一種可實現多運動模態的串并聯機構的運動學分析

曾慶山, 馬飛凡

(鄭州大學 電氣與信息工程學院 河南 鄭州 450001)

0 引言

隨著機器人技術和理論的不斷發展,基于串聯、并聯機器人的工業、商用、軍工等發揮著越來越重要的作用。串聯機器人具有靈活、工作空間大的特點。并聯機器人[1]具有結構穩定、剛度大的特點。隨著技術的不斷發展,將并聯與串聯機器人結合而成的混聯機構應運而生?；炻摍C構大部分是由少自由度并聯機構[2]和串聯機構結合而成。

3-RPS是少自由度并聯機構中的典型機構,具有兩個自由度的轉動和一個自由度的移動,這類機構結構簡單、易于控制、容易制造且應用很廣泛,許多混聯機構都采用這類機構作為并聯部分本體。自1986年3-RPS機構被Hunt[3]教授提出后,經過長時間的發展改進,目前被廣泛應用到機床、零件加工、流水線作業等。Lu等[4]提出了一種求解3-SPR并聯機器人位置和工作空間的方法。

串并混聯機構兼具串聯、并聯機構的優點,但其構型復雜,建模難度較高,國內外許多學者對混聯機構進行了研究。Lu等[5]提出了由兩個3-RPS并聯機構串聯而成的六自由度混聯機構。Lu等[6]采用解析法對文獻[5]提出的串并混聯機構進行了深入研究。Gallardo等[7]利用螺旋理論研究2(3-RPS)串并結構的奇異位型。李偉等[8]提出了一種串并混聯機器人的設計方案,并分析了該機器人的優勢及應用場景。機構的位置分析是運動分析、受力分析、動力分析的基礎[9]。機構分析中有位置正解和反解兩個基本問題。大多數串聯機構的正解求解簡單,逆解求解復雜。并聯機構位置的逆解簡單,正解求解復雜,大多數采用封閉解法和數值解法[10]。而串并混聯結構的位置分析則更復雜[11]。對于不同的構型,沒有較為統一的方法。馬春生等[12]提出了一種基于3-SPR的混聯機構,分析逆運動學及其機構的工作空間,但沒有分析混聯機構的正解。李峰等[13]提出了一種針對2(3-RPS)串并聯機器人運動構型位置正解的解析算法,該方法復雜且求出的解不唯一。

上述混聯機構大多是兩層并聯機構串聯而成,可以實現的功能有限,本文提出了一種新型3-RPS+R+3-SPR混聯機構,該機構是由三部分串聯而成,可作為爬行機器人的軀干結構,具有多種運動模態,例如轉彎、伸縮等。本文對該機構進行了運動學分析,利用并聯機構的幾何約束求解機構位置逆解,分開求解混聯機構的正運動學,便于正運動學的分析,并利用優化算法求解正解的值,避免了求解的不唯一。在Adams中建立機構虛擬樣機進行仿真,與Matlab理論計算作對比分析,并給出了具體的數值算例進行正、逆運動學驗證。

1 機構構型描述

1.1 機構簡介及坐標系建立

為實現多種運動模態,本文提出了一種新型的串并混聯機構,其SolidWorks模型如圖1所示,機構簡圖如圖2所示。該構型主要由三部分串聯構成,下機構為3-RPS,中間為旋轉關節,上機構為3-SPR。上、下機構可以伸縮進行蠕動,中間機構可以旋轉,上、中、下機構協調運作可以實現蜿蜒。

圖1 3-RPS+R+3-SPR模型圖Figure 1 The 3-RPS+R+3-SPR model diagram

圖2 3-RPS+R+3-SPR串并聯機構簡圖Figure 2 The 3-RPS+R+3-SPR serial-parallel mechanism diagram

3-RPS+R+3-SPR結構一共有六個支鏈和四個平臺。每個支鏈都是由轉動副R、移動副P及球副S構成,四個平臺由下至上依次記為0,1,2,3平臺,各平臺均是正三角形構成,中心點分別為O0,O1,O2,O3,平臺0、3的外接圓半徑為E,平臺1、2的外接圓半徑為e,在平臺0上建立坐標系O0-X0Y0Z0,記作坐標系{0}。其中:X0軸平行于A2A3軸;Z0豎直向上;依據右手螺旋法則可以得到Y0軸。同理建立其他坐標系O1-X1Y1Z1,O2-X2Y2Z2,O3-X3Y3Z3,并分別記為坐標系{1},{2},{3}。下機構3-RPS的下平臺端點為Ai(i=1,2,3),其上平臺端點為Bi(i=1,2,3),上機構3-SPR的下平臺端點為Ci(i=1,2,3),其上平臺端點為Di(i=1,2,3),兩個機構的上、下平臺中間通過移動副P連接,下機構3-RPS的三個桿長為l1i(i=1,2,3),上機構3-SPR的三個桿長為l2i(i=1,2,3),該串并聯機構的坐標軸滿足如下關系:X0//A3A2,Y0⊥A3A2;X1//B3B2,Y1⊥B3B2;X2//C3C2,Y2⊥C3C2;X3//D3D2,Y3⊥D3D2。機構滿足的幾何約束關系有:下機構3-RPS的轉動副滿足R1i⊥l1i(i=1,2,3);上機構3-SPR的轉動副滿足R2i⊥l2i(i=1,2,3)。

2 串并混聯結構的逆運動學分析

根據機構幾何約束,進行位置逆解分析,位置逆解為已知動平臺3的中心點位姿,求解混聯機構六個驅動桿的長度。

2.1 逆運動學分析

下層3-RPS并聯機構的下平臺各頂點Ai在坐標系{0}中的坐標為

(1)

下平臺各頂點Bi在坐標系{1}中的坐標為

(2)

同理,可求出上層3-SPR并聯機構的下平臺各頂點Ci在坐標系{2}中的坐標及上平臺各頂點Di在坐標系{3}中的坐標:

(3)

(4)

(5)

其中:

同理,上機構3-SPR的下平臺各頂點Ci在坐標系{0}中表示為

(6)

其中:

θ為中間平臺的旋轉角度。

(7)

上層3-SPR并聯機構的上平臺各頂點Di在坐標系{0}中為

(8)

其中:

根據3-RPS和3-SPR的幾何結構限制,3-RPS機構的轉動副R1i(i=1,2,3)為

(9)

上層3-SPR機構的轉動副R2i(i=1,2,3)為

(10)

根據并聯機構的幾何限制得

R1i⊥l1i(i=1,2,3)?R1i⊥(Bi-Ai),

(11)

R2i⊥l2i(i=1,2,3)?R2i⊥(Di-Ci),

(12)

代入式(11)可得

B1x=0,B2x=-qB2y,B3x=qB3y,

(13)

代入式(12)可得

(14)

則頂點Bi在坐標系{0}下為

(15)

根據頂點Bi在坐標系{0}下的坐標可以求得坐標系{0}下與{1}的變換矩陣為

(16)

(y1i+y2j+y3k)/t1,

(x1i+x2j+x3k)/t2,

z=x×y,

(17)

其中:

(18)

(19)

由于平臺1和平臺2是邊長為qe的等邊三角形,故滿足

(20)

即

(21)

根據式(19)～(21)的九個約束方程,給定末端平臺3的位姿參數X、Y、Z、α、β、γ,求解方程組,根據Bi的約束條件(13),Bi被限制在三個平面內,根據約束條件及幾何限制對約束方程組的求解值進行篩選,可求出唯一的Bi坐標,利用式(6)進而求出Ci坐標。

則整個混聯機構的逆解為

l1i=|Ai-Bi|,(i=1,2,3),

(22)

l2i=|Ci-Di|,(i=1,2,3)。

(23)

3 串并混聯機構的正運動學分析

正運動學的求解是通過給定機構的桿長求解機構末端平臺的位姿。對本文機構進行正運動學求解時,將其分為三部分,分別求出各部分的旋轉變換矩陣,整體變換矩陣即為各部分變換矩陣的乘積。正解的計算采用優化算法求解,避免求解的不唯一。

3.1 3-RPS正運動學分析

對于下層3-RPS并聯機構,根據其幾何結構,三個轉動副均沿其同平面的三角形對邊平行方向布置,轉動副軸線與X軸的夾角分別為0°、210°、330°。假設下層機構的各個桿與平臺0的夾角為φ11、φ12、φ13,則下層3-RPS并聯機構的上平臺頂點Bi在坐標系{0}下的坐標為

(24)

下層3-RPS并聯機構的上平臺端點Bi滿足式(20)。將式(24)中的Bi坐標代入,得到三個關于夾角φ11、φ12、φ13的非線性方程,求解這三個非線性方程可以使用解析法或者優化算法,解析法需要變量之間互相代換,將非線性方程轉換成一元高次方程,求解過程煩瑣復雜。本文采用改進的粒子群優化算法求解三個非線性方程,求解過程簡便且能得到準確的結果。使用粒子群算法的步驟如下。

1) 根據三個方程構造出目標函數f1、f2、f3。

(25)

2) 確定適應度函數

F(φ11,φ12,φ13)=min|f12+f22+f32|。

(26)

3.2 3-SPR正運動學分析

與3-RPS類似,可以將3-RPS看成3-SPR的對稱機構,在對其進行正運動學建模過程中,類比3-RPS的建模方法得到動平臺的3-SPR的位姿矩陣。當給出上層機構的三個桿長l2i,即可計算出夾角φ2i,可以求出上層3-SPR并聯機構的位姿矩陣為

(27)

3.3 中間關節正運動學分析

3.4 串并混聯機構正運動學求解分析

正運動學總體分析過程如下:平臺0和平臺3之間的旋轉變換矩陣為三部分:下層的3-RPS;中間的旋轉關節及上層的3-SPR。三部分變換矩陣的乘積為

(28)

4 機構運動學仿真

通過具體的數值算例對所建立串并混聯機構運動學模型進行仿真驗證,驗證機構正、逆運動學模型。設定機構的參數為:e=6.25 cm;E=10.25 cm;中間旋轉關節高度H=10 cm。

4.1 逆運動學仿真驗證

給定末端平臺的位姿α=-19.059°,β=-13.001°,γ=-30.282°,X=-2.848 cm,Y=12.484 cm,Z=57.918 cm,中間關節旋轉角度θ=30°。根據本文理論分析,編寫Matlab程序,代入末端平臺位姿,計算出混聯機構的六個驅動桿桿長,見表1。

表1 3-RPS+R+3-SPR混聯機構逆解算例Table 1 Inverse solution calculation example of 3-RPS+R+3-SPR hybrid mechanism

從逆解仿真驗證的結果來看,將Matlab理論計算結果與標準值進行對比,其相對誤差均在1×10-3范圍內,驗證了位置逆解的正確性。

4.2 正運動學仿真驗證

在SolidWorks中建立混聯機構的模型,將其導入Admas中,建立虛擬樣機。添加各個關節的運動副,驗證虛擬樣機模型的正確性。對Admas中虛擬樣機添加相應的驅動,得出正解模型的仿真結果。

對于該結構正運動學的仿真驗證,其流程圖如圖3所示。在Adams中給六個驅動桿添加一定的驅動函數以及中間旋轉關節的驅動角度,可以通過仿真得到末端平臺的位姿曲線。將驅動函數導出為樣條函數,并作為理論計算的輸入值,通過優化算法得到末端平臺位姿曲線,將兩種曲線對照,如圖4所示。從圖4中看出,一段時間內,機構桿長的變化導致末端平臺中心點位姿的變化,圖4(a)～(c)分別是X、Y、Z軸方向上的移動,圖4(d)～(f)是分別繞X、Y、Z軸的旋轉角度變化。理論計算與仿真測量的曲線是吻合的,說明位置正解的正確性。機構在Z方向上的移動可以實現伸縮運動,繞X、Y、Z軸的旋轉,X、Y、Z軸方向上的移動可以實現蜿蜒運動。

圖3 正運動學仿真驗證流程圖Figure 3 Flow chart of forward kinematics simulation verification

圖4 末端平臺位姿變化曲線Figure 4 The end platform pose change

對于本文結構的伸縮蠕動功能的仿真驗證,其過程與蜿蜒運動類似,區別在于給出不同的驅動函數,使驅動桿伸長收縮來完成伸縮蠕動功能。平臺0作為定平臺,驅動桿通過伸長或收縮可實現平臺1、2、3向前移動,在到達伸長狀態后,末端平臺固定,驅動桿使平臺0、1、2向前收縮,完成蠕動。圖5給出結構作為機器人主體幫助機器人實現蠕動功能的實例。

圖5 蠕動步態實例Figure 5 Diagram of peristaltic gait

綜上,本文機構可以實現多種運動方式,具有多運動模態功能,可以應用到工業、軍事等特殊的場合。

5 結論

本文提出了一種新型3-RPS+R+3-SPR串并混聯機構,該機構兼具串聯和并聯的優點,可實現蜿蜒、伸縮蠕動等功能。根據機構幾何約束方程,建立了逆運動學模型,給出了該構型逆解的分析過程及具體數值算例。對于其正運動學正解,將整個機構分開進行分析,使得求解問題更有序,使用優化算法求解,避免了正解求解的復雜性和不唯一。最后,將利用Admas仿真測量與Matlab計算的理論模型得到的結果進行對比分析,驗證了正運動學模型建立的正確性,結論表明該結構可以實現多種運動模態。