高一上學年期末專題復習與總結

■盧智軍 張文偉

數學必修第一冊是進入高中階段學習的基礎知識,也是高一學習的重要知識,這部分的主要內容有集合與常用邏輯用語,一元二次函數,方程和不等式,函數的概念與性質,指數函數與對數函數,以及三角函數。下面就這部分知識進行復習與總結,希望對同學們的學習有所幫助。

1.集合中元素的互異性

解決集合相等問題時,易產生與互異性相矛盾的增解,這需要解題后進行檢驗。有些集合問題很難從整體著手解決,可以分類討論進行求解。

例1 已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,則a=( )。

A.-1 B.-3或-1

C.3 D.-3

解:因為A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,所以a2+4a=-3或a-2=-3。

①當a2+4a=-3 時,即a2+4a+3=0,解得a=-1 或a=-3。若a=-1,則A={12,-3,-3},不滿足互異性,舍去。若a=-3,則A={12,-3,-5},滿足題意。

②當a-2=-3 時,解得a=-1,不符合題意。

綜上可得a=-3。應選D。

跟蹤訓練1:已知集合A={x,x+1,1},B={x,x2+x,x2},且A=B,則( )。

A.x=1或x=-1

B.x=1

C.x=0或x=1或x=-1

D.x=-1

提示:當x=1 時,集合A={1,2,1},B={1,2,1},不滿足集合元素的互異性,排除ABC。當x=-1時,A={-1,0,1},B={-1,0,1},這時A=B。應選D。

2.“補集思想”的應用

求補集時,要注意全集是否為實數集。利用數軸求解此類問題,要注意端點值能否取到,可以采用代入驗證的方法確定端點值。

例2 已知全集U=R,集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x

A.{a|a>3} B.{a|a≥3}

C.{a|a≥7} D.{a|a>7}

解:因為A={x|x<3 或x≥7},所以?UA={x|3≤x<7}。又(?UA)∩B≠?,所以a>3。應選A。

跟蹤訓練2:已知集合A={x|x>a+3或x

提示:A={x|x>a+3 或x

圖1

3.利用集合之間的關系求參數

由包含關系確定集合中所含參數的值(取值范圍)是集合間關系的重要應用,一般可借助數軸解決此類問題,且要注意空集的情況。

例3 已知集合A={x|-5≤x≤6},B={x|2m-1≤x≤m+1}。若A∪B=A,求實數m的取值范圍。

解:因為A∪B=A,所以B?A。①當B=?時,2m-1>m+1,即m>2,此時B?A成立;②當B≠?時,由題意可得解得-2≤m≤2。綜上可得,實數m的取值范圍是{m|m≥-2}。

跟蹤訓練3:已知集合A={x|1

綜上可得,a=0或a≥2或a≤-2。

4.利用充分條件與必要條件求參數的值或取值范圍

解答這類問題的常用方法與步驟:化簡p,q兩命題;根據p與q的關系(充分、必要條件),轉化為集合間的關系;根據集合間的關系,建立不等式組;求出參數的取值范圍。

例4 是否存在實數p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分條件? 如果存在,求出p的取值范圍。

跟蹤訓練4:已知集合A={x|-20},若x∈A是x∈B成立的充分不必要條件,求實數m的取值范圍。

提示:因為x∈A是x∈B成立的充分不必要條件,所以(-2,6)是[2-m,2+m]的真子集,所以解得m≥4,即所求實數m的取值范圍是[4,+∞)。

5.全稱量詞命題與存在量詞命題

一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結論,得到真假性完全相反的兩個命題;含有一個量詞命題的否定,是在否定其結論的同時,改變量詞的屬性,即將全稱量詞改為存在量詞,將存在量詞改為全稱量詞。與一般命題的否定相同,含有一個量詞命題的否定的關鍵也是對關鍵詞的否定。

例5 (1)下列語句不是全稱量詞命題的是( )。

A.任何一個實數乘以零都等于零

B.自然數都是正整數

C.高一(1)班絕大多數同學是團員

D.每一個實數都有大小

(2)命 題p:“?x∈R,x2>0”,則( )。

A.p是假命題;?p:?x∈R,x2<0

B.p是假命題;?p:?x∈R,x2≤0

C.p是真命題;?p:?x∈R,x2<0

D.p是真命題;?p:?x∈R,x2≤0

解:(1)A 中命題可改寫為:任意一個實數乘以零都等于零,A 是全稱量詞命題。B中命題可改寫為:任意的自然數都是正整數,B是全稱量詞命題。C 中命題可改寫為:高一(1)班存在部分同學是團員,C 不是全稱量詞命題。D 中命題可改寫為:任意的一個實數都有大小,D 是全稱量詞命題。應選C。

(2)由 于02>0 不 成 立,故“?x∈R,x2>0”為假命題。根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可知,“?x∈R,x2>0”的否定是“?x∈R,x2≤0”。應選B。

跟蹤訓練5:命題“能被7整除的數是奇數”的否定是____。

提示:原命題即為“所有能被7整除的數都是奇數”,是全稱量詞命題。該命題的否定是:“存在一個能被7整除的數不是奇數”。

6.不等式的性質及其應用

不等式的性質是進行不等關系推理運算的理論基礎,要熟練掌握不等式的性質及應用條件,以防推理出錯。

A.1個 B.2個

C.3個 D.4個

跟蹤訓練6:(多選題)下列命題正確的是( )。

7.一元二次不等式的解法

一元二次不等式常與集合、方程等交匯命題,主要考查運算能力、邏輯推理能力,以及數學建模能力。對于不含參數的一元二次不等式,可轉化為ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的形式,結合二次函數的圖像求解。對于含參數的一元二次不等式,應先看二次項系數的正負,再考慮判別式,最后根據兩根的大小進行分類討論。

跟蹤訓練7:已知a∈R,解關于x的不等式ax2-2x+a<0。

提示:當a=0時,原不等式為-2x<0,其解集為{x|x>0}。

當a<0 時,Δ=4-4a2,①當Δ>0,即

8.利用基本不等式求最值

基本不等式是不等式部分的重要內容,其主要應用是求最值或取值范圍。求最值問題,既適用于一個變量的情況,也適用于兩個變量的情況。

例8 設x<-1,求的最大值。

9.函數值域的求法

函數的值域由函數的定義域和對應關系確定,一旦函數的定義域和對應關系確定了,值域也就確定了。求函數的值域沒有統一的方法,如果函數的定義域是由有限的幾個數構成的集合,那么可將函數值一一求出來,構成的集合即為值域;如果函數的定義域是一個無限數集,那么可根據函數解析式的特點,采取相應的方法求其值域。

例9 求下列函數的值域。

10.函數性質的應用

函數的性質包括函數的單調性、奇偶性、對稱性和周期性,從高考命題形式上看,抽象函數、具體函數都有涉及,其中函數單調性的判斷與證明、求單調區間、利用函數單調性求參數的取值范圍是高考考查的重點。利用函數的奇偶性、對稱性研究函數的圖像是學習的難點。

(1)確定函數f(x)的解析式。

(2)用定義證明:f(x)在(-1,1)上是增函數。

(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0。

跟蹤訓練10:設函數f(x)對任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)<0,f(1)=-2。

(1)求證:f(x)是奇函數。

(2)在區間[-3,3]上,f(x)是否有最值? 如果有,求出最值;如果沒有,說明理由。

提示:(1)令x=y=0,則f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0。

令y= -x,則0=f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)為奇函數。

(2)任取-3≤x10。由題意得f(x2-x1)<0,且f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在[-3,3]上為減函數。所以函數f(x)在[-3,3]上有最值,其最大值為f(-3)= -f(3)=-3f(1)=6,最小值為f(3)=-f(-3)=-6。

11.指數函數、對數函數的圖像與性質

函數y=ax及y=logax(a>0,且a≠1)的圖像關于直線y=x對稱,前者恒過(0,1)點,后者恒過(1,0)點,兩函數的單調性均由底數a決定。在解題中要注意由翻拆、平移等變換得出的函數圖像。利用函數的圖像與性質比較大小,利用方程和不等式求解問題,都是高考的?？碱}型。

例11 已知a>0,a≠1,且loga3>loga2,若函數f(x)=logax在區間[a,3a]上的最大值與最小值之差為1。

(1)求a的值。

(2)若1≤x≤3,求函數y=(logax)2-loga x+2的值域。

解:(1)因為loga3>loga2,所以f(x)=logax在[a,3a]上為增函數。又f(x)在[a,3a]上的最大值與最小值之差為1,所以loga(3a)-logaa=1,即loga3=1,故a=3。

跟蹤訓練11:設函數f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),則f(x)是( )。

A.奇函數,且在(0,1)上是增函數

B.奇函數,且在(0,1)上是減函數

C.偶函數,且在(0,1)上是增函數

D.偶函數,且在(0,1)上是減函數

提示:由題意得函數f(x)的定義域為(-1,1)。因為f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),所以f(x)為奇函數。因為,而-1在(0,1)上為增函數,所以f(x)在(0,1)上為增函數。應選A。

12.函數的零點與方程的根

函數的零點就是相應方程的根,是相應函數圖像與x軸交點的橫坐標。因此,判斷函數零點的個數可轉化為求解方程的根或兩函數圖像的交點個數。零點存在定理是判斷函數是否存在零點的一種方法,注意其使用條件:連續性和異號性。

例12 已知定義在R 上的函數f(x)的圖像是一條不間斷的曲線,滿足f(a)≠f(b),其中a

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

13.三角恒等變換的綜合應用

利用三角恒等變換研究函數性質的方法與步驟:運用和、差、倍、半角公式化簡;統一把f(x)化為f(x)=asinωx+bcosωx+k的形式;利用輔助角公式化為函數f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性質。

(1)求f(x)的最小正周期和最大值。

(2)討論f(x)在上的單調性。

(多選題)在△ABC中,下列等式一定成立的是( )。

B.sin(2A+2B)=-cos2C

C.tan(A+B)=-tanC

D.sin(A+B)=sinC