機械諧振系統實驗平臺動力學特性及實驗方法研究

張永立 張永弟 趙月靜 于冬梅

摘?要：

為了改善自動控制原理及相近課程的教學效果，促進一體化課程建設，研制了機械諧振系統實驗平臺。首先，建立了實驗平臺的數學模型，詳細分析了所提出的機械諧振系統的非線性動力學特性，討論了實驗平臺系統的L2穩定性和李雅普諾夫穩定性；其次，介紹了實驗平臺的軟硬件組成及其實際應用方法；最后，用仿真實驗和物理實驗對機械諧振系統實驗平臺進行了驗證。結果表明：通過機械諧振系統實驗平臺，能直觀地展示二階系統的時域響應特性與頻率響應特性，以及PID、LQR和基于李雅普諾夫函數的抑振控制器的控制特性。所設計的機械諧振系統實驗平臺能夠更好地輔助完成控制工程相關課程的教學任務，并為控制工程科研工作提供技術支持。

關鍵詞：

系統建模；機械諧振系統；系統分析；穩定性；控制器

中圖分類號：

TP13

文獻標識碼：A

DOI： 10.7535/hbgykj.2024yx01010

Study on dynamic characteristics and experimental methods of mechanical resonance system experimental platform

ZHANG Yongli1，2，ZHANG Yongdi3，ZHAO Yuejing3，YU Dongmei3

（1School of Automation and Electrical Engineering， Tianjin University of Technology and Education， Tianjin 300222， China；2Tianjin Key Laboratory of Information Sensing and Intelligent Control， Tianjin 300222， China；3School of Mechanical Engineering， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China）

Abstract：

In order to improve the teaching effect of automatic control principle and other similar courses， and promote the construction of integrated courses， a mechanical resonance system experimental platform was developed. Firstly， the mathematical model of the experimental system was established， the nonlinear dynamic characteristics of the proposed mechanical resonance system were analyzed in detail， and the L2 stability and Lyapunov stability of the experimental system were discussed. Secondly， the software and hardware components of the experimental platform and its practical application methods were introduced. Finally， the mechanical resonance system experimental platform was verified by simulation and physical experiments. The results show that the time domain characteristics， frequency characteristics of the second-order system and the performances of the stabilizing control based on PID， LQR or the Lyapunov function can be intuitively displayed by using the experimental platform. The mechanical resonance system experimental platform can better assist in completing the teaching task of the courses related to control engineering， and can provide technical support for the scientific research activities of the control engineering.

Keywords：

system modeling; mechanical resonance system; system analysis; stability; controller

機械諧振系統是控制理論教學與研究中的一個廣為熟知的實例[1-4]，它屬于剛體動力學系統，其運動遵循牛頓定律。典型的機械諧振系統有機械平移系統和機械旋轉系統[5-6]。機械工程、車輛工程、建筑工程，乃至航空航天工程中的許多對象都可以簡化為機械諧振系統，并對其進行相關控制算法研究[7-10]。利用機械諧振系統基本原理的工業應用包括：用于物料混合的振動器、搖床等；汽車的懸掛系統[11]、橋梁的減振設計、雙自旋航天器、高層鋼結構調頻液體阻尼器的抗震控制等。

目前，在傳統的自動控制原理教學過程中，一般采用MATLAB仿真和電控實驗箱進行相關實驗。MATLAB是仿真軟件，電控實驗箱是電子電路的實驗裝置，雖然可以展現控制基礎原理的時域和頻率特性，但必須借助示波器等裝置才能較好地觀察實驗現象，實驗方法抽象、直觀性差，難以滿足課程的教學要求[12]。本文研制的機械諧振系統實驗平臺可以同時進行控制基礎理論的數字仿真與實物實驗，并直觀地展示抽象控制機理，從而實現理實一體化教學。此外，該實驗平臺也可以作為控制理論研究的實驗驗證平臺。

1?機械諧振系統

1.1?結構特點

如圖1所示，機械諧振系統實驗平臺主要包括：質塊、彈簧和阻尼、伺服電機驅動系統、電控及上位機系統，其系統簡圖與系統3D簡圖對照關系見圖2。

本文主要介紹機械諧振系統實驗平臺的實驗原理，故對其結構僅作簡要說明，其他詳細內容請參考文獻[12]。

如圖2所示， k為彈簧彈性系數， m為質塊的質量，m0為彈簧及其上端滑塊5的質量，c為可調線性阻尼系數（以下簡稱阻尼系數），c0為偏心盤旋轉副上的阻尼系數；托盤1通過導桿2與質塊7聯結，當彈簧上端固定不動時，可以通過托盤1向質塊7施加作用力F-（t）；偏心盤由伺服電機驅動繞軸心旋轉，其轉動慣量為J，偏心盤與彈簧上端滑塊5組成正弦機構4，彈簧上端滑塊5由正弦機構4帶著上下運動，從而得到位移x（t）=A0sin θ，其中A0為可調偏心距，θ=ωt；質塊的位移y（t）可以通過激光傳感器測量得到。

1.2?控制系統及其數學模型

忽略系統摩擦、彈簧及彈簧上端滑塊的質量，以偏心盤旋轉至水平位置、彈簧自然靜止狀態為零初始狀態，選取不同的輸入量，可以得到不同的系統模型。

1）F-（t）→y（t） 系統

如圖2所示，當彈簧上端固定，可以通過托盤向質塊施加作用力F-（t），使得位移y（t）發生變化，此時構成以F-（t）為控制輸入，y（t）為輸出的二階系統，其數學模型為

my¨（t）+cy·（t）+ky（t）=F-（t）。（1）

于是，可得系統的傳遞函數：

GF-y（s）=Y（s）F-（s）=1ms2+cs+k=1kω2ns2+2ζωns+ω2n，[JY]（2）

式中：ωn=km；ζ=c2mk。

2）x（t）→y（t）系統

如圖2所示，當彈簧上端位移x（t）作為系統輸入，位移y（t）作為輸出，其數學模型為

my¨（t）+cy·（t）+ky（t）=kx（t）。（3）

于是，可得系統的傳遞函數：

Gxy（s）=Y（s）X（s）=kms2+cs+k=ω2ns2+2ζωns+ω2n，（4）

式中：ωn=km；ζ=c2mk。

3）τ→y（t）系統

如圖2所示，以伺服電機的輸出轉矩τ作為系統輸入，位移y（t）作為輸出，根據剛體力矩平衡方程有

Jθ¨+c0θ·+F（t）A0cos θ=τ，

式中：J為偏心盤的轉動慣量；F（t）為滑塊與偏心盤沿豎直方向上的作用力。且有

F（t）－kx（t）－y（t）－m0g=m0x¨（t），

即

F（t）=m0x¨（t）+kx（t）－y（t）+m0g，

又

x（t）=A0sin θ，

那么，有

Jθ¨+m0A20cos 2θθ¨+c0θ·－m0A20sin θcos θθ·2+kA20sin θcos θ－kA0cos θy（t）+m0gA0cos θ=τ。[JY]（5）

將x（t）=A0sin θ代入方程（3），得：

my¨（t）+cy·（t）+ky（t）－kA0sin θ=0。（6）

聯立方程（5）和方程（6），取廣義坐標q（t）=［θ，y（t）］T，得到系統的非線性動力學方程為

M（q（t））q¨（t）+[WTHX]C（q（t），q·（t））q·（t）+[WTHX]G（q（t））=U，（7）

式中：

M（q（t））=J+m0A20cos 2θ0

0m；

C（q（t），q·（t））=c0－m0A20sin θcos θθ·00c；

G（q（t））=kA20sin θcos θ－kA0cos θy（t）+m0gA0cos θky（t）－kA0sin θ；

U=τ0。

2?線性系統實驗設計

這里僅對教學實驗方法進行原理性討論，不對具體實驗步驟和過程進行詳細描述。

2.1?經典控制理論教學內容

經典控制理論的內容主要包括：復域分析、時域分析、頻域分析。系統的復域分析是從系統動力學模型出發，來研究系統的性能。復域分析主要包括：傳遞函數建立、結構圖的建立與化簡、系統穩定性與特征根之間的關系、阻尼系數的變化對特征根的影響、基于勞斯判據的穩定性分析、根軌跡分析實驗等。

系統的時域分析主要包括：系統的階躍響應、脈沖響應、系統性能指標的測定、誤差分析、疊加原理、阻尼系數的變化對系統性能的影響等。

系統的頻域分析是時域分析的拓展，主要包括：頻率特性、奈氏圖、波德圖、奈氏判據、諧振特性等。

根據式（1）—式（4），可知F-（t）→y（t）系統與x（t）→y（t）系統均為典型的二階線性定常系統。依托機械諧振系統實驗平臺，大多數經典控制理論的相關基礎教學實驗很容易根據熟知理論進行設計實現。

2.2?[HJ4.0mm]F-（t）→y（t）系統的根軌跡分析

根軌跡分析實驗需要對系統的數學模型進行等效變換，受機械諧振系統實驗平臺的結構限制，難以進行180°根軌跡的測繪實驗，需要變換為變參數的根軌跡測繪實驗來驗證根軌跡原理。

由方程（2）得，F-（t）→y（t）系統的特征方程為

ms2+cs+k=0。（8）

僅考慮系統穩定性的等效，特征方程（8）的等效單位反饋系統有2種形式，如圖3所示。如圖3 ?a）所示，等效系統1等效開環傳遞函數為

Ga（s）=kmss+cm。（9）

如圖3 b）所示，等效系統2等效開環傳遞函數為

Gb（s）=csms2+km。（10）

由于系統中彈簧彈性系數k與質塊的質量m難以連續調節，故無法根據式（9）繪制連續變化的根軌跡曲線。然而，系統的阻尼系數c是可以連續調節的，因此，可以根據式（10）繪制c從小到大變化的系統根軌跡。理論上，當c從0變化到無窮大時的系統根軌跡曲線如圖4所示。

在實際中， 阻尼系數c的調節范圍不能實現從0到無窮大的理想情況，只能在一個較小的范圍內測試。系統中彈簧彈性系數k與質塊的質量m通常是固定的，那么，實驗中只要測定每一個連續調節的阻尼系數c，就可以計算得到對應的系統特征根，將特征根的變化曲線繪制出來與理論曲線作趨勢對比，并分析二階系統的振蕩特性。經過實際測量，系統的阻尼系數變化可以達到欠阻尼、過阻尼的振蕩特性，其根軌跡變化趨勢與理想曲線一致。

2.3?x（t）→y（t）系統的頻域分析

機械諧振系統實驗平臺可以通過伺服驅動進行諧波輸入，根據式（4）可以得到系統的頻率特性，輸入量為x（t）=A0sin θ，其中A0為可調偏心距，即輸入信號的幅值，θ=ωt。電機的轉速范圍為0～3 000 rad/min。根據控制理論可得輸出為

y（t）=Asinωt+β。（11）

由于輸入信號的頻率和幅值均可測量，當ω從0逐漸變大時，采集y（t）信號的幅值與相位，對相關理論結果進行實驗驗證。

2.4?主動抑振控制實驗

以x（t）為輸入、y（t）為輸出的x（t）→y（t）系統，可以實現對質塊的主動抑振控制，即當質塊受到外界干擾而產生振動時，可以通過輸入x（t）對其進行鎮定控制，使之快速消振。這種主動抑振控制在實際物理系統中有廣泛的應用，汽車懸掛系統的主動消振就是一個典型的應用。

1）基于x（t）→y（t）系統的PID抑振控制實驗

圖5為PID抑振控制原理框圖。PID抑振控制器是基于誤差的控制器，PID參數整定可以采用試湊法，或者等幅振蕩法等，一般不考慮伺服驅動機構的動力學特性，包括伺服電機的響應周期，以及偏心盤的轉動慣量等因素。

由于系統具有非線性，所以PID抑振控制器在平衡點附近的小幅振蕩控制效果比較好，如果振蕩幅度比較大，會出現控制失敗的情況。

2）基于平衡點線性化的LQR抑振控制實驗

對式（5）—式（6）在平衡點θ=0、y（t）=0處進行線性化，得

J+m0A20θ¨+c0θ·+kA20θ－kA0y（t）+m0gA0=τ，[JY]（12）

my¨（t）+cy·（t）+ky（t）－kA0θ=0。（13）

取狀態變量

z=z1，z2，z3，z4T=θ，y（t），θ·，y·（t）T，

得到系統狀態方程為

z·=[WTHX]Az+[WTHX]Bu，（14）

式中：

A=00100001－kA20J+m0A20kA0J+m0A20－c0J+m0A200kA0m－km0－cm；

B=001J+m0A200；u=τ－m0gA0。

利用MATLAB中的lqr（）函數很容易求得最優反饋增益K，從而得到反饋控制量：

u=－K[WTHX]z。（15）

圖6為LQR抑振控制原理框圖。由于系統存在非線性，因此，LQR抑振控制器與PID控制類似，在平衡點附近的小幅振蕩控制效果比較好，如果振蕩幅度比較大，會出現控制失敗的情況。

3?非線性控制系統分析及其控制器設計

如圖2 a）所示，如果將直接施加在彈簧上端的力F（t）、位移x（t），或者直接施加在質塊上的力F-（t）作為系統的輸入，輸出為質塊的位移y（t），那么系統是典型的線性系統。但是，如果以伺服電機的輸出轉矩τ作為系統輸入，位移y（t）作為輸出，系統在結構上增加了偏心盤輸入機構，從模型上來看系統就變成了一個非線性系統。根據式（5）—式（6）可知：以電機輸出轉矩τ作為系統輸入、位移y（t）作為輸出的系統為非線性系統，即τ→y（t）系統。在τ→y（t）系統模型中，可以將F-（t）→y（t）系統與x（t）→y（t）系統分別看作機械諧振系統實驗平臺中的線性環節。F-（t）→y（t）系統與x（t）→y（t）系統的穩定性是熟知的，而τ→y（t）系統的數學模型中有三角函數項，具有明顯的非線性特性。

3.1?τ→y（t）系統的無源性

定理1?當c0=0、c=0 時，式（7）所表示的τ→y（t）系統為無源系統，且無損耗；當c0>0、c>0時，τ→y（t）系統為嚴格輸出無源系統。

[CX1]證明[CX]?機械諧振系統是一個彈簧儲能系統，系統的動能為

κ=12Jθ·2+12my·（t）2+12m0x·（t）2。（16）

系統的彈性勢能（忽略重力勢能）為

σ=12kx（t）－y（t）2+m0gx（t）=

12kA0sin θ－y（t）2+m0gA0sin θ。[JY]（17）

系統的存儲函數為

E=κ+σ=12Jθ·2+12my·（t）2+12m0x·（t）2+

12kA0sin θ－y（t）2+

m0gA0sin θ=

12q·T[WTHX]M（q（t））q·（t）+12kA0sin θ－y（t）2+

m0gA0sin θ，[JY]（18）

那么，有

E·=q·T[WTHX]M（q（t））q¨（t）+12q·T[WTHX]M·（q（t））q·（t）+q·T[WTHX]G（q（t））=q·T[WTHX]M（q（t））q¨（t）+12[WTHX]M·（q（t））q·（t）+[WTHX]G（q（t））=q·TU－[WTHX]Cq（t），q·（t）q·（t）+12[WTHX]M·（q（t））q·（t）=

τθ·－c0θ·2－cy·（t）2，[JY]（19）

即

τθ·=E·+c0θ·2+cy·（t）2。（20）

因此，當c0=0、c=0 時，τ→y（t）系統為無源系統，且無損耗；當c0>0、c>0 時，τ→y（t）系統為嚴格輸出無源系統。

3.2?τ→y（t）系統的穩定性

定理2?當c0>0、c>0 時，式（7）所表示的τ→y（t）系統為L2穩定，且其L2增益小于等于12c0δ。

[CX1]證明[CX]?當c0>0、c>0 時，由式（20）有

E·=τθ·－c0θ·2－cy·（t）2=

－12c0τ－c0θ·2+12c0τ2－c02θ·2－cy·（t）2，[JY]（21）

那么，有

E·≤12c0τ2－c02θ·2+cy·（t）2，（22）

取δ=minc02，c，有

E·≤12c0τ2－δθ·2+y·（t）2=12c0τ2－δq·（t）Tq·（t），（23）

即

q·（t）Tq·（t）≤12c0δUTU－1δE·。（24）

對方程（24）兩邊在0，ε范圍內積分，得：

∫ε0q·（t）Tq·（t）dt≤12c0δ∫ε0UT（t）U（t）dt－1δ∫ε0E·（t）dt，（25）

即

∫ε0q·T（t）q·（t）dt≤

12c0δ∫ε0UT（t）U（t）dt－

1δE（ε）－E（0）。[JY]（26）

由于E（ε）≥0，且當a≥0、b≥0時，a2+b2≤a+b，因此有

‖q·ε‖L2≤12c0δ‖Uε‖L2+1δE（0）。[JY]（27）

由式（27）可知，τ→y（t）系統為L2穩定，且其L2增益小于等于12c0δ。

定理3?當c0>0、c>0，且輸入τ=0時，式（7）所表示的系統在原點是穩定的。

證明?取式（18）所示的李雅普諾夫函數，當τ=0時，由式（19）得到：

E·=－c0θ·2－cy·（t）2≤0。（28）

因此，由李雅普諾夫穩定性定理可知，當τ=0時，系統在原點穩定。

3.3?τ→y（t）系統的閉環穩定性

構造李雅普諾夫能量函數，有：

V=E+κ2m0gA01+sin θ，κ2>0，（29）

那么

V·=E·+κ2m0gA0（cos θ）θ·=

τ+κ2m0gA0cos θθ·－c0θ·2－cy·（t）2，[JY]（30）

令

τ+κ2m0gA0cos θ=－κ1θ·，κ1>0，（31）

取控制輸入

τ=－κ1θ·－κ2m0gA0cos θ，κ1>0 ，κ2>0，（32）

將式（32）代入方程（30），得

V·≤0。（33）

因此，根據李雅普諾夫穩定性判據可知閉環控制系統穩定。

4?仿真與物理實驗

機械諧振系統實驗平臺的結構參數如表1所示。該實驗平臺采用MATLAB與C++混合編程，交互性強且操作簡單。在MATLAB中嵌入一個C++語言的mex函數庫即可實現MATLAB與C++的混合編程。該系統采用C++語言按照S函數所擁有的固定程序格式編寫，并設計出了S函數模塊嵌入到系統后在Simulink下進行建模和仿真。

由于機械諧振系統實驗平臺的線性系統相關結論是熟知的驗證性結果，所以，這里對線性部分的實驗原理不作進一步討論，僅針對τ→y（t）非線性系統基于李雅普諾夫函數的控制算法進行仿真驗證，取初值

θ，y（t），θ·，y·（t）T=0，2，0，0T，κ1=0.25，κ2=－1，仿真曲線如圖7所示。

圖7中仿真結果表明基于李雅普諾夫函數的控制方法可以實現振蕩消減，其中圖7 a）表明電機轉角的收斂位置在-90°，即彈簧上端滑塊最終收斂于最低位置，此時系統勢能最小。實驗中，控制參數κ的選取并不唯一，不同的控制參數，其控制效果也不相同，此例主要說明所提實驗平臺的適用性，不對控制算法的優劣性進行深入討論。圖8所示為物理實驗的系統變量響應曲線，在初始狀態θ=0時的靜止狀態下，施加一個擾動，κ1和κ2的取值一般與仿真中的數值不同，需要重新整定；此外，物理實驗響應曲線的幅值較小，是因為在物理實驗中質塊的初始擾動很小，不會超過±0.025 m。從圖8可以看出，實際曲線與仿真曲線趨勢是一致的。通過實例可以看出，本文所提出的機械諧振系統實驗平臺不僅適用于教學，也可以作為控制理論驗證的實驗平臺。

5?結?語

工程實際中，很多物理系統都可以簡化或抽象為一個二階機械諧振系統，此外，國內外經典的自動控制類教材中，機械諧振系統作為二階系統的典型案例，是經典控制理論討論的重要內容之一。因此，機械諧振系統的研究在建筑、航空航天、精密儀器、海洋工程等領域都具有重要意義，對提高控制理論相關課程的教學效果具有重大的促進作用。

為了改善機械、自動化等專業中與控制理論相關課程的教學效果，本文基于實際工程中一種典型的二階系統模型，研制了機械諧振系統實驗平臺。

本文首先介紹了機械諧振系統實驗平臺的結構原理，建立了不同輸入條件下的數學模型。其次分別介紹了系統特性的時域分析法、根軌跡分析法、頻域分析法，及其實驗原理。最后對PID、LQR等振動抑制控制器的設計進行了介紹，通過仿真和物理實驗驗證了其有效性。

機械諧振系統實驗平臺是從工程實際中物理系統中抽象出來的一種實驗教學、科研設備，其結構簡單、原理清楚，具有線性和非線性特征，可操作性和直觀性較好，適用于高職、本科等高等院校自動控制原理、機器人、智能控制等相關課程的基礎教學實驗，是一種良好的教學科研實驗載體。

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收稿日期：2023-05-19;修回日期：2023-10-21；責任編輯：王海云

基金項目：天津職業技術師范大學2022年度專業學位研究生課程案例庫建設項目（15102/XJYJ2326）；2021年天津市研究生科研創新項目（2021YJSO2B16）；河北科技大學教改項目（2021-YB24）

第一作者簡介：

張永立（1971—），男，河北石家莊人，副教授，博士，主要從事自動化專業教學與科研方面的研究。

通信作者：

張永弟副教授。 E-mail： zhydi@yeah.net

張永立，張永弟，趙月靜，等.

機械諧振系統實驗平臺動力學特性及實驗方法研究

［J］.河北工業科技，2024，41（1）：77-84.

ZHANG Yongli，ZHANG Yongdi，ZHAO Yuejing，et al.

Study on dynamic characteristics and experimental methods of mechanical resonance system experimental platform

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