一類具梯度項的分數階橢圓方程解的存在性

潘 柔,陳 林

(1.伊犁師范大學數學與統計學院,新疆 伊寧 835000;2.伊犁師范大學應用數學研究所,新疆 伊寧 835000)

0 引言

分數階橢圓方程在連續介質力學、種群動力學和博弈論等學科中具有廣泛的應用[1-2].近年來,對具有解的梯度項的橢圓方程的研究受到了學者們的普遍關注,同時得出了豐富的結論[3-4].因為具有解的梯度項的橢圓方程往往不具有變分結構,因而經典的變分法和臨界點理論不能直接使用,這是此類方程求解的難點所在.一些學者通過上下解、不動點理論和逼近的方法研究了方程解的存在性[5-6]. DWIVEDI等[7]運用De Figuereido提出的一種變分方法,將不可變分的問題變分化,再結合山路定理與迭代方法證明了橢圓方程:

變號解的存在性.受文獻[7]和[8]的啟發,本文研究以下分數階橢圓方程的邊值問題:

(1)

函數V與f滿足如下假設條件:

μ{(x∈RN:V(x)≤M}<+∞,

其中,V0為常數;

(V2)V(x)是周期為1的連續函數,即對?y∈ZN,?x∈RN,V(x+y)=V(x);

(f1)對?z<0,?ξ∈RN,f(z,|ξ|p-2ξ)=0;

(f2)對?ξ∈RN,當|z|→0時,|f(z,|ξ|p-2ξ)|=o(|z|p-1);

(f5)存在正數a1與a2使得對?t>0,?ξ∈RN,有F(t,|ξ|p-2ξ)≥a1tθ-a2;

(f7)對?z1,z2∈[0,ρ1]與?|ξ|≤ρ2有

|f(z1,|ξ|p-2ξ)-f(z2,|ξ|p-2ξ)|≤L1|z1-z2|p-1,

對?z∈[0,ρ1]與?|ξ1|, |ξ2|≤ρ2有

|f(z,|ξ1|p-2ξ1)-f(z,|ξ2|p-2ξ2)|≤L2|ξ1-ξ2|p-1,

這里的ρ1與ρ2依賴于條件(f3)(f4)所給的q和θ.

注1 本文主要定理的證明將用到RN中的標準不等式,即

這里〈·,·〉是RN中通常的內積.

主要結果如下:

1 預備知識

基于迭代技巧,構造與問題(1)相關的一類不依賴于解的梯度項的分數階橢圓邊值問題.即,對?w∈Xs(RN),研究問題:

(2)

此時該問題具有變分結構可以使用變分法.

設s∈(0,1),對分數階Sobolev空間Xs的定義如下[9]:

(3)

對?u∈Xs,在空間Xs上賦予范數:

(4)

定義1 若對任意的φ∈Xs,有

成立,則稱u∈Xs為問題(2)的弱解.

設問題(2)的歐拉泛函Jw:Xs→RN,具體定義為:

(5)

易知泛函J∈C1(Xs,R),Jw的Gateaux導數為:

Jw的臨界點就是問題(2)的弱解.

下面證明能量泛函Jw具有山路定理的幾何結構.

引理1 設w∈Xs,則存在正數ρ與α(獨立于w),使得對?u∈Xs,當‖u‖=ρ時,有

Jw(u)≥α>0

成立.

證明 由(f2)～(f3)可知,給定ε>0,存在一個正常數Cε(獨立于w),使得

由Sobolev嵌入定理,可得

因為p

引理2 設w∈Xs,固定v0∈Xs,‖v0‖=1,則存在T>0(獨立于w),使得對?t≥T,有

Jw(tv0)≤0

(6)

成立.

證明 由(f5)與Sobolev嵌入定理,有

因為θ>p,從而存在一個充分大的T(獨立于v0與w),當t≥T時,有(6)式成立.

該引理的證明可由集中緊性原理得出,類似于文獻[10]中的引理2.2的證明.下證問題(2)正解的存在性.

引理5 假設條件(f1)～(f6)成立,則對?w∈Xs∩C1(RN),問題(2)至少有一個正解uw.此外,存在正數ρ1與ρ2(獨立于w),使得‖uw‖C0≤ρ1與‖?uw‖C0≤ρ2.

證明 由引理1與引理2可知,能量泛函Jw符合山路幾何結構,再根據Ambrosetti與Rabinowitz的沒有PS條件的山路定理[11],可知存在一個序列{un}?Xs滿足:

Jw(un)→cw,J′w(un)→0,

由(f4)可知,

C4‖un‖p≤cw+‖un‖.

因此,對?φ∈Xs,有J′w(uw)φ=0.

首先假設uw不恒為零,由(f1)可知uw≥0,由Harnach不等式[15]可得,對?x∈RN,uw>0. 此外,與文獻[16]中的討論類似,存在正常數ρ1,ρ2(獨立于w),使得‖uw‖C0≤ρ1,‖?uw‖C0≤ρ2.

若uw≡0,則存在序列{yn}?RN,α,R>0使得:

(7)

引理6 設w∈Xs,則存在正常數K1(獨立于w),使得由引理5得到的解uw,有‖uw‖≥K1成立.

證明 因為uw不恒為零,且由(f2)與(f3)可知,

(1-C5ε)‖uw‖p≤C6Cε‖uw‖q,

即

引理7 設w∈Xs,則存在一個正常數K2(獨立于w),使得由引理5得到的解uw,有‖uw‖≤K2成立.

證明 由(f6)可知,

由引理2中的v0與(f5)可得:

再由(f4)可得:

因此,

2 正解的存在性

定理1的證明構造一個序列{un}?Xs,是

(8)

由(9)減(10)可得:

根據條件(f7)與注1可估計上述積分如下:

由H?lder不等式可得:

因為K<1,從而由Banach不動點定理可知,{un}強收斂于u,u∈Xs,且對?n,‖un‖≥K1,故u>0.這樣就得到了問題(1)的一個正解,則定理1得證.