乘型模糊判斷矩陣排序向量的遞推方法

何 霞，杜迎雪，劉衛鋒

（鄭州航空工業管理學院 數學學院，河南 鄭州 450046）

在決策過程中，人們對方案或元素的重要性進行兩兩比較，并進行量化時，往往采用判斷矩陣這一行之有效的工具。然后，通過各種方法求出判斷矩陣的排序向量，并依靠排序向量分量值的大小實現方案或元素的優劣排序。目前決策中最常用的判斷矩陣有兩種，一種是互反判斷矩陣［1］，一種是模糊判斷矩陣（或稱為互補判斷矩陣）［2-3］，由于后者在表示方案或元素兩兩重要性比較的結果上更加科學合理，而且具有許多良好的性質，尤其是它的中分傳遞性與人類思維判斷的一致性相符合［3-4］，因此在決策過程中，其更加符合人們的心理習慣，當然也更容易為決策者掌握和應用。近年來，關于模糊判斷矩陣排序方法的研究已經取得了豐碩的成果。從判斷矩陣的一致性的角度來考慮，上述研究成果大致可分為兩類：一類是滿足加型一致性的模糊判斷矩陣的排序方法，如文獻［5-19］；另一類是滿足乘型一致性的模糊判斷矩陣的排序方法，如文獻［20-28］。

在上述研究的基礎上，我們繼續研究滿足乘型一致性的模糊判斷矩陣的排序方法。由于模糊判斷矩陣上三角元素和下三角元素互補，即rij+rji= 1，因此只要知道上三角元素（或下三角元素）就可以知道下三角元素（或上三角元素），故而在求解模糊判斷矩陣的排序向量時，只需要知道上三角元素（或下三角元素）就可以了?？紤]到模糊判斷矩陣的乘型一致性以及矩陣元素和權重之間的關系，我們結合模糊判斷矩陣的上三角矩陣元素，構建一個關于權重和矩陣上三角元素的方程組，證明了該方程組存在唯一的正解，并指出方程組的證明過程就是模糊判斷矩陣排序向量的求解過程，從而給出了乘型一致性模糊判斷矩陣的排序向量的一種遞推方法。然后，考慮到模糊判斷矩陣并不總是滿足乘型一致性的，為此通過引入偏差項和偏差函數，通過構造并求解一個優化模型，求出了非乘型一致性模糊判斷矩陣的排序向量，結果發現，其解的形式與乘型一致性模糊判斷矩陣遞推方法得到的排序向量完全一樣。最后，通過實例以及相關方法對比說明所提出的排序向量的遞推方法是可行的和有效的。

1 基本概念

定義1[4]設矩陣R=(rij)nn，若0 ≤rij≤1，則稱矩陣R是模糊矩陣。

定義2[4]設矩陣R=(rij)nn為模糊矩陣，若rij+rji=1，i,j= 1,2,…,n，則稱矩陣R是模糊判斷矩陣。

考慮到人們在對方案或準則進行兩兩判斷時，常常使用0.1—0.9 標度，同時考慮到我們在相關內容的推導過程中，rij常常出現在分母上，為此，我們約定下面涉及的模糊矩陣其標度均為0.1—0.9標度。

定義3[29-30]設R=(rij)nn為模糊判斷矩陣，若rik rkj rji=rki rjk rij,i,j,k= 1, 2,…,n，則稱R是乘型一致性模糊判斷矩陣。

定理1[28]設R=(rij)nn為乘型一致性模糊判斷矩陣，w=(w1,w2,…,wn)T是R的排序向量，則rij=

2 乘型一致性模糊判斷矩陣排序向量的遞推方法

設R=(rij)nn為乘型一致性模糊判斷矩陣，w=(w1,w2,…,wn)T是模糊判斷矩陣R的排序向量，由于rij+rji= 1，故我們只考慮該矩陣的上三角元素構成的矩陣即可，為此令A=(aij)nn，其中并稱A為R的上三角矩陣。

考慮上三角矩陣A的第2 列以及乘型一致性，有從而有w1=a12w1+a12w2，即有

考慮上三角矩陣A的第3 列，則有a13=從而得到和和，將這兩個等式左右分別相加，得到

考慮上三角矩陣A的第4列，則可得到

依次類推，考慮上三角矩陣A的第n- 1列，則可得到

考慮上三角矩陣A的第n列，則可得到

由于w= (w1,w2,…,wn)T是模糊判斷矩陣R=(rij)nn的排序向量，故有

將上述n個等式放在一起形成一個方程組，該方程組可以寫成一個矩陣形式Mw=e，其中

定理2方程組Mw=e存在唯一的正解。

證明：先證方程組的解是唯一的，為此只需證明系數矩陣M對應的行列式不為零即可。

觀察該系數矩陣M對應的行列式。從行列式的倒數第2 行起，每行乘以-1 后加到下一行，則行列式的值為由于aij＞0，故則系數矩陣M非奇異，因此方程組存在唯一解。

然后，證明方程組的解是正的。

考慮方程組的第n- 1個方程，則有

等式兩端同時加上wn，則可以得到

由于0.1 ≤akn≤0.9,k= 1,2,…,n- 1,所以wn＞0。

考慮方程組的第n- 2個方程，則有

等式兩端同時加上wn-1，則得到

即有

從而得到

同樣，由于0.1 ≤akn≤0.9，k= 1,2,…,n- 2,wn＞0，所以wn-1＞0。

假設已經求出wi,wi+1,…,wn，并設

現在求出wi-1。為此，考慮方程組的第i- 2 個方程，則有等式兩端同時加上wi-1，則得到

即有

從而得到

綜上所證可知方程組的解是正的。

注1由于定理2 中排序向量的求解，是從wn開始，依次迭代遞推出wn-1,…,w2,w1，因此我們不妨稱此方法為排序向量的遞推方法。

注2定理2 不僅從理論上保證了排序向量遞推方法的正確性，而且證明過程也告訴了我們如何利用該方法求解排序向量。

注3為了求解方便，將求出的wi依次代入wi-1，可以直接利用模糊判斷矩陣的上三角元素來表示排序向量，即

為了表示方便，令

3 非乘型一致性模糊判斷矩陣排序向量的遞推方法

當模糊判斷矩陣滿足乘型一致性時，我們可以利用遞推方法得到排序向量，但是由于人類思維的不一致性，決策者給出的模糊判斷矩陣往往是不一致的，此時應該如何得到其排序向量呢？

當模糊判斷矩陣R=(rij)nn具有乘型一致性時，已知或者wi=Ni，而當R不具有乘型一致性時，wi=Ni往往是不成立的，于是可以引入偏差項，即令fi=wi-Ni，并構造偏差函數F(w) =顯然，F(w)越小越好，因此應該找到合理的排序向量w，使得偏差函數取最小值。由此求出的排序向量方法也稱為模糊判斷矩陣排序向量的遞推方法。

定理3設R=(rij)nn為模糊判斷矩陣，A=(aij)nn為R的上三角矩陣，則由排序向量遞推方法得到的排序向量w=(w1,w2,…,wn)T滿足

證明：建立規劃模型

為了求解上述規劃模型，構造Lagrange函數

將上述方程組中的前n個方程相加，可得聯合方程組中第n+ 1 個方程可得考慮到則得到λ= 0。將λ= 0 分別代入方程組的前n個方程，得wj=Nj-λ=Nj，j= 1,2,…,n。即證明該定理。

注4事實上，在定理3證明中建立的規劃模型的目標函數以及Nj是常數可知，使目標函數達到最小的解一定是wj=Nj，即該規劃模型的解直接通過觀察也可以得到。

注5定理3 說明，無論乘型模糊判斷矩陣是一致性的還是非一致性的，利用遞推方法得到的排序向量公式在形式上都是一樣的。這是一個非常有意思的結論。

注6由于模糊判斷矩陣的上下三角元素可以相互確定，因此使用下三角元素也可以得到乘型一致性模糊判斷矩陣排序向量的遞推方法，這里不再討論。

4 計算實例

例1[2]某多屬性決策問題有4 個屬性ui,i=1,2,3,4。為了確定它們的權重，專家對ui(i=1,2,3,4)利用0.1—0.9 五標度進行兩兩比較，并給出下列模糊判斷矩陣

可以驗證，模糊判斷矩陣R不滿足乘型一致性。為此，使用文中提出的排序向量遞推方法，計算如下：

即得到模糊判斷矩陣R的排序向量為w=(0.4248,0.1820,0.2800,0.1132)T，于是方案排序為：u1?u3?u2?u4。

為了比較不同的排序向量求解方法，現將文獻[9-12,27]中的方法應用于該例，計算出的排序向量以及方案排序如表1所示。

表1 不同方法下模糊判斷矩陣R的排序向量

由表1可以發現，盡管由遞推方法得到的權重向量與上述5方法得到的排序向量不一樣，但大小次序是一致的，從而方案排序也是一致的，均為u1?u3?u2?u4。

例2[22]假設一個決策者對決策方案集X={x1,x2,x3,x4}提供的模糊互補判斷矩陣為

可以驗證，模糊互補判斷矩陣B不滿足乘型一致性。通過使用文中的排序向量的遞推方法，計算得到w4= 0.0769,w3= 0.1420,w2= 0.7030,w1= 0.0781。

于是得到模糊判斷矩陣R的排序向量為w=(0.0781,0.7030,0.1420,0.0769)T，從而方案排序為：x2?x3?x1?x4。

同樣，為了比較不同的排序向量求解方法，現將文獻[13,22-24,26,28]中的方法應用于該例，計算出的排序向量以及方案排序如表2所示。

表2 不同方法下模糊判斷矩陣B的排序向量

由表2 發現，盡管由遞推方法得到的權重向量與上述6種方法得到的排序向量完全不同，但是分量值大小次序是一致的，從而方案排序也是一致的，均為x2?x3?x1?x4。

上述兩個應用實例以及與相關排序向量方法的對比表明，文中提出的排序向量的遞推方法是可行和有效的。

5 結 語

根據模糊判斷矩陣的上、下三角元素互相確定的特征，利用模糊判斷矩陣的上三角元素以及乘型一致性模糊判斷矩陣元素和排序向量的關系，使用遞推的方法得到了排序向量的計算公式，并從理論上加以證明。然后，通過引入偏差項和偏差函數，并建立和求解優化模型，求出了非乘型一致性模糊判斷矩陣的排序向量計算公式，結果發現此公式竟然與乘型一致性模糊判斷矩陣的排序向量計算公式形式上完全相同。最后的計算實例和方法對比也說明了模糊判斷矩陣排序向量的遞推方法是可行有效的。本文的研究結果豐富了乘型一致性模糊判斷矩陣的排序方法，豐富和發展了模糊判斷矩陣的排序理論和方法。