基于XFEM 的大體積結構波動傳播規律及裂紋反演方法

盧皓卓 江守燕

(河海大學 工程力學系, 南京 211100)

大體積混凝土結構被廣泛應用于土木、水利等基礎設施中,而混凝土抗拉強度低的力學特性決定了其極易產生裂紋,裂紋是降低混凝土安全性的主要病害,因此對混凝土進行裂紋檢測十分必要.無損檢測方法是在不破壞待測結構自身的情況下,利用儀器對結構缺陷進行原位檢測,從而判斷缺陷的位置、形狀與尺寸等特征,為分析與評估結構的安全性提供依據.基于波傳播規律的混凝土裂紋無損檢測方法已經得到廣泛應用,按照波的類型主要可以分為基于表面波(瑞利波)的檢測方法[1-3]、基于剪切波(SH、SV 波)的檢測方法[4-6]等.

隨著人工智能技術的發展,數值仿真模擬與智能算法相結合的裂紋檢測方法是近年來研究方向之一.在數值模型方面,擴展有限元法(extended finite element methods,XFEM)[7]在裂紋形態演化時無需重劃分網格,是含裂紋體結構建模的常用工具[8-10];通過與各種人工吸收邊界的結合[11-13]可在減小模型求解域的同時,消除模型邊界反射波對模擬結果的干擾.在智能算法方面,Jung等[14]提出了一種基于梯度的優化算法,對XFEM 裂紋模型波動響應進行反演;Rabinovich等[15]提出了基于XFEM 對含裂紋模型大量樣本進行正演,再通過遺傳算法進行反演的方法;王佳萍等[16]在此基礎上進行了進一步研究;Sun等[17]提出了一種自適應的增強人工蜂群反演算法,與XFEM 建模正演相結合;在此基礎上,沈學港等[18]進行了進一步研究,提出了一種多缺陷三步反演方法;Jiang等[19]提出了將機器學習與XFEM 相結合,采用極限學習機算法訓練神經網絡,以實現多缺陷反演.相比而言,人工神經網絡模型能更高效地處理正演數據特征,獲得較準確的反演結果,被較多學者關注[20-23].

本文提出了一種基于波動響應的頻域特征和BP神經網絡的裂紋反演模型.分別對單裂紋和雙裂紋情形,采用數值模擬方法,通過在檢測域內產生大量裂尖位置坐標,計算、提取特定位置傳感器在每個裂尖位置下的響應信號,提取特定頻率范圍內的幅值數據,產生一個包含大量樣本的頻域特征—裂尖坐標數據集,以供神經網絡進行訓練,從而建立裂紋反演數據模型.在實際應用中,只需輸入傳感器的響應信號,便可輸出裂尖坐標.

1 擴展有限元法

1.1 XFEM 位移模式

XFEM 通過在常規有限元的位移模式上引入具有不連續性質的改進函數來實現對不連續問題的表征.對于裂紋問題,采用兩個改進函數,即Heaviside改進函數H(x)和裂尖改進函數G l(x):

式中:x為考察點的位置坐標;x*為考察點在裂紋面上投影點的位置坐標:n為裂紋面在x*處的外法線方向的單位向量.

式中:r,θ為裂尖局部極坐標系中的位置坐標.

采用水平集法,可以確定裂紋與單元的位置關系,進而把單元分為二類(具體方法可參閱文獻[24]):一是Heaviside改進單元,其節點組成的集合記為S1,應用改進函數H(x);二是裂尖改進單元,其節點組成的集合記為S2,應用改進函數G l(x).進而,XFEM 位移模式可以表示為:

式中:N i(x)為第i個節點在常規有限元法中的插值形函數;N*i(x)為第i個節點對應的單位分解函數,通常取為與N i(x)相同的形式;u i為第i個節點在常規有限元法中的位移;v i為第i個第一類改進節點的位移;w il為相關的第二類改進節點的位移;S0為有限元模型求解區域內所有節點的集合.

1.2 XFEM 控制方程

按照上述位移模式,運用虛功原理,得到XFEM的控制方程為:

式中:K ij為整體剛度矩陣;C ij為整體阻尼矩陣;M ij為 整 體 質 量 矩 陣(i,j=u,v,w);x,分 別 為 節 點位移、速度、加速度列陣(x={u,v,w});F i為節點荷載列陣(i=u,v,w).

2 多向吸收邊界模型

對大體積結構進行波動響應模擬時,若選擇對整個結構進行完全模擬,將需要很大的計算量.一般情況下,裂紋擴展的尺寸遠遠小于結構的尺寸,故可以考慮取裂紋附近的一定區域作為模擬域以減小計算成本.但此方案同時會帶來應力波在區域邊界上反射,進而需要在模擬區域邊界加以一定厚度的反射層.按照文獻[12],采用一種基于瑞利阻尼的多向吸收邊界層方法.該模型通過對吸收邊界層中不同位置加不同的阻尼比來實現,表達式為:

式中:α為控制衰減的系數;x為考察點的位置坐標;xΓ為吸收層外邊界上一點的位置坐標;ξ0為吸收層厚度,為吸收層外邊緣的阻尼比.即該模型中,阻尼比在吸收邊界層的外邊緣處為最大值ξ0,沿厚度方向呈指數衰減,在吸收邊界層與檢測域交界的內邊緣處為最小值ξ0e-α.

瑞利比例阻尼方法將阻尼矩陣表示為質量矩陣和剛度矩陣的線性組合:

式中:C為阻尼矩陣;M為質量矩陣;K為剛度矩陣;a1、a2為瑞利阻尼系數,與阻尼比的關系為:

考慮在兩個波動頻率f1、f2的情形下,確定瑞利阻尼系數a1、a2,使得兩個波動頻率下的阻尼比均為ξ,方程如下:

解出a1、a2,并寫成關于坐標的函數形式:

結合式(5),即得到邊界層中一點的瑞利阻尼系數關于位置坐標的函數關系.

3 BP神經網絡模型

機器學習是一種通過輸入包含大量樣本的數據集,自動改進計算機程序算法或參數的方法.即使當數據之間的關系復雜,難以使用數學表達式顯式描述時,機器學習仍能夠應用于建立輸入數據與輸出數據之間的關系.例如分類、擬合或聚類等.人工神經網絡是一種類似于人類大腦結構和神經系統工作原理的機器學習方法.神經網絡中的每一個節點都可以通過多個輸入信號通過函數運算得到一個輸出信號.神經網絡通常采用多層結構,每層中節點的輸出與下一層中節點的輸入相連.

神經網絡節點對輸入數據的處理包括加權、偏置和激活,輸出值的表達式為:

式中:w為權值列陣;x為輸入值列陣;b為偏置值;φ(*)為激活函數.φ(*)的常用形式包括Sigmoid函數:

雙曲正切函數:

修正線性單元函數:

激活函數使得傳播過程具有非線性特征,網絡為多層時,神經網絡能夠處理高度非線性問題.

經過正向傳播后,為了評價輸出值與實際值的差距,需要定義損失函數,較為常用的損失函數為平均平方誤差函數:

式中:x i為第個預測值;x*i為第個真實值;n為一次優化的輸出值個數.

反向傳播用于調整每個神經元的權重值列陣和偏置值.常用的方法是梯度下降算法,其迭代格式為:

式中:W為所有可訓練參數的列陣;β為學習率;當網絡為多層時;?L/?W i的值需由鏈式求導法則確定.

4 數值模型

選擇二維模型進行模擬,原結構模型為長24 m,高12 m 的矩形;模擬域幾何模型為長4.0 m,高1.6 m的矩形.混凝土按照各向同性材料建模,彈性參數為:彈性模量E取30 GPa,泊松比υ取0.2,質量密度ρ取2 500 kg/m3.將模型上邊界中點設定為坐標原點,激勵信號源位于(-1.0 m,0.0 m),大尺寸原結構模型、模擬域包含單裂紋和雙裂紋的模型示意如圖1所示.

圖1 幾何模型(單位:m)

壓縮波速和剪切波速按照下式計算:

計算出剪切波速為2 236 m/s,壓縮波速為3 651 m/s.信號的兩個主頻f1、f2分別選取為相同波長的壓縮波頻率fp和剪切波頻率fs.波長λ取為0.5 m,由f i=c i/λi,計算出f1=fp=7 302 Hz,f2=fs=4 472 Hz.信號波形取為等振幅的兩主頻正弦波疊加后,經漢寧窗處理后得到的波形,表達式為:

式中:Hw(*)為漢寧窗函數,其表達式為:

式中:τ為窗口寬度,取2×10-3s;而A(t)為兩主頻的正弦波的疊加,表達式為:

式中:A0為正弦波的振幅,取為10μm,激勵信號波形如圖2所示.

圖2 激勵信號

采用四邊形線性等參單元,單元邊長取為波長的1/10,即0.05 m.由于采用XFEM 網格無需沿裂紋布置,可以采用結構化網格劃分方式以提高網格質量.整個模型共2560個單元,共2 673個結點,網格如圖3所示.

圖3 單裂紋情形下傳感器布置

為達到充分吸收效果,吸收邊界厚度取為與波長相等[12],即0.5 m.對于吸收邊界區域內每個單元,取單元形心位置坐標x代入式(9)確定單元瑞利阻尼系數.經試模擬計算,式(5)中取時具有較好的吸收效果.為提高數值模擬精度,時間步長取為波動周期f-1的1/50,這里取為2.5μs.為使響應輸出點獲得較完整的時域響應,總時間取為6 ms.由于裂縫以XFEM 定義,改變裂尖位置無需對混凝土模型進行修改.對于單裂紋情形,共設置357種不同裂尖位置;對于雙裂紋情形,共設置750種不同裂尖位置組合.

5 響應分析

以單裂紋情形為例,分析不同傳感器位置和不同裂尖位置下的響應.在裂紋右側布置兩個傳感器:位于(1.0 m,0)即與信號源關于裂紋開口處對稱的傳感器1、位于(0.1 m,0),即緊鄰裂紋的傳感器2,如圖3所示.

傳感器用于輸出y方向上的振動響應,對時域響應進行快速傅里葉變換,并求各頻率的幅值,得到頻譜曲線.為驗證多向吸收邊界的吸收效果,取裂尖位置不變,比較圖1(b)所示模擬域、未設置吸收邊界的模擬域、圖1(a)所示大尺寸完整模型的模擬結果,3種模型中傳感器1接收響應的頻譜曲線如圖4所示.

不難發現,設置了吸收邊界的小尺寸模擬域與大尺寸模型中實際響應相近,頻譜曲線基本重合;而未設置吸收邊界的模型由于反射波的干擾,幅值明顯偏大.說明該多向吸收邊界模型效果較好,在減小模擬域的同時,消除了邊界反射波的干擾.

傳感器1在裂尖橫坐標x=-0.10 m 不變,不同深度y下5條頻譜曲線、深度y=0.45 m 不變,不同橫坐標x下5條頻譜曲線如圖5所示.

可以發現,頻譜曲線具有較明顯的4個峰值,分別所處的頻率范圍見表1.其中,頻段3、4為輸入信號的兩主頻,頻段1、2 是由傳播過程中的頻散造成的.不難發現,頻段3幅值具有隨深度增加而單調減小的特點,而對x不敏感;頻段4幅值明顯且呈現出隨|x|的增大而降低的規律,而對x的符號不敏感;頻段2幅值隨x增大(裂尖向右移動)而略有升高.

表1 頻譜曲線各段頻率范圍

傳感器1在裂尖橫坐標x=0.10 m 不變,不同深度下5條頻譜曲線、深度y=0.45 m 不變,不同橫坐標x下6條頻譜曲線如圖6所示.

圖6 傳感器2的頻譜曲線

顯然,頻譜曲線仍然具有表中的4個明顯頻段.可以發現,頻段3 仍然與裂尖深度具有良好的相關性:隨裂尖深度增加,頻段3幅值降低.低頻成分隨著裂尖橫坐標x的增加而迅速增長:當x＜0時,低頻成分較弱:當x＞0時,低頻成分很強.根據低頻段的幅值,可以輕易地判斷x的符號,即判斷裂紋向左還是向右傾斜.

結合對兩傳感器信號頻譜的分析,可以初步得出:當給定裂尖水平位置時,裂尖深度可由兩傳感器的響應頻段3幅值反映;當給定裂尖深度時,裂紋在水平方向上的跨度(傾斜程度)可由傳感器1的響應信號頻段4的幅值進行反映,而裂紋傾斜方向可由傳感器2的響應信號低頻段的幅值來確定.能夠把響應特征和裂尖位置建立一定關系,通過機器學習反演裂紋具有可行性.

按照此思路,對于雙裂紋情形,在兩裂紋之間設置與信號源關于裂紋開口處對稱的傳感器1、緊鄰裂紋1的傳感器2,在裂紋2右側設置與其相距一定距離的傳感器3、緊鄰裂紋2的傳感器4,如圖7所示.由傳感器1、2和3、4分別推測兩裂紋深度,由傳感器1和3分別判斷兩裂紋傾斜程度,由傳感器2和4分別判斷兩裂紋傾斜方向.

圖7 雙裂紋情形下傳感器布置方案

6 基于BP神經網絡的裂紋反演

6.1 數據集和神經網絡模型的建立

由于頻譜特征集中于特定頻率區間內,考慮在上一章所述4個頻段中,以100 Hz作為間隔,提取每個頻率對應幅值作為特征,見表2.

表2 各頻段提取特征頻率值

為了加快收斂,對標簽和特征數組按列進行歸一化處理,使得數據全部落在區間內:

式中:X i,Xnori分別表示數組第i列原始和歸一化后的列陣.

將歸一化后的標簽和特征數組按照訓練集80%,驗證集和測試集各10%的比例進行切分,見表3.

表3 數據集切分

訓練模型時,較小的學習率會導致需要更多迭代步數,而較大的學習率可能造成難以收斂,考慮使用隨迭代步數而變化的學習率,采用指數衰減:

式中:βi為第i步學習率;β0為初始學習率;a,b表示每經b步,學習率衰減到1/α;經調整,取β0=0.1,a=2,b=100.

6.2 裂紋反演效果

為了增加預測精確度,每次訓練-預測過程中所有可訓練參數按照N(0,1)分布獨立隨機產生,并將訓練—預測過程獨立運行400次,以測試集預測結果的平均值作為裂尖坐標反演結果.某樣本裂尖各坐標分量的預測情況和正態分布擬合曲線如圖8所示(實際值為:x1=-0.4,y1=0.5,x2=0.4,y2=0.6,單位:m),均值與真實值較為接近.

圖8 裂尖各坐標預測值分布

對各樣本裂尖坐標分量預測值按照誤差大小按區間進行計數,結果見表4～5.可以發現,除了雙裂紋情形下對y2的預測外,絕大部分預測值誤差在5 cm 以內,反演效果較好.總體上,該預測模型對裂尖橫坐標的預測準確度高于縱坐標;雙裂紋情形下,對裂紋1的預測準確度高于裂紋2.

表4 單裂紋各樣本預測值按誤差范圍計數

表5 雙裂紋各樣本預測值按誤差范圍計數

為了改善對y2預測的準確度,考慮在裂紋2右側增加傳感器,以增加輸入特征數量.y2誤差分布與新增傳感器數量na的關系見表6.不難發現,增加傳感器數量可以明顯減小預測誤差.在實際運用中,可以根據預期精度選擇布置傳感器數量.

表6 y 2 誤差與新增傳感器數量

7 結 論

提出了一種基于響應信號頻域特征和BP 神經網絡的裂尖位置反演方法,可用于對大體積混凝土結構中裂紋的實時無損檢測.第一步,建立基于XFEM和吸收邊界層的波動模擬模型,通過兩主頻正弦波的激勵,波跨過裂紋傳播,對不同位置的傳感器造成不同的響應變化,提取特定頻段的幅值作為特征,形成數據集.第二步,搭建BP神經網絡,將訓練數據集輸入到神經網絡,得到裂尖坐標的反演模型,再輸入未知裂尖位置下的響應特征,可實現對該裂尖位置的預測.主要結論如下:

1)通過XFEM 實現帶裂紋結構的建模,可以避免因裂紋改變而重新劃分網格,大大減小了前處理的工作量,也便于基于節點編號提取特定點的響應.

2)采用吸收邊界層可以在減小模擬域的同時,保證響應信號不受邊界反射波的干擾,即可在裂紋附近的小區域內,模擬半無限模型的響應情況.

3)不同位置的傳感器頻譜曲線具有相同的特征頻段,但幅值隨裂尖位置的變化規律各不相同.特定傳感器的特定頻段呈現出與裂尖坐標分量的明顯相關性,決定了以頻域作為數據特征進行機器學習的可行性.同時,僅提取特定頻段的幅值,相較于輸入整個時域響應數據,大大減小了特征數據量,降低了模型訓練成本.

4)該數據模型具有良好的準確度,且隨采用傳感器數量的增加,準確度可進一步提升.