信道衰落下多智能體系統有限時間一致性控制

丁 勐,陳 蓓

(上海工程技術大學 電子電氣工程學院,上海 201620)

多智能體系統(Multi-Agent Systems,MASs)由多個帶有自治性的智能體組成,其目標是將復雜系統構建成易于管理、智能體之間能夠進行通信和協調作業的系統。隨著網絡通信與控制技術的不斷進步與融合,多智能體系統已經發展為復雜系統分析與模擬的重要思想方法與工具,研究內容涉及智能體的目標、技能、規劃以及讓智能體之間采取協調一致的行動來完成任務。近年來,多智能體系統在編隊控制[1]、水下協同控制[2]以及無人機集群控制[3]等領域得到了廣泛應用。

一致性問題[4-8]是多智能體系統中協同控制領域的基本問題。為解決多智能體系統一致性問題,學者們提出多種控制方法,包括預測控制[9]、自適應控制[10]、模糊控制[11]以及滑?？刂芠12]等。其中,滑?？刂茟{借對外界干擾和參數不確定性的強魯棒性,在多智能體系統一致性問題中得到了學者的廣泛關注[13-15]。文獻[14]研究有向拓撲網絡中二階多智能體系統的固定時間一致性跟蹤問題,針對雙積分器多智能體系統設計了滑模面并在其基礎上構造非線性一致性協議。文獻[15]針對機器人多智能體系統的一致性跟蹤問題提出了一種基于投影遞歸神經網絡的最優滑?？刂萍夹g。

在控制領域中,度是評價系統性能的一個重要指標。對于多智能體系統而言,實現有限時間一致性跟蹤具有顯著的實際意義。根據達成一致性的收斂速度,可分為漸進一致性[16]和有限時間一致性[17-19]。在文獻[20]搭建的多智能體系統中,當時間趨向無窮大時,一致性跟蹤誤差會根據設計的滑?？刂坡傻竭_指定的滑模面,然后沿著滑模面移動,最終收斂到0。與漸進一致性相比,有限時間一致性要求系統的狀態在有限時間內收斂到指定范圍。為確保有限時間一致性跟蹤,文獻[21]提出了一種分布式非奇異快速終端滑模方法來加快系統的收斂速度,并且給出了達到一致性的時間上界。

但是,上述工作大多基于理想的網絡通訊環境,即信息可以在智能體之間完整傳輸。實際上,在網絡通信下,不可避免地存在時滯和隨機干擾等因素的影響,難以保證理想的通信環境。近年來,信道衰落下多智能體系統的一致性問題開始受到關注。文獻[22]分別對不同數量智能體系統進行討論,建立信道衰落模型,根據固定拓撲下的仿真數據得到信道衰落對于多智能體系統一致性的影響。文獻[23]設計了一種分布式控制器以解決具有信道衰落現象的離散時間多智能體系統一致性問題。

本文針對信道衰落下二階多智能體系統的有限時間一致性控制問題,根據從鄰居智能體接收到的衰落數據得到一致性誤差函數,構造非奇異終端滑模面,提出一種有限時間一致性控制策略。在該策略作用下,誤差函數的狀態將在有限時間到達并保持在所設計的滑模面上,最終實現多智能體系統的有限時間一致性跟蹤。

本文采用的數學符號:Rn和Rm×n分別表示n維的歐式空間和m×n的實矩陣集,?表示Kronecker積,sgn(x)表示符號函數,符號|·|和‖·‖分別表示歐幾里得范數和向量范數,1N=[1,1,…,1]T,0N=[0,0,…,0]T。

1 問題描述

1.1 圖論基礎

1.2 系統模型

由一個領導者和N個跟隨者組成二階多智能體系統,其動力學模型為

(1)

其中,xi(t)∈Rm、vi(t)∈Rm、ui(t)∈Rm、fi(t)∈Rm分別為第i個跟隨者的位置、速度、控制輸入和擾動;x0(t)∈Rm、v0(t)∈Rm、u0(t)∈Rm、f0(t)∈Rm分別為領導者的位置、速度、控制輸入和擾動。

假設1假設式(1)中的干擾fi(t)和f0(t)滿足Lipschitz條件(干擾上界μ為Lipschitz常數)

‖fi(t)-f0(t)‖≤μ‖vi(t)-v0(t)‖

(2)

為了實現多智能體系統的有限時間一致性,定義第i個跟隨者的一致性誤差函數為

(3)

其中,ε1i(t)和ε2i(t)分別為跟隨者的跟蹤位置和速度誤差狀態變量;aij為鄰接矩陣A中的一個元素;領導者的度矩陣hi決定了領導者和跟隨者i之間是否有信息交互,hi>0說明跟隨者i可以接收領導者發送的信息。

將一致性跟蹤誤差簡化為緊湊形式

(4)

H?diag(h1,h2,…,hN)。

對式(4)求導得到

(5)

1.3 信道衰落模型

由于時滯、隨機噪聲等干擾因素的影響,信息在跟隨者之間傳輸不可避免地受到信道衰落影響?？紤]到追隨者之間傳輸信號的振幅大小可能受到隨機干擾,網絡信道可以視為具有增益的連續信道。

假設2本文考慮的信道衰落現象只發生在跟隨者的信息交互中,假設領導者和跟隨者之間的信息傳遞過程中不存在衰落現象。

考慮如下衰落模型

(6)

基于式(6)的信道衰落模型,推出式(3)為

(7)

其中,Λ1(t)?diag(0,φ12(t),…,φ1N(t)),…,ΛN(t)?diag(φN1(t),φN2(t),…,0)。

(8)

1.4 相關引理

引理1[24]如果有向圖G存在有向生成樹,則矩陣L+H可逆。

引理2Cp不等式:假設存在實數a、b和p,且p>0,則滿足

(|a|+|b|)p≤Cp(|a|p+|b|p)

(9)

其中,Cp的值滿足

(10)

(11)

其中,0<β<1,c>0。則非線性函數f(x)是局部有限時間穩定,并給出關于初始狀態x0的有限時間上界

(12)

2 主要結果

2.1 滑模面和滑?？刂坡稍O計

第i個智能體的滑模面函數設計為

(13)

其中,c和α均為標量且c>0,1<α<2。

將式(12)化簡為緊湊形式

(14)

(15)

根據式(5)和式(15),得到式(14)導數如下所示。

(16)

由于信道衰落現象,智能體之間無法進行正常的信息交互,第i個跟隨者無法從其他跟隨者處接收到準確完整的信息,則信道衰落下的滑模面函數為

(17)

將式(17)改寫為緊湊形式

(18)

設計滑?？刂破魅缦滤?。

(19)

本文提出了基于終端滑?？刂频挠邢迺r間一致控制算法。在此控制算法下,多智能體的跟蹤誤差量可以在有限時間內到達設計的非奇異終端滑模面上,并沿著滑模面趨于穩定,保證多智能體系統的有限時間一致性。

2.2 一致性和可達性分析

本文基于構造的非奇異終端滑?？刂坡?借助Lyapunov函數方法分析在信道衰落現象下多智能體系統的一致性和可達性。

定理1考慮多智能體系統在信道衰落下,滑?？刂破髂軌虮ＷC非奇異終端滑模面可達性。

證明構造Lyapunov函數

(20)

對式(20)求導得

(21)

根據式(19),得

(22)

由假設1,可知

‖f(t)-1N?f0(t)‖≤(‖fi(t)-1N?f0(t)‖),…,
(‖fN(t)-1N?f0(t)‖)≤
‖(μ‖vi(t)-1N?v0(t)‖),…,
(μ‖vN(t)-1N?v0(t)‖)≤
μ|‖(L+H)-1?ε2(t)‖

(23)

因此,由式(23)進一步推出式(22)如下所示。

(24)

對式(24)兩邊取數學期望,可得

(25)

根據上述關系式,代入式(25)可得

(26)

定理2考慮多智能體系統在信道衰落現象下,本文設計的滑模函數和滑?？刂坡赡軌虮ＷC多智能體系統的有限時間一致性。

證明構造Lyapunov函數

(27)

對其求導可得

(28)

當s(t)=0時,推出

(29)

根據式(29)和Cp不等式(引理2),有

(30)

由式(30),可得

(31)

3 仿真分析

由1個領導者和4個跟隨者組成二階多智能體系統,其中智能體之間的通信拓撲如圖1所示。

圖1 多智能體系統的通信拓撲Figure 1. Communication topolopy of MASs

在圖1中,實線表示跟隨者之間的信息交互方向,且不存在信道衰落現象,信息可以完整傳遞,虛線表示跟隨者之間的信息交互方向且存在信道衰落現象,信息傳遞過程中幅值衰減。假設智能體之間的鄰接權值為1。

根據跟隨者和領導者之間的拓撲結構可以得到該多智能體系統的鄰接矩陣A、領導者的入度矩陣B和拉普拉斯矩陣L。

領導者的控制輸入為u0=[cos(t),sin(t)]T,滑?？刂破髦械膮翟O計為c=1.0,k=0.1,α=1.5,擾動參數μ=0.1。領導者的初始位置和速度狀態量為x0=[10,-10]T,v0=[10,-10]T,跟隨者的位置和速度的初始值為:x1=[10,-2]T,v1=[20,-2]T,x2=[15,15]T,v2=[20,3]T,x3=[25,5]T,v3=[15,0]T,x4=[45,15]T,v4=[35,0]T。

仿真結果如圖2～圖5所示。其中,圖2為多智能體系統在指定的滑模面和滑?？刂坡上碌臓顟B軌跡曲線。從圖2可以看出,跟隨者(i=1,2,3,4)可以準確地跟蹤領導者,多智能體系統一致性達成。

圖2 多智能體的狀態軌跡Figure 2. State trajectories of the multi-agents

圖3和圖4分別顯示了每個跟隨者的位置誤差和速度誤差函數軌跡曲線。其中,上標e1iq和e2iq分別為第i個跟隨者的第q個狀態量的位置和速度誤差曲線。從圖3和圖4可以看出,位置誤差和速度誤差在有限時間內收斂。觀察跟隨者3和跟隨者4,可以看出其位置誤差和速度誤差函數軌跡在收斂的過程中動態性能差于跟隨者1和跟隨者2,這是由于在信道衰落現象的影響下,跟隨者3和跟隨者4只能接收跟隨者1和跟隨者2發送的衰落信息,而跟隨者1和跟隨者2可以接受領導者的準確信息。圖5為跟隨者的滑模函數s(t)狀態軌跡,其中,上標siq為第i個跟隨者的第q個狀態量的滑動變量曲線。其中,跟隨者3和跟隨者4的軌跡表明,雖然由于信道衰落影響下產生的震蕩現象影響了跟隨者3和跟隨者4一致性達成的收斂過程,但本文設計的分布式滑?？刂扑惴ㄈ阅芸朔诺浪ヂ鋵ο到y的影響,最終多智能體系統的有限時間一致性得以保證。

圖3 跟隨者的位置誤差(a)跟隨者1的位置誤差 (b)跟隨者2的位置誤差 (c)跟隨者3的位置誤差 (d)跟隨者4的位置誤差 Figure 3. Position error of the followers(a)Position error of the followers 1 (b)Position error of the followers 2 (c)Position error of the followers 3 (d)Position error of the followers 4

圖4 跟隨者的速度誤差(a)跟隨者1的速度誤差 (b)跟隨者2的速度誤差 (c)跟隨者3的速度誤差 (d)跟隨者4的速度誤差 Figure 4. Velocity error of the followers(a)Velocity error of the followers 1 (b)Velocity error of the followers 2 (c)Velocity error of the followers 3 (d)Velocity error of the followers 4

圖5 跟隨者的滑動變量(a)跟隨者1的滑動變量 (b)跟隨者2的滑動變量 (c)跟隨者3的滑動變量 (d)跟隨者4的滑動變量 Figure 5. Sliding variables of the followers(a)Sliding variables of the followers 1 (b)Sliding variables of the followers 2 (c)Sliding variables of the followers 3 (d)Sliding variables of the followers 4

4 結束語

本文針對信道衰落下的二階多智能體系統有限時間一致性跟蹤問題提出了基于滑?？刂频姆植际娇刂扑惴?。根據智能體的拓撲結構搭建了數學模型,基于誤差函數設計一致性協議將系統的一致性問題轉化為誤差系統的穩定性問題。在此基礎上,構造合適的Lyapunov函數,證明了滑模面有限時間可達性和多智能體系統的穩定性。最后,通過仿真實驗可以看出該多智能體系統能夠達成一致性,且過程中各智能體的動態性能存在顯著差異,這是由信道衰落現象所引起的。