基于熱彈流理論的球軸承膠合失效研究

敬賢旺, 孟凡明, 鞏加玉

(重慶大學 高端裝備機械傳動國家重點實驗室, 重慶 400044)

在高速、重載和潤滑不良等極端服役工況下，球軸承的滾動體和滾道接觸表面會因為高溫及潤滑失效導致局部膠合失效. 軸承發生膠合具有不可預測性，極短的時間內超載，球軸承就可能發生膠合，致使整個傳動系統功能失效. 因此，研究球軸承的膠合失效的機制具有重要的工程意義，尤其是對于服役于極端工況下的傳動裝置，如航空航海武器裝備中的燃氣輪機及減速器.

國內外學者針對膠合失效問題開展了廣泛的研究，Blok[1]于1937年首次提出了閃溫公式，該公式是建立在熱源恒速移動的假設之上，后來眾多學者對其進行了改進并形成了一系列齒輪膠合標準[2-3]. 例如，郭梅和賈晨帆等[4-5]比較了多種現行的齒輪膠合承載能力標準，發現不同標準之間的計算結果差異明顯. 此外，熱彈流潤滑理論也常被用為分析膠合失效的手段.Liu等[6]研究了考慮齒廓修形的斜齒輪齒面熱彈流閃溫分布特性. Pu等[7-8]基于熱彈流理論對混合潤滑條件下的螺旋錐齒輪膠合承載能力進行分析. 薛建華等[9]對比分析了齒輪嚙合線上熱彈流閃溫和Blok閃溫，發現由熱彈流理論計算得到的閃溫分布更符合實際情況. 同時，研究表明若接觸區中存在的較薄潤滑油膜無法將兩接觸表面有效隔開，也是導致其發生膠合失效的重要原因[10-13].

在上述研究中，有關于膠合失效的研究對象大多數為齒輪，而有關滾動軸承的膠合失效研究和判定準則還鮮有報道. 此外，以往膠合失效研究中很少有考慮乏油對膠合失效的影響. 因此，研究球軸承在乏油條件下的膠合失效及提出適用于球軸承的膠合判定準則是有必要的. 針對上述問題，以深溝球軸承6011為例，基于考慮乏油和非牛頓流體效應的熱彈流理論建立了適用于球軸承的膠合分析模型，獲得了溫度安全系數和膜厚安全系數在計算域中的分布，以此研究球軸承的膠合失效，并對2種系數求交集來確定球軸承滾道與滾動體之間的膠合發生具體區域. 本研究可為球軸承膠合失效的分析提供參考.

1 控制方程

球軸承在高速運行條件下，其離心效應往往使得滾動體與外滾道之間的接觸載荷大于與內滾道之間的接觸載荷. 故本文作者在研究球軸承的膠合失效時，以深溝球軸承的外滾道和最大受載滾動體之間的接觸為例進行分析. 首先，通過深溝球軸承擬靜力學和運動學分析獲得最大受載滾動體與外滾道之間的接觸載荷Q、圓周方向和寬度方向的綜合曲率半徑Rx、Ry和卷吸速度ue等參數，具體求解方法可見文獻[14-15].深溝球軸承的外滾道和滾動體之間的接觸問題可以等效為點接觸熱彈流潤滑問題. 以外滾道與滾動體的接觸中心為坐標原點o建立o-xyz坐標系，x軸為軸承外滾道的圓周方向，y軸為軸承外滾道的寬度方向，z軸為油膜厚度方向，a和b分別表示接觸橢圓的接觸半寬和接觸半長，xin(yin)和xout(yout)分別表示潤滑計算域中x(y)方向的入口和出口邊界，如圖1(a)所示. 圖1(b)和(c)所示分別為y=0截面上供油示意圖和接觸區的溫度場計算域示意圖.

Fig. 1 Ball-raceway TEHL model圖1 滾動體與外滾道點接觸熱彈流潤滑模型

1.1 Reynolds方程

本文作者旨在討論滾動體與外滾道之間的點接觸摩擦副在高速重載工況下的熱彈流潤滑性能，并據此分析發生膠合失效的機制. 由于潤滑油在高速重載工況下，通常表現出較強的非牛頓特性，故本研究中將使用Ree-Eyring型非牛頓流體模型來建立Reynolds方程，其表達式如下：

式中，ue和ρ分別為潤滑油的卷吸速度和環境密度，p為油膜壓力，h為滾動體與滾道之間的幾何間隙，Ree-Eyring型非牛頓流體的等效黏度其中η為潤滑油環境黏度，τ0和τe分別為潤滑油的特征剪切應力和剪應力模量，(ρ/η*)e和的表達式請參考論文[16].

式(1)中，θ為滾動體與滾道之間的部分油膜比例，其表達式為[17]

式中，hf為滾動體與外滾道之間的潤滑油實際膜厚. 圖1(b)表明了在乏油潤滑條件下，潤滑油只能部分填充入口區和出口區的幾何間隙，即hf

對于乏油潤滑條件下的Reynolds方程，還需要滿足補充條件[18]，即：

p(x,y)[1-θ(x,y)]=0，p(x,y)≥0, 0<θ(x,y)≤1 (3)

式中，θ和p可被看作2個相對獨立的變量，上述補充條件可以表達為[19]

此外，上式Reynolds方程還需滿足壓力邊界條件：

1.2 幾何間隙方程

接觸區考慮彈性變形的幾何間隙方程為

式中，hc表示剛體中心膜厚，Rx和Ry分別表示接觸副在xoz和yoz平面的綜合曲率半徑，E'為接觸副的綜合彈性模量，p(ξ,ψ)為在計算域中點(ξ,ψ)處的油膜壓力.

1.3 溫度場方程

目前接觸副的表面溫度主要采用Blok理論和熱彈流理論計算，當前以Blok閃溫為理論基礎形成的ISO標準[2]僅適用于齒輪. 對于考慮乏油效應的球軸承膠合失效分析，使用熱彈流理論計算軸承表面溫度場更為合適.

潤滑油的穩態能量方程為[6]

式中，c為潤滑油比熱容，k為潤滑油熱傳導系數，u和v表示潤滑油沿x和y方向速度，?u/?z和?v/?z分別表示潤滑油沿x和y方向速度梯度.

軸承外滾道與滾動體熱傳導方程分別為

式中，c1(c2)、ρ1(ρ2)、k1(k2)和T1(T2)分別表示外滾道(滾動體)的比熱容、密度、熱傳導系數和溫度.z1(z2)分別為外滾道(滾動體)沿膜厚方向坐標，其正方向與膜厚方向z的正方向保持一致，軸承外滾道與滾動體熱傳導方程溫度邊界條件分別為

式中，ht為潤滑油與外滾道(滾動體)的固液交界面至外滾道(滾動體)內部熱量滲透層深度，超過此深度后外滾道(滾動體)溫度不再受潤滑油溫度影響，且ht=3.15a[16]；T0為潤滑油入口油溫.

在潤滑油和外滾道與潤滑油和滾動體熱流交界面處，需滿足以下熱流連續方程：

具體地，將球軸承中外滾道、油膜和滾動體的溫度當作1個整體，溫度計算域可以寫為

1.4 膠合判定準則

1.4.1 溫度安全系數和膜厚安全系數

李紀強等[10]基于Bolk閃溫和Dowson-Higginson擬合公式，得到了齒輪副表面最高溫度和最小油膜厚度，并以此為基礎給出了漸開線圓柱齒輪的膠合損傷評判準則，但是該準則不能考慮乏油效應對膠合的影響. 并且，利用上述評判準則只能簡單判斷接觸體表面是否產生膠合，不能計算接觸體表面膠合失效的具體位置及膠合程度. 此外，目前尚未有關于球軸承的膠合準則被發現，為此，本文中基于乏油熱彈流理論的球軸承膠合分析模型計算得到滾動體與滾道接觸副的計算域的表面接觸溫度分布和實際膜厚分布，進而獲得用來表征膠合程度的溫度和膜厚安全系數在計算域的每個節點的分布，其表達式分別為

式中，SB(x,y)為溫度安全系數分布；Ts為軸承臨界膠合溫度，Castro等[20]通過試驗發現常用材料摩擦副包括齒輪、滾動軸承和凸輪-連桿機構的臨界膠合溫度與潤滑油在高溫下的臨界黏度相關聯，并擬合出摩擦副臨界膠合溫度Ts與潤滑油在40 ℃下的運動黏度的函數，即Ts=26.2ln(v40)，本文中使用的潤滑油在40 ℃下的運動黏度約為50.2 mm2/s，根據上式計算出軸承表面臨界膠合溫度102.6 ℃，該溫度也吻合文獻[21-23]中試驗得到的軸承鋼材料表面發生膠合的接觸溫度為95~110 ℃的結論；TB(x,y)取外滾道與滾動體中較高的表面溫度分布，由上述溫度場方程計算獲得.

式中，Λh(x,y)為膜厚安全系數分布；hf(x,y)為實際油膜厚度分布，Rq1和Rq2分別為外滾道和滾動體表面輪廓均方根偏差，使用白光干涉儀對外滾道與滾動體表面形貌測試，測試結果為Rq1=0.397 μm，Rq2=0.325 μm.

1.4.2 膠合集合域

根據上述定義的SB(x,y)和Λh(x,y)，本文中定義在計算域中滿足SB(x,y)＜1.0的物理域為ΩS(x,y)，其物理意義表示在ΩS(x,y)內滾道或滾動體表面溫度高于極限膠合溫度Ts；Λh(x,y)＜1.0的物理域為ΩΛ(x,y)，其物理意義表示在ΩS(x,y)內滾道與滾動體之間的膜厚比小于1.0，屬于邊界潤滑狀態，無法形成有效的油膜. 實際上，只有當滾動體與滾道表面既發生接觸其表面溫度又超過極限溫度，才會發生膠合[11,13]. 因此，高速重載條件下，如果計算域中同時存在物理域ΩS(x,y)和物理域ΩΛ(x,y)，且兩物理域存在交集域Ω(x,y)，則在交集域Ω(x,y)內，高于膠合臨界溫度的滾道與滾動體表面間因無法形成有效的膜厚將它們隔開而大面積接觸，進而造成軸承膠合. 基于以上對球軸承膠合失效機理的分析，提出的球軸承膠合判定準則如下：

式中，集合域Ω(x,y)為滾道/滾動體表面發生膠合的區域. 反之，如果ΩS(x,y)與ΩΛ(x,y)不存在交集，即交集為空集 ?，則判定不會發生膠合.

上述判定準則適用于判定球軸承是否會發生膠合失效. 除此之外，當SB(x,y)＜1.0 且Λh(x,y)≥1.0時，雖然接觸區存在有效的膜厚，但是由于接觸區溫升過高，嚴重時會引起游隙減小致使軸承卡死等失效[24].當SB(x,y)≥1.0 且Λh(x,y)＜1.0時，此時接觸區溫度尚未達到金屬微觀尺寸級別的摩擦-焊合-撕裂條件，不會發生膠合損傷[11-12]，但是出口區由于Λh(x,y)＜1.0形成的ΩΛ(x,y)內可能會發生微點蝕現象[11-12,25].

2 求解方案

基于熱彈流理論的球軸承求解方案如圖2所示，具體計算流程描述如下:

Fig. 2 Numerical calculation flowchart of TEHL scuffing analysis considering oil starvation圖2 考慮乏油效應的球軸承熱彈流膠合分析數值計算流程圖

步驟1. 輸入球軸承的結構，材料和工況參數，以及潤滑油的流變參數和設定入口油膜厚度.

步驟2. 基于擬靜力學分析，計算獲得球軸承外滾道和滾動體之間的接觸載荷，綜合曲率半徑和潤滑油的卷吸速度等參數[14-15].

步驟3. 基于FFT算法加速計算滾動體與外滾道之間的綜合彈性變形以獲得外滾道與滾動體之間的幾何間隙，同時計算潤滑油黏度和密度.

步驟4. 基于Jacobi線性迭代法和Elrod算法[19]求解考慮乏油效應的Reynolds方程(1)，獲得外滾道和滾動體之間的油膜壓力和部分油膜比例分布.

步驟5. 基于追趕法求解潤滑油能量方程(7)，熱傳導方程[(8(a~b)]，獲得滾動體、外滾道以及油膜溫度場分布.

步驟6. 檢查獲得的油膜壓力、部分油膜比例和溫度場是否分別滿足以下收斂準則：

步驟7. 檢查載荷是否滿足以下收斂準則：

式中，Fc為計算域中通過壓力積分計算得到的油膜承載力，載荷收斂精度εF取1.0×10-5，若收斂則繼續步驟8，若不收斂則用0.001的載荷松弛因子更新式(6)中的剛體中心膜厚并返回步驟3重新迭代計算.

步驟8. 基于式(12)和(13)計算得到用來表征膠合程度的溫度安全系數分布和膜厚安全系數，并根據膠合判定準則判斷該球軸承外滾道與滾動體表面是否發生膠合失效.

3 模型有效性驗證

球軸承的滾道與滾動體之間的膠合判定準則中的溫度安全系數與膜厚安全系數，主要取決滾動體與滾道表面接觸溫度與膜厚分布. 為驗證所建模型的正確性，在與文獻[17]相同工況下，對比本文中仿真與文獻[17]乏油情況下油膜厚度與接觸固體表面溫度. 對比驗證中，輸入的主要參數為入口區供油膜厚為0.9 μm，最大Hertz接觸應力為0.6 GPa，橢圓率為2.0，卷吸速度為1.13 m/s，滑滾比為1.0. 考慮到文獻[17]使用的是牛頓流體，故本模型中等效黏度η*將使用環境黏度η代替.

圖3 (a)給出了對比驗證中的滾動體和外滾道表面溫度. 2種處理得到的溫度整體變化趨勢一致，相較于文獻[17]，本文中得到的外滾道和滾動體的最高溫度T1,max和T2,max的相對誤差僅分別為0.31%和0.48%. 由圖3(b)可知，本模型的油膜厚度hf和部分油膜比例θ與文獻結果整體變化趨勢一致，最大誤差出現在入口區域與Hertz接觸區域的交界位置(約為x=-1.847a)，中心膜厚hf,central和最小膜厚hf,min的相對誤差僅為1.27%和3.0%. 造成上述誤差的原因或許是本模型利用FFT算法計算彈性變形，而文獻中利用多重網格積分法計算彈性變形.

Fig. 3 Contact body temperature, film thickness and fraction film content comparisons between simulated and reference for oil starvation圖3 乏油條件下仿真與文獻接觸體溫度，膜厚和部分油膜比例結果對比

為對比仿真得到的膜厚與真實的點接觸膜厚在二維空間上的分布特征，本研究使用TFM-150膜厚測試儀，進行了球盤接觸潤滑試驗，加載載荷Q=50 N(Hertz壓力pH=730 MPa)， TFM-150膜厚測試儀原理圖及儀器參數參見文獻[14]. 圖4(a)和(c)所示為TFM-150膜厚測試儀測得的不同卷吸速度下油膜厚度干涉云圖，圖4(b)和(d)所示為本模型仿真得到的油膜厚度分布云圖. 對比發現試驗與仿真得到的膜厚分布特征相似，整體均呈現經典的“馬蹄”狀，在y方向兩端有明顯的“耳垂(Earlobe)”現象，在x方向的出口區出現油膜“頸縮(Necking)”現象，且“耳垂”和“頸縮”現象隨卷吸速度增大而變得更為明顯.

Fig. 4 Film thickness comparisons between experiment and simulation at entrainment speeds圖4 不同卷吸速度下油膜厚度試驗與仿真結果對比

綜上，乏油條件下本文中模型的仿真與文獻結果吻合較好，并且仿真得到的膜厚二維分布與試驗測得膜厚干涉云圖形狀特征類似. 由此可見，本文中建立模型得到的溫度與膜厚分布結果作為球軸承膠合判定準則的參數是可靠的.

4 仿真結果與討論

由于軸承膠合往往發生在高速、重載和乏油的工況條件下，而軸承的離心效應會導致外滾道和滾動體之間的接觸載荷大于與內滾道的接觸載荷，故將重點研究不同入口油膜厚度、徑向載荷和內圈轉速對最大受載滾動體和外滾道之間的接觸表面膠合失效的影響. 該軸承內圈旋轉外圈固定，在軸承運轉時施加的徑向載荷Fr為25 kN，最大Hertz接觸壓力pH=3.73 GPa，內圈轉速Ni為25 000 r/min. 外滾道與滾動體的彈性模量均為207 GPa，泊松比均為0.29，材料密度均為7 829 kg/m3.根據球軸承擬靜力學分析，最大受載滾動體的接觸載荷為Q=8657.1 N，潤滑油卷吸速度ue=46.49 m/s，其他結構參數與潤滑參數列于表1中. 若無特殊說明，下述仿真結果均在上述參數下獲得.

表1 深溝球軸承6 011結構參數與潤滑參數Table 1 Structure and lubrication parameters of deep groove ball bearing 6 011

4.1 入口油膜厚度的影響

圖5 所示為不同入口油膜厚度hoil下溫度安全系數SB和膜厚安全系數Λh在球軸承接觸區的分布. 如圖5(a)所示，隨著hoil逐漸增大(乏油程度逐漸減弱)，SB<1.0的物理域ΩS的范圍縮小[圖5(a)]，這是由于供油量增加引起接觸區的油膜增厚，而較厚的油膜能帶走更多的熱量. 由圖5(b)可見，Λh<1.0的物理域ΩΛ的范圍隨著乏油程度減弱而縮減明顯，而充分潤滑條件下ΩΛ僅在出口區的油膜“頸縮”處有小范圍分布. 圖6給出了2種安全系數SB和Λh在計算域y=0截面的分布及其膠合區域.當軸承處于乏油潤滑時，接觸區存在膠合區域Ω[圖6(a)和(b)子圖]，而隨著hoil增加，SB和Λh逐漸增大導致Ω的面積縮小，區域中心的安全系數增加，膠合程度減輕.在充分潤滑狀態下[圖6(c)]，雖然接觸中心的溫度超過了發生膠合的臨界溫度(即ΩS存在)，但是在ΩS區域內滾動體與滾道沒有發生接觸(即ΩΛ不存在)，不會發生膠合. 因此，在對軸承進行膠合研究時，需要同時考慮溫度與膜厚的綜合作用. 上述現象也意味著在良好的潤滑條件下滾動軸承不會輕易發生膠合.

Fig. 6 Effect of inlet oil film thickness on bearing scuffing圖6 入口油膜厚度對軸承膠合的影響

4.2 徑向載荷的影響

圖7 給出了不同徑向載荷Fr下溫度安全系數SB和膜厚安全系數Λh在y=0截面的分布，其中圖7(a)和(b)的子圖表示接觸區的放大示意圖，圖7(c)和(d)的子圖表示膠合區域Ω. 如圖7(a)和(b)所示，當Fr=17.5 kN時，SB和Λh均大于1.0，且交集為空集；當Fr=20 kN時，由于SB<1.0的物理域ΩS出現在接觸中心位置，而Λh<1.0的物理域ΩΛ出現在油膜“頸縮”處，導致二者交集也為空集，這意味著球軸承在2種工況下均不會發生膠合，但是當Fr=20 kN時，由于在油膜“頸縮”處出現在ΩΛ出口區，可能會伴隨微點蝕現象的產生[25]. 當Fr=22.5 kN時，接觸區中心出現了SB和Λh小于1.0的交集區域Ω，且隨著Fr繼續增大，膠合區域面積擴大，接觸中心位置出現安全系數小于0.9的紅色區域，膠合程度進一步加劇，如圖7(c)和(d)所示. 產生上述現象的原因是，過大的徑向載荷使得大量潤滑油被擠出接觸區，導致潤滑油動壓效應減弱，油膜變薄進而引起Λh降低[圖8(a)].同時，過大的載荷也會引起油膜壓縮做功過多，導致外滾道表面溫度升高，引起SB降低[圖8(b)]. 因此減小軸承的載荷是提高軸承抗膠合承載能力的有效途徑.

Fig. 7 Effect of the radial load on ball bearing scuffing圖7 徑向載荷對球軸承膠合的影響

Fig. 8 Effect of radial load on temperature and film thickness safety factor圖8 徑向載荷對溫度和膜厚安全系數的影響

此外，本研究中仿真發現球軸承發生膠合的最大接觸應力為3.61 GPa [圖7(c)]，而文獻[26]在高速軸承鋼滑滾試驗中發現與球軸承接觸類型一致的橢圓接觸摩擦副表面發生膠合的極限接觸應力為3.5 GPa. 可以看出本研究的仿真結果與試驗觀測到的發生膠合的極限應力是大致吻合的，產生上述極限應力差異原因是文獻中滑滾摩擦副的滑滾比為0.15，而本研究中的滑滾比僅為0.05 (更符合球軸承實際情況)，過大的滑滾比會導致軸承表面溫升更高，在更小的極限應力下發生膠合. 這進一步說明了本文中模型的合理性.

4.3 內圈轉速的影響

圖9 (a~d)給出不同內圈轉速下溫度安全系數SB和膜厚安全系數Λh在y=0截面分布. 內圈轉速為17 500 r/min時[圖9(a)]，ΩS和ΩΛ的交集為空集，未發生膠合，但是出口區存在發生微點蝕的可能. 當轉速升高至20 000 r/min以上[圖9(b~d)]，接觸區開始出現膠合區域Ω，隨著轉速升高，膠合面積逐漸擴大，膠合程度逐漸加劇. 這是由于當內圈轉速升高時，一方面由于離心力增大引起的接觸載荷增加和油膜剪切作用增強(卷吸速度增大引起)，導致接觸區溫度升高，降低了接觸區的溫度安全系數SB[圖10(a)]；另一方面離心效應引起的接觸載荷增加也會導致接觸區的膜厚下降，進而降低了膜厚安全系數Λh[圖10(b)]. 對比圖10(a)和(b)可以發現，當內圈轉速由17 500 r/min升高至25 000 r/min，最小SB降低了8.3%，而接觸中心和最小Λh的相對降幅分別為4.95%和4.65%，可見，改變內圈轉速對SB的影響大于Λh，所以，高轉速工況下的軸承溫升過高是其膠合的主要原因.

Fig. 9 Effect of the inner ring speeds on ball bearing scuffing圖9 內圈轉速對球軸承膠合的影響

Fig. 10 Effect of inner ring speed on temperature and film thickness safety factor圖10 內圈轉速對溫度和膜厚安全系數的影響

此外，文獻[21]已發現在最大接觸應力為3.52 GPa下，當卷吸速度ue為32.9 m/s時，橢圓接觸摩擦副表面不會膠合；而卷吸速度ue為43.87 m/s時，摩擦副表面發生了膠合. 本研究仿真發現當軸承載荷為25 kN時(最大接觸應力3.73 GPa)卷吸速度為32.54 m/s時，軸承沒有發生膠合[圖9(a)]，而卷吸速度達到41.84 m/s時，接觸區出現明顯的膠合區域[圖9(c)]. 仿真與試驗結果的高度吻合，也佐證了本研究中所提出的球軸承膠合準則的合理性.

5 結論

a. 建立了基于熱彈流理論的球軸承膠合分析模型，通過與文獻和試驗結果對比，證明了該模型的有效性.

b. 提出了1種可考慮乏油潤滑影響的球軸承膠合判定方法. 該方法對溫度安全系數和膜厚安全系數小于1.0的區域求交集，據此可判定球軸承滾道與滾動體表面的膠合區域以及該區域的膠合程度.

c. 研究了入口油膜厚度對球軸承膠合失效的影響，發現入口油膜厚度主要通過影響球軸承滾動體和滾道之間的接觸區的膜厚安全系數，進而影響球軸承的抗膠合承載能力，而良好的潤滑條件能降低球軸承膠合失效的風險.

d. 研究了徑向載荷對球軸承膠合失效的影響，發現徑向載荷能影響球軸承滾動體和滾道之間接觸區的溫度安全系數和膜厚安全系數，過大的徑向載荷會造成球軸承膠合失效.

e. 研究了內圈轉速對球軸承膠合失效的影響，發現過高的內圈轉速會降低球軸承滾動體和滾道之間的接觸區的溫度安全系數，導致球軸承的抗膠合承載能力降低.