劉何熠,劉保慶
(南京財經大學應用數學學院,江蘇 南京 210023)
無界區域上的數值求解問題一直備受關注,目前已有多種求解方法,如自然邊界元方法[1-2]、自然邊界元與有限元耦合法[3-5]、區域分解算法[6-8],這些算法有各自求解的適宜區域.李天然[9]提出了多子域求解非重疊區域分解算法,避免了因求解區域過多使求解結果過程過于復雜的問題,具有一定的研究意義.本文應用文獻[9]提出的方法,通過詳細的理論分析和證明過程,說明該方法對于解決無界凹角區域上各向異性問題的可行性.
設Ω是具有角度β(0<β≤2π)的無界凹角區域.?Ω表示凹角區域邊界,由互不重疊的Γ0,?!?,?!?三部分組成.
現考察各向異性橢圓微分方程的混合邊值問題:
(1)
設b>a>0,求解區域Ω是中心在原點、半徑為R的帶有凹角β的圓的外部.
于是,區域Ω,Γ0,?!?,?!?描述如下:
Ω={(r,θ)|r>R, 0<θ<β},
Γ0={(r,θ)|r=R, 0<θ<β},
?!?={(r,θ)|r>R,θ=0},
?!?={(r,θ)|r>R,θ=β}.
其中,(r,θ)為極坐標,其與直角坐標(x,y)的關系為x=rcosθ,y=rsinθ.
于是關于ξ,η的橢圓邊值上的調和方程的混合邊值問題如下:
(2)
引入橢圓坐標(μ,φ),其與直角坐標(ξ,η)的關系為:
ξ=f0coshμcosφ,η=f0sinhμsinφ,
由自然邊界元理論可知[10],該問題在橢圓坐標下的Poisson積分公式為:
(3)
該問題在橢圓坐標下的自然積分方程為:
(4)
引入人工圓邊界,將無界區域Ω分裂成互不重疊的m個子域,此時有界區域Ωi(i=1,2,…,m-1)和無界區域Ωm具體描述如下:
Γi={(Ri,θ)|0<θ<β},Rm-1>Rm-2>…>R1>R,
?!鋓={(r,θ)|θ=0,Ri-1 ?!錳={(r,θ)|θ=β,Ri-1 ?!鋗={(r,θ)|θ=0,r>Rm-1},?!錷={(r,θ)|θ=β,r>Rm-1}, Ωi={(r,θ)|Ri-1 Ωm={(r,θ)|r>Rm-1, 0<θ<β}. 下面構建Dirichlet-Neumann(D-N)交替算法: 步驟2 在Ωm上解Dirichlet外問題: (5) 步驟3 在Ωi(i=2,…,m-1)上解混合邊值問題: (6) 步驟4 在Ω1上解決混合邊值問題: (7) 步驟5 在Γi(i=1,2,…,m-1)上輸入松弛因子θk,令 (8) 步驟6 令k=k+1,轉至步驟2. 上述問題(7)相對應的變分形式為: (9) 其中, 問題(6)的變分形式與問題(7)的變分形式類似,從而得到下面離散形式的D-N交替算法: 步驟2 在Ωm上解Dirichlet外問題: (10) 步驟3 在Ωi(i=2,…,m-1)上解決離散化問題: (11) 步驟4 在Ω1上解決離散化問題: (12) 步驟5 在Γi(i=1,2,…,m-1)上輸入松弛因子θk,令 (13) 步驟6 令k=k+1,轉步驟2. D-N交替法離散化的迭代過程可以寫成如下形式: (14) 及 (15) 式(14)左邊的三階分塊矩陣是由區域Ωj上有限元得到的,Bj可以通過自然邊界元在Γj上求得. 為了分析多子域D-N交替算法的收斂性,先給出下面的等價性定理. 定理1 多子域的離散的D-N交替法(14)~(15)與如下式(16)的迭代法等價: (16) 其中, 證明 設(Uj,Uij,Uj-1)T是下面方程組的解: (17) 對上述分塊矩陣進行初等行變換得到: 即 將式(17)改寫成: 再與式(14)相減,得到: (18) 利用分塊矩陣的初等行變換可得到: 從而可以得到: (19) 定理2 若選取θk=θ(k=0,1,2,…),則存在一個與有界區域Ωj(j=1,2,…,m-1)上的有限元網格參數h無關的常數σ(0<σ<1),使得當0<θ<σ時,預處理Richardson迭代法(16)是收斂的.又因多子域D-N交替算法與預處理Richardson迭代法的等價性,可以推出(14)~(15)收斂,并且收斂速度與h無關. 證明 由式(16)可得 用‖·‖2表示矩陣的譜范數或向量的2范數,則有 (20) 其中, (21) 綜上所述,預處理Richardson迭代法是收斂的,從而離散的多子域D-N交替算法收斂,并且收斂速度與網格參數h無關.2 多子域D-N交替算法的變分及離散形式
3 多子域離散D-N交替算法的收斂性