以新型電力系統為研究對象,基于李雅普諾夫直接法理論對系統不同擾動形式穩定性進行分析,并對所提方法進行仿真驗證.文獻[17]中基于系統穩定性分析方法,提出適用于新型電力系統穩定判據以及穩定性分類思路.文獻[18]中基于等系統模型分析策略,依據所提方法進行阻尼穩定控制器參數設計,提出優化函數進行參數計算新思路,在特定工況下進行阻尼穩定控制器參數配置.文獻[19]中綜述目前大型風力發電(簡稱風電)機組實現慣量控制,從穩定性分析、控制系統優化、性能分析與評估等方面,介紹慣量控制在雙饋風電機組以及全功率風電機組的研究與工程現狀.文獻[20]中研究隨機擾動下電力系統強迫振蕩特點,基于同步機機械功率上隨機擾動功率譜密度模型,為多機系統建立模態疊加形式頻率響應模型,由功率譜密度分析方法得到同步機功角的功率譜密度表達式,進而分析隨機擾動下系統強迫振蕩的4個影響因素.

綜上文獻研究發現,當前新型電力系統小干擾穩定性研究普遍使用基于增廣狀態矩陣描述線性化模型.此種模型實現較為復雜,且編程繁瑣,為后續計算分析帶來極大不便.現有新型電力系統穩定性分析方法對應對運行工作點快速變化尚存在亟需解決問題,對小擾動穩定分析提出更高要求.傳統小干擾穩定性分析特征值法會產生由于維數過高而引起的計算負擔,對電力系統運行工作點快速變化情況無法做到快速穩定性分析,并且單純求解特征值無法為之后控制提供理論指導依據.為解決上述問題,提出一種基于李雅普諾夫函數直接分析法的新型電力系統快速穩定性研究方法,利用同步相量測量裝置(PMU)廣域監測系統數據,在理論上考慮運行工況不確定穩定性,為實現小干擾穩定性增強控制策略提供基礎,可實現對新型電力系統小干擾穩定性快速分析,并可在實際應用中改善系統穩定性.

1 基本理論

1.1 梯度下降法

梯度下降法[21]是經典優化方法之一,通常用于無約束問題.梯度下降法的依據是對某個具體函數而言,沿梯度正方向函數值增加速度最快,與之相反,函數值減少最快.

(1)

式中:

(2)

在達到收斂條件時,迭代結束.由梯度下降法迭代公式可知,下一個點選擇與當前點位置和梯度相關;反之,如果要計算函數的最大值,沿著梯度反方向前進即可.從整體看,無論是計算函數的最大值或最小值,都需要構建一個迭代關系λ′:

(3)

即對所有的i,都滿足迭代關系.從而可以得到梯度下降法函數表達式:

λ(x)=x-ηf(x)

(4)

1.2 新型電力系統穩定性直接法分析模型

對于實際大型電力系統性能分析而言,要建立整個新型電力系統高階數學模型難度較大,即便建立出模型,在實際應用過程中也會產生諸如維數爆炸、模型過于復雜、計算過于繁瑣等問題.為規避電力系統模型建立過于復雜,文獻[22]中提出將大型電力系統中每個發電機模型假定為一個子系統,各子系統通過傳輸網絡互相連接,在考慮子系統模型及其相互作用條件的情況下,通常采用子系統模型代替整個系統模型進行穩定性分析.對于整個系統統一的慣性中心,在某一區域發生振蕩時,總存在表現為兩組發電機之間相對搖擺的減速與加速機組,上述機組可以簡化為一個由兩臺等值發電機構成互聯的電力系統等效研究[23],等值系統機間振蕩對應原系統的區間振蕩.當發生低頻振蕩時,兩臺發電機轉速增量和功角增量具有同頻反向正弦振蕩的特點.

首先對于PMU所持續采集到的原始大數據,采用文獻[24]中的方法進行篩選與降維預處理,建立數據矩陣,利用數據降維方法將高維矩陣降階到低維矩陣,代入電力系統狀態方程中,從而可以利用PMU所采集到的數據代入數據矩陣中對新型電力系統穩定性進行分析.基于同步發電機模型進行推導,利用接入雙饋異步風力發電機組(DFIG)的電力系統狀態矩陣代替新型電力系統模型進行分析,并依據其已被證明有效性的降階模型進行進一步穩定性分析.

發電機勵磁繞組方程:

(5)

定子電壓方程:

ud=Xqiq-raid

(6)

(7)

式中:ud為d軸電壓;uq為q軸電壓;Xq為q軸同步電抗;iq為q軸電流;ra為電樞電阻.

轉子運動方程:

(9)

式中:TJ為發電機組的慣性時間常數;D為轉軸定阻尼常數;Tm為原動機輸出機械力矩.

進一步忽略f繞組的暫態過程,上述模型可以降階為發電機經典二階實用模型即負荷采用恒阻抗模型:

(10)

當發電機組采用二階經典模型時,前文所述等效兩臺等值發電機系統轉子運動方程組為

(11)

式中:Δδ1和Δδ2分別為兩臺發電機的功角增量;Δω1和Δω2分別為兩臺發電機的轉速增量;M1和M2、D1和D2分別為兩臺發電機慣性時間常數和阻尼力矩系數;ΔP1e和ΔP2e為電磁功率增量.

考慮新型電力系統中電力系統核心設備的變化以及新能源發電大規模的應用,風電已經成為現今主流的分布式發電形式之一,本文應用接入DFIG電力系統矩陣進行分析,給出新型電力系統狀態矩陣:

x=[Δδ1Δδ2Δω1Δω2]T

(12)

(13)

式中:x為狀態偏差列向量;A為狀態空間矩陣.

(14)

電磁功率方程可表示為

(15)

風電場的動態有功表示為

(16)

式中:k1=(E1Vw0/X13)cos(δ10-δw0)∝1/X13;k2=(-E2Vw0/X23)cos(δw0-δ20)∝1/X23;k3=g1g2∝ΔPw;k4=g1g3∝ΔPw.其中:E1和E2分別為區域1和區域2的電動勢;Vw0為風電場接入點電壓初始值,δw0為風電場接入點相位增量Δδw的初始值;X13和X23分別為兩臺發電機到風電場接入點的電抗;g1,g2,g3為風電場動態頻率特性模值,各變量下標中的0表示初始值.

2 基于梯度動態偏差李雅普諾夫直接法穩定性分析

2.1 李雅普諾夫直接法

李雅普諾夫直接法借助一個李雅普諾夫能量函數V(x(t))及根據微分方程所計算得到的V沿著軌跡導數符號性質直接推斷穩定性問題[25].考慮以下一般非線性自治動力系統:

(17)

系統存在以下狀態方程式:

(18)

對于線性定常系統而言,找到一個使得狀態在原點平衡漸近穩定充分必要條件為:對于任意給定的一個對稱正定矩陣Q,一定存在唯一一個正定對稱矩陣P,使得原線性定常系統狀態方程成立.對于其平衡狀態達到大范圍漸近穩定充分必要條件以代數方程表示為

ATP+PA=-Q

(19)

并且有

V(x)=xTPx

(20)

V(x)稱作該系統的李雅普諾夫能量函數,被用作系統穩定性分析.由于正定實對稱矩陣Q任意給定,為計算簡便,下文計算取Q為單位矩陣.將矩陣A代入系統狀態式(18),建立李雅普諾夫方程式(19),求解方程式可得對稱矩陣P,通過對稱矩陣P正定性判定可以對系統穩定性進行判斷.

2.2 新型電力系統小干擾狀態變量偏差值

利用以下對角矩陣代入求解計算系統某個狀態變量偏差:

QJ=diag[1,…,1,0,…,0]

(21)

若求解某個狀態變量的偏差量,取相對應的對角矩陣元素為1,其余為0即可.當式(21)中描述系統已被判定為穩定后,借助李雅普諾夫方程所得矩陣求取狀態變量積分值[16]如下:

(22)

QJ=diag(q1,q2,…,qn)

(23)

在計算中,用單位矩陣I代入QJ矩陣,可得下式:

(24)

J=xTPJx

(25)

式中:PJ為對稱矩陣,將QJ和A代入式(19)可求得.J值能夠反映系統狀態偏差量的動態穩定性,J值越小,表明狀態偏差量衰減速度快且振蕩幅度小,動態過程短,系統小干擾穩定性好[16].

2.3 基于梯度下降法的狀態響應曲線時間加權動態偏差值

當分別分析每個發電機組時,為計算簡便,且起到與上述積分狀態偏差量近似效果,提出一種基于狀態量曲線梯度下降偏差的時間加權值,用于描述單個狀態量的低頻振蕩過程,對狀態量的動態過程進行分析評價,且可以對穩定過程進行分析.首先以振蕩曲線為梯度下降的目標函數:

x(t)=(t1,t2,…,tn)

(26)

對該函數進行如下梯度下降迭代過程,當i>0時有:

(27)

…

(28)

一旦達到收斂條件,在梯度為零點時求得該點極值,梯度下降迭代結束.由梯度下降法迭代公式可知,下一個點選擇和當前點位置與其梯度相關.反之,如果計算函數最大值,沿著梯度反方向前進即可.如此反復,即可計算出整條曲線每次振蕩波峰以及波谷極值點數值.從整體來看,無論是計算函數最大值或最小值,都需要構建如下迭代關系h:

h(t)=t-ηf(t)

(29)

在經過本文直接法判定系統穩定性步驟后,如果系統已經可被判定為穩定,則記錄整個振蕩過程時間,對該狀態變量曲線使用梯度下降法,迭代計算出該曲線每次振蕩波峰以及波谷極值點數值,依據每次振蕩過程時間在整個振蕩過程占比加權計算出整個振蕩過程極值偏差量,并以該值來具體評估單個機組單一狀態量振蕩劇烈程度.設ti為波峰到波谷之間的時間間隔,αi為波峰/波谷,具體加權偏差值計算式如下:

(30)

2.4 基于PMU數據的梯度動態偏差李雅普諾夫直接法實現

提出基于梯度動態偏差李雅普諾夫直接法對新型電力系統穩定性分析,具體實現流程圖如圖1所示.算法步驟如下:

圖1 基于梯度動態偏差李雅普諾夫直接法流程圖

步驟1將PMU數據進行匯總形成電網數據,對PMU所實時采集到的數據進行降維預處理,生成小干擾穩定性分析模型需要的數據矩陣.

步驟2采用二階同步發電機模型代替整個電力系統模型進行小干擾穩定性分析,并給出前文已推導接入風電機組新型電力系統小干擾穩定性分析所需要的狀態空間矩陣A.

步驟3將經過處理的PMU數據帶入狀態空間矩陣A,利用MATLAB中命令求解李亞普諾夫方程,并利用其求解式(19).在求解方程式時,由于正定實對稱矩陣Q任意給定,為計算簡便,故可以取Q為單位矩陣I,可以快速解出正定對稱矩陣P.通過矩陣P的正定性來判定電力系統穩定性,借助李雅普諾夫方程分析系統穩定性比較簡捷快速.基于已推導出接入DFIG電力系統狀態空間矩陣A,采用直接法已求取P矩陣對新型電力系統進行小干擾穩定性分析.

步驟4借助李雅普諾夫方程求出的矩陣P獲取所求狀態偏差量平方積分值,實際上是系統各狀態偏差量平方在正無窮時間軸上的積分之和;在系統被判定穩定之后,根據矩陣對角元素取值不同求得各狀態偏差量平方積分值加權和,可以對已被判定穩定系統進行動態過程描述.如果僅關心部分狀態變量動態過程,可以利用求取偏差變量平方積分值方法分析該系統達到穩定的動態過程,且某個單獨動態偏差量可以通過對角矩陣代入求解.

步驟5為了單個狀態量偏差計算方便,且起到與積分狀態偏差量近似作用,在經過直接法判定系統小干擾穩定性步驟后,如果系統已被判定為穩定,此時記錄下整個振蕩過程時間,對該狀態變量曲線使用梯度下降法,迭代計算出該曲線每次振蕩波峰以及波谷極值點數值.依據式(30),每次振蕩過程時間在整個振蕩過程的占比加權計算出整個振蕩過程極值偏差量.

3 算例仿真

3.1 小干擾穩定性直接法算例分析

將IEEE 10機39節點新英格蘭系統[26]接入風電場,如圖2所示.圖2中每個節點處均安裝 PMU,系統電壓等級為 345 kV,頻率為 60 Hz,采樣頻率為 3 kHz,系統中各母線負荷設置為恒功率模型.首先,在節點28和節點29處加入PMU數據,并分出一條支路,由多臺DFIG風力機等效為一個風電場.然后,借助文獻[22]中實測PMU數據,選擇其中 0～179.9 s時間段所采集到的電流電壓幅值、相角,采用文獻[24]中方法對數據進行預處理,將高維矩陣降維生成穩定性分析需要的參數矩陣,將PMU數據代入狀態空間A矩陣中,運用前文所提李雅普諾夫直接法對算例系統進行小擾動穩定性分析計算.使用MATLAB設計穩定性判定以及計算指標函數值的算法程序.

圖2 風電場接入新英格蘭10機39節點系統結構

利用2.4節所述算法步驟分別對WSCC 3機系統、中國電科院6機系統以及新英格蘭10機系統應用特征值法和直接法進行穩定性判定,分析結果如表1所示.可知,兩種方法呈現判定結果一致,表明采用李雅普諾夫直接法可以準確可靠地判定電力系統穩定性,且不會因為某些參數省略導致判定錯誤結果.

表1 特征值法與直接法穩定性判定結果

3.2 不同風電場出力下新型電力系統低頻特性影響

參照文獻[27],設置區域1向區域2送電,風電機組在送電側,輸送距離為25 km,在增大風電場輸出功率同時調整同步發電機的輸出功率,保持聯絡線傳輸功率為400 MW不變,其中風電場輸出功率占區域1總輸出功率比例用風力場出力表示,新型電力系統區域間振蕩模式變化情況如表2所示.可知,隨著風電場出力的增加,區域間振蕩模式1的振蕩頻率和阻尼比在總體上均表現為增大趨勢;區域間振蕩模式2的振蕩頻率逐漸增大,但是阻尼比卻逐漸減小.

表2 新型電力系統區域間振蕩模式隨風電場出力變化

3.3 狀態偏差平方積分值的低頻振蕩算例分析

在電力系統發生小干擾時,機電模式最小阻尼比常作為低頻振蕩評價指標,文獻[16]中按照動態最小阻尼比配置準則對電力系統進行阻尼穩定控制器(PSS)配置,并給出特征值法所得最小阻尼比.本文采用的系統動態偏差平方積分值法利用系統狀態矩陣A建立李雅普諾夫方程組,調用 MATLAB 中李雅普諾夫方程函數解出矩陣P,判定矩陣P正定性,從而利用直接法判斷系統穩定性.根據前文所述動態偏差值方法,借助李亞普諾夫方程求得指標函數值即各狀態偏差量加權平方積分值,動態偏差方積分值能夠反映系統狀態偏差量動態性能.

表3列出文獻[16]中最小阻尼比以及動態偏差量平方積分值計算結果,最小阻尼比是廣為應用的低頻振蕩評價指標,而動態平方積分值也可以對系統性能進行分析.如表3所示,隨著PSS在系統中配置數量越來越多,最小阻尼比也越來越大,表明系統穩定性越來越好.

表3 算例系統穩定性分析過程

3.4 依據狀態變量曲線時間加權梯度動態偏差值PSS配置

利用所得指標函數值對算例系統小擾動穩定性進行分析,以驗證方法的可行性及正確性.由文獻[27]可知,在新英格蘭10機39節點系統中6#機組為等值機,故不需要設計PSS.動態阻尼比配置方法可用于配置PSS位置確定,從而達到優化及電力系統小干擾穩定性目的.在MATLAB軟件Simulink中搭建含風電新英格蘭10機39節點系統,在該系統中6#機組構建小干擾信號模塊,模擬系統受到小干擾低頻振蕩,從而達到對系統進行小干擾穩定性分析目的.利用所求取狀態變量曲線時間加權梯度動態偏差值描述系統受到小干擾后發電機組低頻振蕩動態過程,通過對系統中不同機組低頻振蕩動態偏差值比較,對系統中振蕩幅度大且振蕩時間長機組進行PSS配置,發電機未配置PSS功角振蕩情況如圖3所示,各發電機組狀態曲線時間加權梯度偏差和阻尼比如表4所示.

表4 各發電機組狀態曲線時間加權梯度偏差和阻尼比

3.5 依據狀態變量曲線時間加權梯度動態偏差值與動態最小阻尼比配置方法PSS配置

為進一步驗證所提狀態變量曲線時間加權梯度動態偏差值對PSS配置可行性和有效性,針對算例仿真系統,按照表4數據采用本文方法所得功角動態偏差平方積分值對系統PSS進行配置,配置PSS機組結果分別為4#、5#、7#、8#、10#機組.同時根據文獻[16],利用動態最小阻尼比法對發電機組配置PSS用于應用效果對比,配置PSS機組結果分別為1#、2#、4#、7#、9#機組.因此,在新型電力系統中配置PSS改善系統小干擾穩定性,對同一系統采用不同PSS配置方案,可通過振蕩曲線直觀反映振蕩動態過程以及電力系統小干擾穩定性改善性能,已配置PSS發電機功角振蕩如圖4所示.

圖4 已配置PSS發電機功角振蕩

由圖3與圖4對比可知,與配置前相比,算例系統機組配置PSS后穩定性有所提升,功角波動程度明顯減小,說明依據動態阻尼比配置方法以及依據狀態曲線時間加權偏差值配置方法的有效性,但本文提出的功角偏差時間加權值可反映出所有機組在時間區間上振蕩幅度,因此可更準確全面地反映系統動態過程.進一步對比圖4(a)和圖4(b)可知,狀態曲線時間加權梯度偏差PSS配置系統低頻振蕩過程時間顯著縮短,并且振蕩幅度也得到降低,故本文所提依據狀態曲線時間加權梯度偏差PSS配置法在特定情況下具有顯著有效性和可行性.

4 結語

在“30·60”碳達峰碳中和背景下,未來電力系統將會發生結構性變化,研究新型電力系統小干擾穩定性機理意義重大.針對目前新型電力系統中存在影響穩定性問題,提出基于PMU數據的梯度動態偏差李雅普諾夫直接分析機制,在建立新型電力系統穩定性直接法分析所需二階模型基礎上,將李雅普諾夫直接法、新型電力系統小干擾狀態變量偏差值以及基于梯度下降法的狀態響應曲線時間加權動態偏差值有機結合,完成基于PMU數據的梯度動態偏差李雅普諾夫直接法的實現.根據含風電新英格蘭10機39節點系統,從小干擾穩定性直接法算例分析、不同風電場出力下新型電力系統低頻特性影響、狀態偏差平方積分值的低頻振蕩算例分析、依據狀態變量曲線時間加權梯度動態偏差值PSS配置以及依據狀態變量曲線時間加權梯度動態偏差值與動態最小阻尼比配置方法PSS配置5個方面驗證方法的正確性和有效性.結果表明,本文方法可縮短系統振蕩過程,在PSS配置數量相對有限情況下能夠提升新型電力系統小干擾穩定性.此外,新能源引起發電波動性以及來自大量電力電子設備頻繁投切和系統拓撲結構改變,導致新型電力系統的運行點變化更快速,本文方法對系統動態過程評估還沒有統一評價指標,后續將進一步研究新型電力系統小干擾穩定方法適應性.