基于系數匹配與參數整合的P波旅行時計算方程

魏建 孫祥娥

摘要：基于泰勒展開的旅行時公式是計算P波旅行時的一種常用方法。泰勒展開的結果僅在計算點附近準確，而地層中具有垂直對稱軸的橫向各向同性（transverse isotropy with vertical symmetry axis， VTI）介質進一步放大了旅行時計算的不準確性。本文提出了一種改進的P波旅行時計算方法。該方法以基于泰勒展開的偏移距八階旅行時方程為基礎，利用系數匹配方法分別處理偏移距八階項與六階項的系數、偏移距六階項與四階項的系數，用整合處理優化得到的參數結構，形成了基于系數匹配與參數整合的偏移距四階P波旅行時計算方法。水平層狀VTI介質模型測試結果表明，該方法能夠得到更小的計算誤差，保證其在遠偏移距處具有較好的表現。三維垂直地震剖面數據實驗結果表明，該方法經參數調整后能夠進行數據分析，在中偏移距處的表現相對穩定，在遠偏移距處具有一定優勢。

關鍵詞：旅行時計算；系數匹配；參數整合；VTI介質

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20220309

中圖分類號：P631

文獻標志碼：A

收稿日期：2022-11-10

作者簡介：魏建（1991-），男，博士研究生，主要從事油氣信息探測與儀器裝備方面的研究，E-mail： 201873033@yangtzeu.edu.cn

通信作者：孫祥娥（1970-），女，教授，博士生導師，主要從事地震信號處理方面的研究，E-mail： sxeyangtzeu@163.com

基金項目：國家自然科學基金項目（51978078）

Supported by the National Natural Science Foundation of China （51978078）

P-Wave Traveltime Calculation Equation Based on Coefficient

Matching and Integration ProcessingWei Jian， Sun Xiange

College of Electronic Information， Yangtze University， Jingzhou 434023， Hubei， China

Abstract： The traveltime formula based on Taylor expansion is a common method to calculate P-wave traveltime. The Taylor expansion is accurate only near the calculation point， and the inaccuracy of the traveltime approximation is further magnified in the medium of?? transverse isotropy? with vertical? symmetry axis?? （VTI）. An improved method for calculating P-wave traveltime is presented in this paper. This method utilizes the 8th-order offset-traveltime equation based on the Taylor expansion， and the coefficient matching method is used to determine the coefficients of the series expansion. Then the integration processing is used to optimize the parameters. Finally， the 4th-order P-wave traveltime calculation method is formed? based on? coefficient matching and parameter integration. The test results for horizontal layered VTI medium models show that the proposed method has relatively small numerical errors and relatively good performance at the far offset. The experimental results for 3D VSP data show that after parameter adjustment， the method effectively analyzes the data， exhibiting stable performance at middle offsets and a certain advantage at far offsets.

Key words： traveltime calculation; coefficient matching; parameter integration; VTI medium

0 引言

旅行時計算公式是地球物理學的重要研究課題之一，其計算精度影響著速度分析、時差校正、成像和正向建模等關鍵處理步驟^[1]。為了在具有垂直對稱軸的橫向各向同性（transverse isotropy with vertical symmetry axis， VTI）介質中獲得更準確的P波旅行時，P波旅行時方程已由雙曲線形式逐漸轉變為非雙曲線形式。

在非雙曲線形式的旅行時公式中，基于泰勒級數展開的P波近似公式是最基本的一種計算方法，如：Castle^[2]通過改進高階旅行時公式提出的平移雙曲線近似法，Alkhalifah等^[3]利用聲學近似理論提出的三參數偏移距四階旅行時計算方法，Ursin等^[4]使用一次系數匹配方法提出的偏移距四階旅行時計算方法，以及Ursin等^[5]隨后提出的改進的幾何擴展近似方法。近期，Xu等^[6]提出了基于偏移距泰勒級數展開與聲學近似的計算方法?；镜挠嬎惴椒ㄊ芟抻谄凭喔唠A項的使用，影響了其在介質中計算的準確性。除了基于泰勒級數展開的基本旅行時計算方法之外，其他能夠提高旅行時計算精度的方法相繼被提出。Fomel^[7]通過研究相速度與群速度的關系，提出了基于橢圓近似的旅行時計算方法。為了提高擾動方法的準確性，隨后提出了優化后的擾動方法^[8-9]。隨著研究的深入，Fomel等^[10]提出了基本廣義時差近似法，在一定條件下與基于橢圓近似方法具有相同形式。針對基本廣義時差方程存在計算參數不對稱及準確性不高的情況，提出了通過增加參與計算參數以及射線數目的改進方法，有：修正的廣義時差近似法^[11]、擴展的廣義時差近似法^[1]、基于三射線的廣義時差近似法^[12]以及改進的廣義時差近似法^[13]。之后，Ravve等^[14]提出了基于五參數的旅行時計算方法。Abedi^[15]基于有理近似方法提出了多階旅行時計算方程，隨后與Pardo通過計算無限偏移距附近的漸近級數構建了新的旅行時計算方法^[16]?；诼眯袝r計算相關理論的快速發展，進一步改善旅行時計算準確性的方法將會被提出并廣泛應用。

在VTI介質中，一般泰勒級數展開的傳統旅行時方程的計算會變得不準確，如何改善這種情況一直是研究的重點?；诖?，本文以一般泰勒級數P波旅行時方程為基礎，將兩次系數匹配方法與參數整合處理相結合，提出了適用于VTI介質的旅行時計算新方法，并通過模型和實際地震數據的測試與分析證明該方法的優勢，為旅行時計算研究提供新思路。

1 理論方法

1.1 偏移距四階旅行時計算公式

基于泰勒級數展開的旅行時與偏移距之間的一般P波近似形式可表示^{[4， 16-17]}為

其中，

式中：t₀為雙程旅行時；x為偏移距；v_n為正常時差（normal moveout， NMO）速度；S₂為非均質性參數，與各向異性參數η^[7]的關系為S₂=1+8η。

Ursin等^[4-5]為了提高P波旅行時計算的準確性，根據Alkhalifah等^[3]提出的計算公式，利用方程（1）的偏移距六階項提出一種偏移距四階旅行時計算公式^[4]：

其中，

式中，S₃為非均勻性參數。

由于S₃不能直接從地震數據中估計，所以參數S₃與S₂的近似關系可以通過垂直慢度平方公式與聲學近似理論^[5]得出：

1.2 基于系數匹配與參數整合處理的旅行時計算方法

在方程（3）的推導過程中，Ursin等^[4-5]利用一次系數匹配法來處理偏移距的六階項，將方程的最高階近似為一般的偏移距四次方項。按照這個思路，可以做進一步處理。為了避免推導更為復雜的偏移距系數和非均勻性參數的近似關系，同時不局限于泰勒級數旅行時方程的高階近似形式，我們以式（3）引入六次方項的處理方式為基礎，目前僅將式（1）中偏移距的階數提高到八次方來嘗試提高最終旅行時的計算準確性。若保持偏移距的最高階數與方程（1）相同，那么系數c₂、c₃和c₄可以利用兩次系數匹配方法進行處理。

首先，將方程（1）寫為偏移距最高階為八次方項的截斷形式：

其中：

根據方程（3）的形式，在方程（6）的基礎上利用一次系數匹配方法來處理系數c₃和c₄，并省略式（6）中偏移距的八階項，可以得到：

其中，

式中，S₄為非均勻性參數。

在得到式（8）后，按照同樣的處理思路能夠寫出最終的表達式：

式（8）中引入了參數b₁，在一定程度上并不適合直接近似處理式（8）中的偏移距六次方項?；诖?，可以繼續使用系數匹配方法處理系數c₂和c₃，得到間接參數b₂：

為了優化參數b₁、b₂在旅行時方程應用中的結構，可在式（11）的基礎上通過參數整合得到參數B的新形式，即

B=b₁·b^-1₂。??? （12）

對于式（12），根據垂直慢度平方公式與聲學近似理論^[5]能夠得到非均勻性參數S₄與S₂的近似關系：

然后，將式（5）（13）代入到式（9）（11）中，再利用S²₃近似替換S³₂來區別直接簡化的形式，即可得到化簡后的參數b₁、b₂：

最后，將式（12）（14）帶入式（10）中，就能夠得到基于兩次系數匹配與參數整合（twice coefficient matching and integration， TCMI）的P波旅行時平方公式：

2 實驗結果

2.1 模型結果對比

文中使用深度為4 km、偏移距為10 km的水平層狀模型（圖1），具體參數如表1所示。

誤差實驗的對比方法為：基于兩次系數匹配與參數整合的方法、擾動理論近似方法^[8-9]、擴展的廣義時差近似方法^[1]以及三階有理近似方法^[15]，分別記為TCMI、PT（perturbation theory）、EGMA（extended generalized moveout approximation）、RA（rational approximation）。驗證4種方法的評價指標為參數方程^[1]計算出的P波準確時間。

其中：

式中：x（p）為參數方程計算出的偏移距；t（p）為參數方程計算出的P波準確時間；p為射線參數；t_0，i、v_n，i、η_i分別為每層的旅行時、NMO速度與各向異性參數^[16]。計算誤差^[16]為

式中，t_x為P波旅行時計算值。

2.1.1 均勻層狀VTI介質模型

對于均勻層狀VTI介質模型，通過式（18）計算得出的誤差曲線如圖2所示。在整體偏移距上，PT方法與RA方法的計算誤差較大，與PT、RA方法相比，TCMI方法具更小的計算誤差。當偏移距為0～8.6 km時，TCMI方法的誤差小于EGMA方法；當偏移距為8.6 km時，TCMI方法與EGMA方法的誤差曲線趨向重合；當偏移距大于8.7 km時，EGMA方法的誤差為4種方法中最小。在遠偏移距10 km處：PT、RA、TCMI和EGMA方法的誤差分別為2.34%、1.63%、1.33%、0.95%；與PT、RA方法相比，TCMI方法的計算精度分別提高了1.01%、0.30%，相比于EGMA方法，計算精度降低了0.38%。綜上可知：在均勻層狀各向異性介質中，TCMI方法在偏移距0～8.6 km范圍內具有較小的誤差，在偏移距8.6～10 km范圍內的誤差僅小于EGMA方法。

2.1.2 非均勻層狀VTI介質模型

非均勻層狀VTI介質模型的誤差曲線如圖3所示。在圖3中：TCMI方法與其他3種方法的計算誤差相比仍然較??；由于RA方法與PT方法計算誤差的差值較為接近，會出現視覺上的重合，實際上PT方法的誤差更大。在遠偏移距10 km處：PT、RA、EGMA和TCMI方法的誤差分別為5.74%、5.73%、5.03%、1.83%；與PT、RA和EGMA方法相比，TCMI方法的準確性分別提高了3.91%、3.90%、3.20%。綜上可知：在非均勻VTI介質中，TCMI方法在整體以及遠偏移距處均具有更小的計算誤差。

2.2 實際地震數據結果對比

VTI介質是一種能夠近似表示成具有水平層狀的周期性薄互層介質，在實際地震數據中較為常見。實驗對比使用的某研究區三維垂直地震剖面（3D vertical seismic profile， 3D VSP）數據同樣具有類似性質，其檢波器共160級，觀測深度為275.84～2 700.00 m。

在實際地震數據驗證中，使用孫祥娥等^[18]提出的時差對比方法，即將3D VSP的初至時間作為衡量標準，通過時差判斷旅行時公式的表現。時差分析方法如下：

t_d=t_x-t_fb。??? （19）

式中：t_d為時差；t_fb為初至時間。

2.2.1 方法適用性

針對實際數據的研究重點，以深度1 784.76 m的實驗結果為例，初至時間如圖4所示。TCMI方法通過式（19）計算出的時差結果如圖5所示。由圖5可知：偏移距1 500 m之后的時差并未保持相對水平，而是出現向下彎曲的情況。

基于彎曲情況以及分析TCMI方法的組成，發現：該情況是由整合處理得到的參數B（式（12））造成的。式（12）的提出主要基于兩點考慮：一是Ursin等^[4-5]提出的分式結構的思想；二是以模型結果為導向。為了使TCMI方法更好地應用于實際數據，基于以上兩點考慮，此時應動態調整參數B的組合形式：

B=b₂·b^-1₁。??? （20）

此時，TCMI方法計算出的時差如圖6所示。由圖6可看出，調整參數后的時差結果相對水平，與圖5差異明顯;說明調整參數后的TCMI方法能夠應用于實際地震數據中。

基于模型與實際數據的結果，此時可將參數B稱為動態參數，這為后續將TCMI方法優化為自適應的形式奠定了基礎。

2.2.2 方法對比

EGMA、RA、PT方法和調整參數后的TCMI方法通過式（19）計算出的時差對比結果如圖7所示。由圖7可看出：TCMI方法與經典方法，即EGMA、RA、PT方法，計算出的時差均在一定范圍內，說明調整參數后TCMI方法有效。

為了區分TCMI方法與其他3種方法的差別，我們計算了EGMA、RA、PT方法時差與TCMI方法時差的差值，結果如圖8所示。分析圖8可知：TCMI方法與EGMA、RA、PT方法的時差之差均較小，但在中偏移距500～2 500 m范圍內，因TCMI方法具有較大的時差計算值，所以EGMA、RA、PT方法與TCMI方法時差差值曲線會出現小于0的情況；而在遠偏移距，即大于2 500 m時，TCMI方法的計算值較小，可知該方法在該范圍具有優勢。對于其他3種方法，在中偏移距范圍內，EGMA方法與RA方法的差值較小，均與PT方法的差值較大；在遠偏移距范圍內，EGMA方法的優勢大于RA和PT方法，PT方法的表現一般。

3 討論

本文在利用含有八次方項的旅行時公式推導出一種新的旅行時計算方法。在此基礎上，還可以將偏移距的階數提高多少是需要思考的^[17]，是否仍能使用類似的處理方法也是需要著重研究的。在計算P波旅行時的時候，還可以通過計算模型空間中每一點的到時來分析每一點到時的誤差分布。在實際數據的實驗中，我們提出了與模型試驗中形式不同的參數B。這兩種形式使得TCMI方法更加豐富且完善，為后續將其優化為自適應的計算方法奠定了基礎。另外，與射線追蹤方法相比，旅行時公式仍存在一定不足，所以，研究旅行時公式應集中在它的應用上，如相關參數的反演^[19]或成像^[20-22]。使用哪種公式進行分析需要重點分析，對于TCMI方法，還可以嘗試聯合其他旅行時公式同時對數據進行分析，這是一個可以深入研究的方向。

4 結論

該研究基于一般的偏移距八階旅行時計算公式，利用系數匹配方法得到了處理高階項后的參數b₁、b₂，然后利用參數整合、垂直慢度與聲學近似理論，結合實際地震數據實驗得到了參數B的兩種形式，形成了基于兩次系數匹配與參數整合的P波旅行時計算方法，得到以下結論：

1）對于各向異性參數相同的層狀VTI介質，與擴展的廣義時差近似方法、三階有理近似方法相比，基于兩次系數匹配與參數整合的P波旅行時計算方法在遠偏移距10 km處的計算精度分別提高了1.01%、0.30%；相比于擴展的廣義時差近似方法，計算精度降低了0.38%。對于各向異性參數不同的VTI介質，與擴展的廣義時差近似方法、三階有理近似方法和擴展的廣義時差近似方法相比，準確性分別提高了3.91%、3.90%、3.20%。

2）對于3D VSP數據，通過調整參數B的形式，使基于兩次系數匹配與參數整合的P波旅行時計算方法適用于實際數據分析。通過實驗對比，基于兩次系數匹配與參數整合的P波旅行時計算方法在遠偏移距范圍內具有一定優勢。

3）基于兩次系數匹配與參數整合的P波旅行時計算方法在模型與實際數據實驗中的表現說明，系數匹配與參數整合處理可以在提高旅行時計算準確性上起到重要作用，但在一定程度上也會影響方法的計算穩定性。

4）結合模型與實際數據實驗中的表現可知：基于兩次系數匹配與參數整合的P波旅行時計算方法可以成為分析旅行時的一種選擇。如何提高該方法的穩定性，以及將參數B的兩種形式更好地與方法結合中是下一步的研究重點。

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