數字圖像相關方法中基于改進IC-GN算法高精度形變測量研究

孫澤剛, 張 奎*, 蔣 強, 黎軍華

1. 四川輕化工大學機械工程學院, 四川 宜賓 644002; 2. 樂山師范學院電子信息與人工智能學院,四川 樂山 614000; 3. 樂山一拉得電網自動化有限公司, 四川 樂山 614000

數字圖像相關方法(digital image correlation method,DICM或DIC)[1,2]根據物體變形前后的散斑圖像,通過相關函數匹配散斑圖像最相似子集的位置來獲取物體的形變信息,也被稱為數字散斑相關方法(digital speckle correlation method,DSCM),由Peters等[3]和Yamaguchi[4]于20世紀80年代提出。因為其具有無損、非接觸性、低成本、對測量環境要求低等優點[5],DIC方法已在科學研究和工程實踐中得到廣泛應用,如土木工程[6]、航空航天[7]、工業制造[8]、材料科學[9]、自主駕駛技術[10]等。

在DIC方法中,提升測量精度的方法主要分為硬件和算法兩個部分,通過提升硬件設施和改善環境對精度的提高是有限的,同時伴隨著成本急劇增高、測量系統變得更加復雜,因此,從算法上提升精度成為了主要途徑。DIC算法主要包括兩個部分:整像素位移搜索和亞像素位移搜索。其中,亞像素位移搜索是影響DIC方法測量精度的主要因素。

在亞像素位移搜索研究方面,通常有梯度法、曲面擬合法等非迭代亞像素算法和灰度梯度迭代法、迭代曲面擬合法、前向加性牛頓-拉弗森迭代法(forward additive Newton-Raphson,FA-NR)[11]、反向組合高斯-牛頓迭代法(inverse composition Gauss-Newton,IC-GN)[12]等迭代算法。在2001年Zhou等[13]根據物體表面變形前后灰度值保持不變的原理,通過灰度梯度對亞像素位移進行測量,首次提出了基于梯度算法求解亞像素位移,并通過模擬散斑進行了驗證;在2003年Hung等[14]通過選定擬合窗口,根據參考子區和目標子區之間的相關系數峰值來確定亞像素位移,提出了二次曲面擬合法,通過求解二次曲面的最大值來確定峰值處的亞像素位移;2007年Meng等[15]提出了一種基于迭代法和空間梯度的算法,即灰度梯度迭代法;2021年李榮麗等[16]通過比較不同的擬合曲面提出了一種迭代曲面擬合法;1989年Bruck等[17]將FA-NR算法應用到DIC技術中,其基本原理是通過迭代計算求解相關函數的極大(小)值,從而確定亞像素位移的位置,具有很高的精度;2001年Baker等[18,19]提出了IC-GN算法,并證明了逆合成算法和前向加性算法是等效的,并且IC-GN算法解決了FA-NR算法在迭代期間大量重復計算的問題,大大提高了算法的計算效率。在這之后,Pan等[20]在2016年研究比較了FA-NR算法和IC-GN算法,通過理論誤差分析和數值模擬實驗對比,證明了IC-GN算法具有更好的抗噪能力和更高的測量精度。至此,IC-GN算法奠定了在亞像素搜索算法中的重要地位。為了進一步提高IC-GN算法的精準度和效率,本文在IC-GN算法基礎上,提出了一種基于灰度梯度的高斯-牛頓迭代法。

1 相關工作

1.1 理論基礎

數字圖像相關方法在測量物體形變大小時,通過在被測物體表面投影或繪制隨機散斑圖案,并定義相關函數,通過形函數描述形變前后的圖像中像素點的形變信息,對物體變形前后兩張圖像進行分析求解得出最大(小)相關系數,該位置即為目標點在形變后在圖像中的對應位置,其基本原理如圖1所示。

圖1 DIC基本原理示意圖

在數字圖像相關方法中,用形函數對圖像變形前后的各個像素點位置關系進行描述,表達式如下:

(1)

式中的參數記為

P=[u,ux,uy,v,vx,vy]

其中,u和v分別表示x方向和y方向的像素位移,Δx和Δy分別表示子區中坐標(x,y)到子區中心坐標(x0,y0)的偏移量;ux和uy分別是位移不同方向的梯度。由式(1)可以得到圖像變形前后對應點的關系為

(2)

(3)

在IC-GN算法中,零均值歸一化差平方和函數(zero-mean normalized sum of squared difference,ZNSSD)[21]是最常用的相關函數,優點是收斂快、抗噪聲、可靠性強等,表達式為

(4)

1.2 反向組合高斯-牛頓(IC-GN)算法

FA-NR算法在形變子區的圖像上對形函數參數進行迭代更新求出最優解,Jacobian向量和Hessian矩陣每次迭代需要重新計算,使得計算量非常大,導致算法效率大大降低;IC-GN算法提出了新的思想,通過增量改變參考子區,匹配到與參考子區最相關的形變子區,得到新的形函數參數,再進行迭代優化求出最優解,示意圖如圖2所示。

圖2 IC-GN示意圖

用Pre來表示參考子區的形函數參數,Pde表示形變子區的形函數參數,參考子區的各個像素點可以表示為

xi=x0+W(Δxix0,Pre)

(5)

(6)

在光照均勻,亮度一致且散斑隨機分布的條件下,可以對式(5)、式(6)化簡得:

(7)

(8)

2 改進IC-GN算法

在對Hessian矩陣化簡過程中,將式(6)的舍棄量記為A,則

(9)

式(9)由兩個無窮小量相乘組成,分別記為A1、A2,則

圖3 GIC-GN算法流程圖

GIC-GN算法主要分為三步,首先,由整像素搜索算法得到與參考子區對應的整像素位置;然后,根據圖像發生形變后圖像中各點的灰度值不變的原理,即

f(xi,yj)=g(xi′,yi′)

其中

xi′=xi+u+ Δx

yi′=yi+v+ Δy

u和v分別表示x和y方向的整像素位移,Δx和Δy分別表示x和y方向的亞像素位移,對g(xi′,yi′)進行一階泰勒展開得

g(xi′,yi′) =g(xi+u,yi+v)+gx(x+u,yj+v)Δx+gy(xi+u,yj+v)Δy

將其代入最小距離平方和函數:

使用Barron算子對圖像的梯度gx,gy進行計算,Barron算子表達式如下:

3 仿真實驗

為驗證GIC-GN算法能夠實現對物體形變信息的高精度測量,本文通過計算機生成不同形變量的模擬散斑圖像進行驗證分析。首先,通過Matlab生成一幅512×512像素大小的參考圖像,其散斑數量為2000,散斑大小為2 pixel,亮度為1。并通過設置參數生成了20幅從0.05～1 pixel形變量的參考圖像。為了確定子區大小對算法精度的影響,分別對21×21、31×31、41×41、51×51、61×61五種子區大小在形變量為0.3 pixel的情況下進行了驗證分析,為了保證實驗結果的可靠性,本文對一個大小為100×100的子區,步進長度為10 pixel的100個像素點進行了測量,表1為不同算法測量的誤差均值結果,表2為不同算法測量的標準差的結果,表3為不同算法測量所耗時間的結果。

表1 四種亞像素搜索算法的誤差均值結果

表2 四種亞像素搜索算法的標準差結果

表3 四種亞像素搜索算法的消耗時間

從表1、表2、表3可以看出,隨著子區的增大,算法的穩定性越來越高,所耗時間也隨之增加,結合精度與效率的影響,在子區大小為41×41時,算法精度變化比較明顯,此時GIC-GN算法相對常規的FA-NR算法和IC-GN算法精度提升了0.005 pixel,所消耗的時間僅僅是FA-NR算法的10.69%,是IC-GN算法的84.28%。

在確定所選子區大小后,本文對四種亞像素搜索算法從0.05～1 pixel形變量測量結果的誤差均值和標準差進行了比較分析,表4為四種亞像素算法測量的消耗時間,圖4表示四種亞像素搜索算法的誤差均值結果,圖5表示四種亞像素算法測量的標準差。

表4 四種亞像素搜索算法的消耗時間

圖4 四種亞像素搜索算法的誤差均值結果

圖5 四種亞像素搜索算法的標準差結果

從表4、圖4和圖5可以看出,FA-NR算法和IC-GN算法幾乎擁有相同的誤差和標準差,證明了FA-NR算法和IC-GN算法的等效性,而GIC-GN算法在精度和穩定度上比兩種傳統迭代方法都更加優秀,其均值誤差能夠穩定在10-4～10-3pixel,并且整個算法穩定性也能保持在10-3pixel,曲線相較于FA-NR算法與IC-GN算法更加平穩,同時在效率上相對IC-GN算法也有所提升。

4 結論

本文通過對IC-GN算法的原理介紹,提出了一種基于IC-GN算法的改進算法GIC-GN。通過分析Hessian矩陣計算過程中誤差產生的原因,在已知整像素初始位置的基礎上,使用梯度法求得亞像素位移代替整像素初始位置,減小Hessian矩陣計算過程中舍棄量過大產生的誤差,提高對物體形變的測量精度,加快算法的收斂速度,提升算法的效率。并通過軟件編程搭建了仿真實驗平臺,驗證了本文提出的GIC-GN算法的可行性和精度,實驗結果表明:GIC-GN算法精度比IC-GN算法提高了10%～60%,效率提高了20%。