離軸超構透鏡設計與特性分析

胡金高娃，趙尚男 ，王靈杰，葉昊坤，張建萍，張 新

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所,吉林 長春 130033；2.中國科學院大學,北京 100049）

1 引言

超構透鏡是由二維超材料構成的平面光學器件，是在成像領域中具有較大應用潛力的超表面平面光學器件。其可以靈活操控光的相位、偏振、振幅等[1]，而且平面化的結構特點使其制造簡單、插入損耗低。此外，超構透鏡還能夠以緊湊的形式實現對反射和透射光場空間分布的控制，已經成為當前的研究熱點。

為了有效調控電磁波波前，傳統透鏡一般通過調控界面的幾何形狀或折射率來實現相位分布調控。但由于天然材料的介電常數和磁導率受限，現有的傳統光學透鏡通常尺寸較大、不易集成[2]。超構透鏡通過調整單元結構的分布就可以得到所需相位分布，大大縮小了元件尺寸和體積。根據應用場合的不同，研究人員設計出了不同類型的超構透鏡，如消色差超透鏡[3-7]、基于超透鏡的帶通濾波器[8]、亞分辨率超構透鏡[9-10]、彩色全息[11-13]、多功能超構透鏡[14-17]和可重構超構透鏡[18-20]等。

超構透鏡分為共軸超構透鏡和離軸超構透鏡。其中，共軸超構透鏡使光束聚集在軸上，離軸超構透鏡是在共軸超構透鏡上偏離中心截取一部分。它可使不同波長光束的軸線分開，相互分離地聚焦在原光軸上不同的點。其可以通過控制納米單元的相位分布實現指定位置聚焦。相比于共軸超構透鏡具有色散特性，可被應用于光譜儀中，為實現緊湊型光譜儀提供了新的思路。

2016 年，Khorasaninejad 等人基于離軸超構透鏡研究了近紅外波段的緊湊型光譜儀，光束的離軸角度最大在80°，大角度聚焦使超構透鏡具有超色散特性，能夠分辨小至200 pm 的波長差異，聚焦效率在30%左右。此外，通過拼接多個超構透鏡可在寬波段內實現高分辨率[21]。2017年，Capasso 課題組同樣基于離軸超構透鏡研制了可見光波段的緊湊型光譜儀，光譜分辨率小至0.3 nm，總工作波長范圍超過170 nm，并在一個基板上集成了多個具有不同數值孔徑的超構透鏡，使得其具備多種不同的光譜分辨率和靈活的工作波長范圍[22]。同年，浙江大學馬云貴課題組利用離軸超構透鏡設計了波分解復用器[23]。該解復用器的光纖能量耦合效率可達89%以上，通道帶寬約為9 nm。他們還對焦距和離軸角度產生的影響進行了研究。該研究對研制小型、緊湊的光通信解復用器件具有重要的指導意義。2018 年，該課題組使用波動光學和幾何光學方法研究了基于離軸超構透鏡的光譜儀的結構參數對有效光譜范圍和光譜分辨率的影響。針對不同的用途，數值上提出了兩種基于離軸超構透鏡光譜儀[24]。2019年，Capasso 研究團隊利用離軸超構透鏡實現了一個具有納米光譜分辨率的微型像差校正光譜儀，透鏡到探測器的工作距離僅為幾厘米，且基本上不因任何方式受到限制[25]。

然而，目前國內外對于離軸超構透鏡的研究都存在著應用場景單一、特性分析不完備的局限性，需要進行更詳細的參數分析來充分理解離軸超構透鏡的特性。這些信息對基于離軸超構透鏡的微小型器件設計至關重要。為了進一步提升離軸超構透鏡設計參數對其分光聚焦能力的影響，本文提出了一種離軸超構透鏡設計方法，并進行了不同參數的仿真，分析了離軸角度對光譜分辨率和聚焦效率的影響，分析了數值孔徑對超構透鏡的聚焦位置理論計算結果與仿真結果產生偏差的影響。本文研究為后續開展離軸超構透鏡的設計和拓展應用提供參考。

2 離軸超構透鏡工作原理

用于實現0～2π 范圍內相位調制的超構透鏡可分為三種類型：傳輸相位型、電路相位型和幾何相位型[26]。本論文采用傳輸相位型離軸超構透鏡。通過選定不同半徑的納米柱實現對0～2π 的相位覆蓋。

如圖1 所示，離軸超構透鏡所在平面原點處相位為Φ(0)，離軸超構透鏡上任意位置的相位為Φ(x,y)，選定聚焦位置F，若要光束聚焦在點F上，則相位需滿足

圖1 離軸超構透鏡聚焦示意圖Fig.1 Diagram of focusing an off-axis meta-lens

其中，xf、yf和zf為聚焦位置F點的坐標，f是離軸超構透鏡的焦距，f=sqrt(xf2+yf2+zf2)。

根據式（1）得到聚焦位置為(xf,yf,zf)的離軸超構透鏡相位分布函數[22]：

離軸超構透鏡可實現任意位置的聚焦，并且對于不同波長的光，聚焦位置不同，具有一定的色散能力。選定聚焦位置后，通過式（2）可得到離軸超構透鏡上離散的相位分布，以實現對入射光波的相位調制。

3 離軸超構透鏡設計與特性分析

3.1 離軸超構透鏡設計方法

本文所提的離軸超構透鏡的設計方法中，為了避免偏振產生的影響，選用圓柱型單元結構。通過改變單元結構的半徑，可獲得0～2π 的相位覆蓋，據此建立離軸超構透鏡相位庫。在選定設計參數后，根據公式（2）得到所需的相位分布。接著，在相位庫中挑選與所需相位相近的單元結構，得到離軸超構透鏡每個單元結構的半徑分布，并根據獲得的半徑分布數據建立仿真模型，得到光場分布。當仿真結果與理論計算不符時，檢查仿真結構的相位分布與理論計算的相位分布是否一致，若不一致，則建模出現問題，重新建模后再次仿真；若一致則建模正確，此時需考慮離軸超構透鏡其他參數對仿真與理論計算結果產生的影響，設計流程圖如圖2 所示。

圖2 離軸超構透鏡設計流程圖Fig.2 Design flowchart of off-axis mate-lens

根據表1 所示參數搭建單元仿真結構，選用高度為1 μm，單元周期T為500 nm 的離軸超構透鏡單元結構，納米柱材料為Si，基底材料為SiO2[27]。掃描不同半徑的單元結構對應的相位，選取相位覆蓋0～2π 的單元結構，建立在此參數下的相位庫。不同半徑單元結構對應的相位分布如圖3 所示。

表1 離軸超構透鏡設計參數Tab.1 Designed parameters of off-axis meta-lens

圖3 不同半徑單元結構對應的相位分布Fig.3 Phase distribution corresponding to unit structure with different radii

根據表1 參數，通過式（2）可以獲得相位分布。本文采用Lumerical 軟件，選取相位庫中與所需相位相近的單元結構，進行離軸超構透鏡建模，如圖4（彩圖見期刊電子版）所示。

圖4 離軸超構透鏡的（a）單元結構仿真示意圖 及（b）仿真結構圖Fig.4 (a) Schematic diagram of unit structure simulation and (b) simulated structure diagram of off-axis mate-lens

將監視器放在距離結構0.1λ位置處，并通過程序計算x-z平面遠場的光場分布，獲得的仿真結果如圖5（彩圖見期刊電子版）所示。

圖5 離軸超構透鏡的Lumerical 仿真結果圖Fig.5 Simulation results of off-axis mate-lens by Lumerical

根據表1 中的離軸角度和焦距可以計算出該離軸超構透鏡理論聚焦坐標為（7.420,0,32.141）（單位：μm）。如圖5 所示，經Lumerical 仿真后離軸超構透鏡將光束聚焦在（7.100,0,31.200）（單位：μm）處，與理論計算偏差在5%以內，證明設計方法正確。

3.2 對不同參數離軸超構透鏡的影響分析

3.2.1 不同數值孔徑對仿真結果的影響

圖1 中離軸超構透鏡的張角為β，數值孔徑NA=sin(β/2)?？梢?，當離軸超構透鏡的直徑D與離軸角度α固定時，焦距f越長，則張角β越小，即NA越小。不同的NA會導致計算相位分布范圍不同。圖6（彩圖見期刊電子版）為D=30 μm，α=13°，入射波長λ0=1.550 μm，焦距f=32.986 μm時離軸超構透鏡的理論相位分布和Lumerical 仿真結果，此時NA=0.408。

圖6 D=30 μm，α=13°，λ0=1.550 μm，f=32.986 μm 時的相位分布與仿真結果圖Fig.6 Phase distributions and simulation results for D=30 μm,α=13°,λ0=1.550 μm,f=32.986 μm

圖7（彩圖見期刊電子版）為D=30 μm，α=13°，入射波長λ0=1.550 μm，焦距f=80 μm 時離軸超構透鏡的理論相位分布和Lumerical 仿真結果，此時NA=0.180。

圖7 D=30 μm，α=13°，λ0=1.550 μm，f=80 μm 時的相位分布與仿真結果圖Fig.7 Phase distribution and simulation results for D=30 μm,α=13°,λ0=1.550 μm,f=80 μm

根據圖6（a）和圖7（a）可以看出，對于離軸超構透鏡，當NA較小時，相位分布范圍縮小，如圖7（a）中相位右半部分被覆蓋。對比表2 中不同NA的理論計算和仿真聚焦位置偏差，可知，NA越小，理論計算與仿真的偏差越大。偏差大小取決于相位缺失部分的大小。

表2 不同NA（不同焦距f）的離軸超構透鏡理論計算與仿真聚焦位置對比Tab.2 Comparison of the focusing positions of off-axis meta-lens with different NA and different focal lengths obtained by theoretical calculation and simulation (Unit: μm)

上述情況為口徑D相同、離軸角度α相同，改變焦距f，從而實現不同NA。當口徑D與焦距f固定時，改變離軸角度α，同樣會使NA發生變化，離軸角度α越大，NA越小。

選擇D=30 μm，焦距f=32.986 μm，仿真分析離軸角度分別為α=27°（此時NA=0.388），和α=34°（此時NA=0.371）的情況。仿真結果如表3所示。

表3 不同NA（不同離軸角度d）的離軸超構透鏡理論計算與仿真聚焦位置對比Tab.3 Comparison of the focusing positions of off-axis meta-lens with different NA and different offaxis angles obtained by theoretical calculation and simulation (Unit: μm)

對比表3 中不同NA的理論計算和仿真聚焦位置偏差可以得到與表2 相同的結論，即隨著NA的減小，離軸超構透鏡理論與仿真的聚焦位置坐標偏差會增大。該現象產生的原因是當口徑和離軸角度一定時，數值孔徑減小會導致相位覆蓋范圍減小。根據公式（2）可知，口徑一定會使得超表面結構的坐標位置范圍固定，NA越小，則焦距越長，離軸聚焦位置與坐標原點偏離程度越大，其相位分布的偏離趨勢與圖6（a）到圖7（a）的一致。因此，隨著NA的減小，在一定口徑所在的坐標范圍內，離軸超構透鏡結構能覆蓋到的有效相位范圍有所減小。同理，當口徑和焦距一定時，根據公式（2）可知，離軸角度越大（NA越?。?，一定口徑所在坐標范圍內的有效相位覆蓋范圍越小，仿真結果與上述規律一致。為了更準確地分析不同離軸角度對分辨率和聚焦效率的影響，縮小仿真結果與理論的偏差，后續的分析將選擇NA為0.408 的超構透鏡參數。

3.2.2 不同離軸角度對光譜分辨率和聚焦效率的影響

離軸超構透鏡有一定的色散能力，當不同波長的光入射時，離軸超構透鏡會將光束聚焦在不同位置。根據式（3）可以算出相應參數下離軸超構透鏡的分辨率。

式中，f為離軸超構透鏡焦距，為改變入射波長導致的聚焦位置的位移距離，如 圖8 所示，F為離軸超構透鏡的F數（F=f/D），λ0為設計波長，dλ為設計波長與工作波長的偏差，α為離軸超構透鏡聚焦角度。

圖8 示意圖Fig.8 Schematic diagram of

當NA=0.408，λ0=1.550 μm，D=30 μm 時,分別仿真α=13°和α=20°時離軸超構透鏡的色散特性，如圖9（彩圖見期刊電子版）所示。當NA相同時，不同離軸角度的離軸超構透鏡相位覆蓋范圍相近。

圖9 不同α 的離軸超構透鏡相位分布圖Fig.9 Phase distributions of off-axis meta-lens with different α

在α=13°，λ0=1.550 μm 時，根據公式（3）可以計算出該離軸超構透鏡的最小分辨率為0.472 μm。在以工作波長λ0入射時，仿真表明x-z（7.100 μm,31.200 μm）處光強最大。在以工作波長λ1入射時，仿真表明x-z（7.161 μm,21.821 μm）處光強最大。為方便測量，將監視器放在設計波長對應的仿真光強最大位置處，即x=7.100 μm，觀察λ0和λ1在Z方向的光強分布。如圖10（彩圖見期刊電子版）所示，對比λ0=1.550 μm和λ1=2.022 μm 仿真結果。

圖10 α=13°,不同λ 入射時離軸超構透鏡沿Z 軸的光強分布圖Fig.10 The intensity distributions of the off-axis meta-lens along Z axis with different incident wavelengths when α=13°

在α=20°，λ0=1.550 μm 時，根據公式（3）可以計算出該離軸超構透鏡的最小分辨率為0.306 μm。在以工作波長λ0入射時，仿真表明x-z（11 μm,30.400 μm）處光強最大。在以工作波長λ1入射時，仿真表明x-z（11.080 μm,23.586 μm）處光強最大。為方便測量，將監視器放在設計波長對應的仿真光強最大位置處，即x=11 μm，觀察λ0和λ1在Z方向的光強分布。如圖11 所示，對比λ0=1.550 μm 和λ1=1.856 μm 仿真結果。

圖11 α=20°,不同λ 入射時離軸超構透鏡沿Z 軸光強分布圖Fig.11 Intensity distribution of the off-axis meta-lens along Z axis with different incident wavelengths when α=20°

根據圖10（b）和圖11（b）可以看出兩個極大值中間的極小值小于最小極大值的81%，滿足瑞利判據，即可以分辨。

仿真結果表明，當NA一定時，離軸角度越大，光譜分辨率越小。

此外，對于離軸超構透鏡，離軸角度的選擇不僅對光譜分辨率有著重要的影響，還對其聚焦效率有一定的影響。需要說明的是，本論文中聚焦效率是利用焦斑能量與光源能量的比值計算得到的，其中，焦斑能量是在焦平面用焦點中心直徑為3×FWHM 的圓對坡印廷矢量進行積分得到的，光源能量是利用焦平面的能量與透過率之比計算得到的[28-29]。通過控制變量法，設計波長為1.550 μm，數值孔徑NA為0.408，仿真分析離軸角度分別為13°、20°、23°、30°、41°的離軸超構透鏡。其聚焦效率分別是：59.14%、57.36%、55.46%、53.14%和49.70%，并繪制聚焦效率與離軸角度的曲線圖，如圖12 所示。

圖12 NA=0.408 時，不同離軸角度對應的聚焦效率曲線圖Fig.12 Curve of focusing efficiency corresponding to different off axis angles at NA=0.408

通過圖12 可知，當NA和入射波長固定時，隨著離軸角度的逐漸增大，聚焦效率會逐漸減小，根據之前的分析可知離軸角度增大，分辨能力增強。因此，若想同時保證高聚焦效率和高的光譜分辨率，離軸角度需要折衷選取。

此外，當NA和離軸角度α固定時，若入射波長偏離設計波長（1.550 μm），會導致聚焦效率大幅度下降，如表4 所示。

表4 離軸角度α=13°時不同工作波長對應的聚焦效率Tab.4 Focusing efficiencies at different working wavelength at the off-axis angle α=13°

本節分析了不同數值孔徑對仿真結果的影響和不同離軸角度對光譜分辨率及聚焦效率的影響。隨著數值孔徑的減小，離軸超構透鏡理論與仿真的聚焦位置坐標偏差會增大。這是因為數值孔徑小會導致相位覆蓋范圍減小。仿真結果顯示，隨著離軸角度的增大，光譜分辨率會提升，該現象與公式（3）中反映的離軸超構透鏡的光譜分辨率和離軸關系規律是一致的。此外，隨著離軸角度的增大，聚焦效率會降低，這是因為離軸角度增加會導致離軸聚焦位置更加偏離光軸，從而使接收面的光強變小，聚焦效率則越低。

4 結論

本文介紹了離軸超構透鏡的工作原理，并提出了一種離軸超構透鏡設計方法。在此基礎上，對不同參數產生的影響進行了分析。結果表明：數值孔徑、離軸角度、入射波長的改變會對離軸超構透鏡的聚焦位置、光譜分辨率和聚焦效率等產生影響。對于離軸超構透鏡，數值孔徑的減小會導致聚焦位置的理論與仿真結果偏差變大，以口徑D=30 μm，離軸角度α=13°的超構透鏡為例，NA=0.408 的仿真與理論聚焦位置偏差在1 μm 以內，而NA=0.180的偏差約為16.5 μm。同時，離軸角度越大，離軸超構透鏡的色散特性會越強，則光譜分辨率越高，但聚焦效率會隨之降低，以口徑D=30 μm，NA=0.408 的超構透鏡為例，α=20°的光譜分辨率為0.472 μm，聚焦效率是59.14%，α=13°的光譜分辨率為0.306 μm，聚焦效率是57.36%。設計者需根據不同的需求合理平衡離軸超構透鏡的設計參數。本論文提出的離軸超構透鏡設計方法以及特性分析結果可為后續基于離軸超構透鏡的微小型結構設計以及應用提供一定的參考。