一類微分系統變號解的存在性和多解性

張慧星, 高 妍, 姚香娟

(中國礦業大學 數學學院 江蘇 徐州 221116)

0 引言

本文研究基爾霍夫-薛定諤-泊松系統

(1)

變號解的存在性與多解性, 其中:x∈R3;a,b>0。 當a=1,b=0時, 系統(1)變為薛定諤-泊松系統,

(2)

從物理學的角度來看, 系統(2)廣泛應用于量子電動力學和半導體理論等領域, 可用來描述粒子在空間和時間上的運動規律, 代表了帶電粒子與靜電場相互作用的模型, 它存在駐波解。 關于薛定諤-泊松系統, 近年來最主要的研究集中于尋找它的非平凡解,也有一些學者研究了它的變號解情況[1-5]。文獻[6]利用下降流不變集方法結合抽象臨界點理論, 給出了薛定諤-泊松系統變號解的存在性和多解性。本文研究更一般的基爾霍夫-薛定諤-泊松系統解的存在性和多解性。

假設V∈C(R3,R+)滿足如下條件。

對于非線性項f, 我們有如下假設:

本文的主要結果如下。

定理1如果條件V0)和假設f1)～f3)成立, 則基爾霍夫-薛定諤-泊松系統存在至少一個變號解。 如果f(u)是奇函數, 則此系統存在無窮多個變號解。

1 預備知識

下面給出φu的一些相關性質。

引理1[6]φu有如下性質。

1)φu(x)≥0,x∈R3;

2)存在與u無關的C>0, 使得

定義Sobolev空間

它的范數定義為

這是一個Hilbert空間, 內積表示為

我們定義算子

D(uv,uv)2≤D(u2,u2)D(v2,v2)。

把φ=φu代入系統(1), 可將系統(1)轉化為

(3)

定義E上的能量泛函I為

易知I∈C1(E,R),且?u,v∈E,

下面我們將證明方程(3)的變號解的存在性和多解性, 從而進一步得到基爾霍夫-薛定諤-泊松系統變號解的存在性與多重性。

2 構造輔助算子A

我們引入輔助算子A, 用它來構造泛函I的下降流。 ?u∈E, 定義v=A(u)∈E是方程

(4)

的唯一解。 顯然,u是式(3)的解,等價于u是I的臨界點, 也等價于u是A的不動點。

引理3算子A是連續緊算子。

證令u∈E, 且定義

則J0∈C1(E,R)。 由假設f1)～f2)和注1,J0是強制、有下界、弱下半連續、嚴格凸的。 因此,J0有一個唯一極小值v=A(u)∈E, 它是式(4)的唯一解, 且A將有界集映成有界集。

接下來, 我們證明算子A是連續的。 取{un}?E,u∈E,且有un→u于E。 令v=A(u),且vn=A(un), 有

f(un))(v-vn)=I1+I2+I3。

對于I1, 由H?lder不等式及注1, 有

對于I2, 因|·|≤|·|E,由引理1和引理2, 有

C3‖un-u‖E·‖v-vn‖E。

設g1(t)=φ(t)f(t),g2(t)=f(t)-g1(t),則由假設f1)～f2)知, 存在C4>0, 使得對任意的實數s, 有

|g1(s)|≤C4|s|,且|g2(s)|≤C4|s|5。

因此,

綜上,

進一步,有

和

進一步,

綜上, ‖v-vn‖E→0, 即A是連續算子。

-(a+bM)Δv+V(x)v+φuv=f(u)

的弱解, 因此

考慮

由Fatou引理,有

下面證明

(5)

因為

由于在L4(R3)中,vn→v0, 有

此外

因為un→u于L4(R3), 當n→∞時, 且un,vn都是E中有界序列, 所以存在C7>0, 使得

由ε的任意性, 有

綜上, 由范數的等價性可知, 當n→∞時,vn→v0于E。 即A是緊算子。

注2若f是奇的, 則A也是奇的。

證明1) 因為A(u)是式(4)的解, 則

所以

2) 對任意φ∈E, 有

‖u-A(u)‖E·‖φ‖E。

所以, 對任意u∈E,

‖I′(u)‖=sup‖φ‖=1〈I′(u),φ〉≤

引理5?a0, 若?u∈E,I(u)∈[a,b],且|I′(u)|≥α, 則?β>0, 使得‖u-A(u)‖E≥β。

證明?u∈E, 由假設f3),有

因此, 有

(6)

成立,假設存在{un}∈E, 當I(u)∈[a,b],且|I′(u)|≥α時, 有‖un-A(un)‖E→0,n→∞。 則由式(6)知, {‖un‖E}是有界的。 再由引理4的2), 得出矛盾。

3 構造下降流不變集

引理6?ε0>0,使得?ε∈(0,ε0), 有:

證明這里只證明引理6的1), 2)同理。 記u∈E為u=u++u-, 其中:u+=max{u,0};u-=min{u,0}。 對u∈E, 記v=A(u)。 由注1可知, 對任意q∈[2,6], 存在mq>0,使得

成立,且

由假設f3)和H?lder不等式, 有

dist(v,P-)‖v+‖E≤(v,v+)E≤δ‖u+‖2‖v+‖2+

Cδdist(u,P-)p-1)‖v+‖E。

因此, 有

dist(v,P-)≤C(δdist(u,P-)+Cδdist(u,P-)p-1)。

用K表示A的不動點集, 它也是I的臨界點集。 因為A僅是連續的, 我們需要在E0=EK上構造局部Lipschitz連續的算子B,B需具有A的主要性質。 有如下結論[11]。

引理7存在一個局部Lipschitz連續的算子B:E0→E, 使得

4) 若f是奇的, 則B是奇的。

4 定理1的證明

4.1 定理1的存在性部分

我們采用包含下降流的不變集的極小極大方法證明系統(3)至少存在一個變號解。 首先, 引入一些基本結果。

令X是一個Banach空間,J∈C1(X,R),P,Q?X是開集,M=P∩Q,Σ=?P∩?Q,且W=P∪Q。?c∈R,Kc={x∈X:J(x)=c,J′(x)=0},且Jc={x∈X:J(x)≤c}。

定義1[10]假如下面形變性質成立, 若KcW=?, 則?ε0>0,使得?ε∈(0,ε0), 存在η∈C(X,X)滿足:

3)η(Jc+εW)?Jc-ε;

則對J來說,{P,Q}被稱為是可容許的在能量級c的不變集。

1)φ0(?1Δ)?P,且φ0(?2Δ)?Q;

2)φ0(?0Δ)∩M=?;

其中:Δ={(t1,t2)∈R2:t1,t2≥0,t1+t2≤1};?1Δ={0}×[0,1];?2Δ=[0,1]×{0};且?0Δ={(t1,t2)∈R2:t1,t2≥0,t1+t2=1}。 定義

其中

Q,φ|?0Δ=φ0|?0Δ},

則c≥c*且KcW≠?。

引理9若KcW=?, 則存在ε0>0,使得對0<ε<ε′<ε0, 存在一個連續映射σ:[0,1]×E→E滿足:

1) ?u∈E,σ(0,u)=u;

2) ?t∈[0,1],u?I-1[c-ε′,c+ε′],σ(t,u)=u;

3)σ(1,Ic+εW)?Ic-ε;

由引理10, 有

因此, 對足夠小的ε,

則

下面應用引理8去證明本文的結論。 我們只需再驗證引理8的2)和3)。

令ρ=min{‖tv1+(1-t)v2‖2:0≤t≤1}>0, 則‖u‖2≥ρR,?u∈φ0(?0Δ),且由引理10可知,對任意足夠大的R,φ0(?0Δ)∩M=?, 滿足了引理8的式2)。 由假設f3), 有F(t)≥C1|t|μ,?t∈R。?u∈φ0(?0Δ), 由引理1,

4.2 無窮多變號解的存在性

假設G:X→X是一個等距對合, 即G2=id,且?x,y∈X,d(Gx,Gy)=d(x,y)。 我們假設J在X上是G-不變的, 即對任意x∈X, 有J(Gx)=J(x)。也設Q=GP。 若?x∈F, 有Gx=F, 則X的子集F叫做對稱的。用γ(F)代表X(〗0}中的閉對稱子集F的虧格。

2)η°G=G°η;

3)η|Jc-2ε=id;

4)η(Jc+ε(N∪W))?Jc-ε。

則P被稱為對J來說是G-可容許的在水平c的不變集。

|x|≤1}→X滿足:

2)φn(?Bn)∩M=?;

且

Gφ(t),φ(0)∈M且φ|?Bn=φn|?Bn},

則?j≥2,cj≥c*,KcjW≠?,且當j→∞時,cj→∞。

引理13存在ε0>0,使得?0<ε<ε′<ε0, 存在一個連續映射σ:[0,1]×E→E滿足:

1) ?u∈E,σ(0,u)=u;

2) ?t∈[0,1],u?I-1[c-ε′,c+ε′],σ(t,u)=u;

3) ?(t,u)∈[0,1]×E,σ(t,-u)=-σ(t,u);

4)σ(1,Ic+ε(N∪W))?Ic-ε;

再由引理11, 當Rn足夠大、且ε足夠小時,

這滿足了引理12的3)。 選擇固定的Rn, 定義