基于漸開線齒輪輪廓修形的疲勞壽命分析

呂建鋒,聶曉根,盛裕民,黃漢陽

(福州大學 機械工程及自動化學院,福建 福州360108)

0 引言

齒輪傳動是眾多機械設備中應用最廣泛的傳動方式,因此齒輪失效帶來的影響也很大。實際生產中通過齒輪修形可以有效提高齒輪的強度,增加齒輪使用壽命。國內外學者在齒廓修形中做了大量研究。李敦信[1]指出,任何一種齒廓修形方法都會因為齒輪接觸對受載變形產生齒廓平衡變化,并提出了新的平衡條件。

齒輪傳動是一個動態過程,這個過程所產生的變形和誤差必然會隨著齒輪修形而變化,從而改變嚙合傳動過程的動態特性。因此,為了保證齒輪修形方法的效果,就需要對齒輪嚙合進行動力學分析。李學志等[2]對齒輪動力學性能和修形進行研究,基于不同修形方法得到修行前后嚙合動態應力變化圖,為齒輪動力學分析提供有效依據。SANKAR等[3]通過ANSYS軟件建立齒輪嚙合對,分析前后應力分布,證明了齒廓修形可以提高齒輪強度。

本文介紹一種新的齒廓鼓形方法,在齒廓方向上,從齒根和齒頂開始分別向分度圓位置微量鼓形,形成一條新的齒廓,按照此齒廓鼓形方法建立漸開線齒輪的齒廓鼓形數學模型,通過UG建立三維模型,使用ANSYS Workbench中的瞬態動力學模塊分析齒輪接觸嚙合過程中的應力和應變,并結合Workbench中的Fatigue Tool模塊對修形前后齒輪的壽命進行預測與比較,驗證修形方法的有效性。

1 齒廓鼓形數學模型建立

1.1 漸開線輪廓參數方程計算

在平面上,一條動直線(發生線)沿著一個固定的圓(基圓)做滾動的過程中,此直線上任一點的軌跡,就是這個基圓的一條漸開線[4]。若基圓半徑為rb,以基圓圓心為原點建立直角坐標系,則在直角坐標系下漸開線的參數方程為

(1)

式中σ是定點與圓心連線和x軸之間的夾角,是漸開線展角與壓力角之和。

漸開線直齒圓柱齒輪的端面截形是漸開線,如圖1所示。

圖1 漸開線齒輪齒廓形成原理圖

BE和FH是漸開線齒輪的一對齒廓漸開線,關于ym軸對稱,AK是標準漸開線AK繞原點旋轉一個β角度后形成的,漸開線齒輪的漸開線齒廓AK的參數方程可由下式求得:

(2)

因此漸開線直齒圓柱齒輪的漸開線齒廓參數方程為

(3)

由圖1可知β角是1/2θ1角與θ角之差,其中θ1角是漸開線齒輪的一個齒槽對應分度圓圓弧的圓心角,若齒輪齒數為Z,則θ1=π/Z。θ角是漸開線的展角,由漸開線的定義可知θ=tanαk-αk,αk是齒輪壓力角,標準安裝齒輪壓力角為20°。因此,標準漸開線繞原點旋轉至齒廓漸開線的旋轉角度計算公式為

(4)

1.2 鼓形計算

本文提出的漸開線齒輪齒廓鼓形修形方法,是在保證原有的漸開線傳動性能的前提下提高漸開線齒輪的強度,具體鼓形修形思路如下:上述漸開線齒輪的漸開線參數方程是一個只與參數σ相關的方程。因此,每一個σ有且只有一個與其一一映射的方程數值,圖2為齒輪的漸開線齒廓示意圖。

圖2 齒輪的漸開線齒廓示意圖

圖2中C點是漸開線上任一點,過C點做基圓的切線切基圓于Q點,由漸開線的形成原理可知弧BQ與弦CQ長度相等,設線段OC的長度為r,則有:

(5)

基于這個原理,將σ作為橫坐標將漸開線展開,起點是漸開線在齒輪齒根圓半徑對應的σ值,設為σ1,終點是齒輪齒頂圓對應的σ值,設為σ3,再取齒輪分度圓半徑對應的σ值,設為σ2,如圖3所示。

圖3 鼓形原理圖

以參數σ為橫坐標,鼓形量h為縱坐標建立坐標系,半徑分別為r1和r2的圓弧交橫坐標于σ1和σ3并相切于σ2,給定分度圓處鼓形量h0,兩圓弧的圓心坐標分別為(σ2,h1)和(σ2,h2),則根據已知條件可以通過下列方程組求解兩端圓弧的半徑以及h1、h2的值為

(6)

代入已知點坐標以及相切條件可知兩圓弧方程為

(7)

通過上式可知,在σ1至σ3范圍內,任意σ值都有與其唯一對應的鼓形量h,如圖4所示。按照映射關系,在漸開線的法線方向將鼓形量加上形成鼓形曲線AB。

圖4 齒廓鼓形對比圖

由漸開線的形成原理,可知線段MQ即漸開線法線方向,則漸開線法線的單位向量求解式為

(8)

在MATLAB仿真軟件中對σ1～σ3區間取1 000個點,分別代入式(7)中可以求得任意σ值對應的鼓形量h,再將鼓形量h與單位向量相乘可獲得橫縱坐標的增量,與漸開線上相對應σ值的點坐標相加就可獲得σ1～σ3區間內均勻的點,擬合就可獲得鼓形曲線。圖5為分度圓鼓形量h0取0.005時的齒根部分鼓形曲線與漸開線對照圖。圖中右側是齒廓漸開線,左側是鼓形線。同理也可以獲得拋物線的鼓形曲線,此處不再贅述。

圖5 MATLAB仿真的漸開線與鼓形曲線

2 齒廓鼓形齒輪建模

為了充分利用各種軟件的優點,經常需要在不同軟件之間進行數據的傳遞。本文通過MATLAB軟件對鼓形曲線進行建模,將齒根至齒頂范圍內的σ值按照0.001的分度取點,按照上述計算方法得到各個σ值對應的鼓形量,最后得到鼓形曲線的均勻散列點,將這些散列點保存為dat文件,便于實現MATLAB和UG軟件間的數據傳遞。

在MATLAB中分別建立好圓鼓形曲線和拋物線鼓形曲線的數學模型,按照表1參數輸入后獲得對應齒輪的鼓形曲線的散列點,將這些均勻散列點輸出為dat文件保存。

表1 漸開線齒輪參數表

在UG10.0中分別導入保存的dat文件,擬合均勻散列點獲得擬合曲線。在得到擬合的近似漸開線的鼓形曲線后,按照MATLAB計算結果畫好齒根圓、齒頂圓和分度圓,齒根過度圓弧半徑按照GB/T 1356—2001標準取0.38M,即0.76mm,再經過UG陣列、修剪等命令繪制如圖6中所示齒輪的草圖輪廓,完成草圖繪制。經過拉伸、孔命令等指令后得到圖7所示的鼓形齒輪三維模型。

圖6 齒輪模型草圖 圖7 齒輪三維模型

保存零件圖,在UG中新建裝配圖,將兩個同樣的圓鼓形齒輪按照接觸、對齊以及距離約束裝配好,按照同樣的裝配方法將拋物線鼓形齒輪以及UG中通過GC工具箱生成的同參數標準漸開線齒輪裝配好。圖8為通過上述建模及裝配方法得到的拋物線鼓形齒輪的裝配圖。

圖8 一對嚙合的拋物線鼓形齒輪

3 有限元實驗結果分析

基于上述疲勞分析理論,在Workbench平臺對齒輪對做瞬態動力學分析,將建立好的齒輪嚙合模型分別導入Workbench中,添加合適的約束以及邊界條件,并最終對Fatigue Tool模塊計算結果進行齒輪壽命分析。

3.1 瞬態動力學分析過程

在進行瞬態動力學分析之前,需要設置齒輪本身的屬性,常用的齒輪材料有鋼、鑄鐵和非金屬材料以及一些性能好的合金材料,本文使用的材料是40Cr,齒輪材料特性如表2所示。

表2 齒輪材料特性表

借助Workbench的Transient Structural瞬態動力學求解模塊,將建立好的模型分別導入到Workbench中,使用Named Selection方法設置主動輪和從動輪的接觸面為齒輪所有輪齒的兩個側面,采取輪齒上的網格進行加密而齒輪中心部分網格稀疏的方法,將接觸面區域網格劃分為2mm,其余部分采用5mm網格,選擇六面體為主的單元劃分方法,得到節點數為52 260,單元數為29 752[5],如圖9所示。

圖9 嚙合齒輪網格劃分

齒輪瞬態動力學分析的關鍵是初始載荷步長和加載約束的設置。為了便于結果收斂,設置計算時間為1s,將1s按步數分成25～250個子步,初始子步設置為20步,最小子步設置為25步,最大子步設置為250步,其他保持默認設置;接觸設置中選擇設置好的齒輪接觸對,接觸方式為有摩擦接觸Frictional,摩擦因數設置為0.2,法向剛度系數設置為1,設置每次迭代以及自動二分,打開大變形Large Deflection,關閉弱彈簧Weak Springs,其余保持默認;根據齒輪副運動狀況,對主動輪和從動輪均設置為繞z軸旋轉的轉動副,其余自由度均約束為0,主動輪施加5rad/s的轉速,從動輪施加12 000Nmm的轉矩[6]。

3.2 瞬態動力學結果分析

通過對鼓形齒輪副以及標準齒輪副進行瞬態動力學分析,得出如圖10所示的齒輪嚙合過程中的等效應力云圖、等效應變云圖。從圖中可以看出,嚙合過程中的最大等效應力分布主要集中在齒輪節線以及齒輪的齒根處,這與實際情況相符合。齒輪齒根部的應力集中將導致齒輪齒根處裂紋和斷裂的發生。當安全系數取1.2時,許用應力[σ]=654MPa,由圖10可知齒輪所受最大應力小于許用應力,滿足強度要求。且圓鼓形齒輪的最大應力和應變在3組齒輪副中最小,拋物線鼓形齒輪稍大,標準齒輪的最大應力應變最大。

圖10 齒輪瞬態動力學分析結果

3.3 齒輪壽命分析

本文使用Workbench自帶的壽命分析模塊Fatigue Tool對3對嚙合齒輪做壽命分析。圖11是齒輪壽命分析流程圖,本文主要論證漸開線齒輪兩種曲線鼓形方法的可行性,選用默認的循環載荷類型Fully Resversed,選擇古德曼修正理論。材料的特性主要包括材料的屈服強度以及S-N曲線等參數,40Cr的材料S-N曲線如圖12所示[7]。

圖11 疲勞壽命分析流程圖

圖12 材料的S-N曲線

由于疲勞的載荷數據為瞬態動力學分析計算所得,將疲勞因子和載荷應力因子設為1,選擇分析類型為stress life,得到如圖13所示疲勞壽命云圖。由圖可知齒輪對的最低壽命都集中在齒輪節線和齒根部,與應力、應變云圖相對應,符合實際,且標準齒輪最低壽命最小僅1.383 9×106次,拋物線鼓形齒輪最低壽命1.688 1×106次,圓鼓形齒輪最低壽命2.221 6×106次為最高。由此可見通過本文提出的齒廓鼓形修形可以有效提高齒輪的使用壽命。

圖13 齒輪疲勞壽命分析結果

4 結語

1)本文利用Workbench和Fatigue Tool對40Cr材料的直齒輪進行了疲勞建模和壽命預測。

2)按本文所提輪齒修形方法,修形后齒輪的應力、應變集中位置并未改變,仍然集中在齒輪節線以及齒根處,且沒有超過許用應力,符合實際標準。

3)研究表明圓鼓形齒輪的疲勞壽命要比拋物線鼓形齒輪的疲勞壽命高,且都高于標準齒輪。研究方法為提高齒輪性能提供了一種可借鑒的優化設計方法。