統一邊界條件下非飽和土一維固結理論研究

秦愛芳，鄭青青，江良華

(上海大學力學與工程科學學院土木工程系，上海 200444)

建筑與道路等工程項目建設中，為了提高地基承載力以及減小后期沉降，在施工前常常采用堆載預壓、真空預壓等方法對地基進行處理[1]。在堆載預壓作用下，土體會產生超孔隙壓力，隨著超孔隙壓力的消散，地基將發生固結沉降。以TERZAGHI[2]為代表的飽和土固結理論雖然已經相對成熟，但依舊無法有效地解決許多工程中的沉降問題。根本原因在于，大多位于地下水位線以上的壓實土、淺層換填土等都屬于非飽和土[3]。相對飽和土而言，非飽和土由固、液、氣三相介質組成，其壓縮固結不僅存在超孔隙水壓力的消散，同時包含超孔隙氣壓力的消散，且二者相互耦合[4]，較飽和土的固結更為復雜。若對非飽和土繼續采用飽和土固結理論進行分析將會產生誤差。因此，對非飽和土固結理論展開研究是非常有必要的。

國外很多學者于20 世紀60 年代開始對非飽和土固結理論開展研究，并提出了多種固結理論。BIOT[5]提出了可用于分析含有氣泡的非飽和土的一般固結理論。BLIGHT[6]推導了干燥、剛性的非飽和土的氣相固結方程。BARDEN[7]對壓實非飽和粘土的一維固結特性進行了研究分析。而FREDLUND 和HASAN[8]基于土中的氣、液相分別連續這一假設，提出了非飽和土一維固結理論，表明土體中超孔隙壓力的消散過程可以用兩個偏微分方程加以描述，并且該理論可以在飽和土與非飽和土之間平穩過渡。

之后，國內許多學者，如楊代泉[9]、陳正漢[10-11]、沈珠江[12]、殷宗澤[13]等，致力于非飽和土固結理論的研究并各自提出了相關理論。而目前與非飽和土一維固結問題相關的大量研究成果主要還是圍繞FREDLUND 等[8]提出的一維固結理論展開的。

基于Fredlund 固結理論，秦愛芳等[14]利用Laplace 變換和Cayley-Hamilton 原理，首次得到了單面透氣透水邊界條件下施加大面積瞬時均布荷載時非飽和土層一維固結的解析解。隨后運用同樣的方法，得到了相同邊界條件下加載隨時間指數變化的解析解[15]。SHAN 等[16]采用分離變量法給出了非飽和土在三種典型的均質邊界條件下的精確解，該解在揭示固結機理以及驗證數值解和半解析解的正確性方面發揮著重要作用?？紤]到實際工程中氣相和液相在土層同一表面的邊界條件可能有所不同，秦愛芳等[17-18]考慮了頂面透氣不透水和透水不透氣兩種混合邊界，對非飽和土在大面積瞬時加荷情況下進行了解析求解，拓展了非飽和土固結理論在工程中的應用。之后，SHAN 等[19]推求出了非均質混合邊界條件下非飽和土一維固結的解析解。周萬歡和趙林爽[20]、ZHOU 和ZHAO[21]通過引入兩個中間變量，對非飽和土一維固結方程進行解耦以實現偏微分方程組到常微分方程組的轉化，從而簡化了方程的解。然后運用差分求積法得到了考慮復雜初始條件和邊界條件下非飽和土一維固結的數值解，并討論了這些因素對非飽和土一維固結的影響。HO 等[22]、HO 和FATAHI[23]利用特征函數展開法和Laplace 變換得到了均質透水邊界條件下非飽和土一維固結問題的解析解。

除了傳統的完全滲透邊界或者完全不滲透邊界，鑒于實際工程中砂墊層表現為部分排水的特點，近年來，越來越多的學者對半滲透邊界條件下非飽和土一維固結問題展開了相關的研究。WANG 等[24-26]將邊界條件考慮為半滲透邊界和滲透性隨時間變化的復雜情況，并利用解耦技術、Laplace 變換以及Laplace 逆變換方法得到了非飽和土一維固結一系列的半解析解。通過對其固結特性的分析，得出透氣系數對超孔隙壓力的消散速率影響很大這一結論。之后，HUANG 和ZHAO[27]采用特征函數展開法與待定系數法給出了相同邊界條件下的解。

目前有關非飽和土固結理論的研究多是側重于某種特定邊界條件下的解答，尚無一個通用的解。而在實際工程中，土體的邊界條件是多種多樣的，具有不確定性。因此，本文擬采用一種統一形式邊界條件，結合非飽和土一維固結的控制方程、初始條件等，運用Laplace 變換和Laplace逆變換等數學方法給出超孔隙氣壓力以及超孔隙水壓力在瞬時均布荷載作用下時間域內的半解析解。通過退化的方式模擬各種邊界條件，與文獻中已有的結果進行對比以驗證所得解的正確性和有效性，討論并分析不同的邊界參數對非飽和土固結特性的影響。 這種統一邊界條件的優點在于可以通過設置不同的邊界參數，將其退化到均質、混合、半滲透等各種邊界條件，以滿足實際工程需求。另外，此統一邊界條件也可應用到同類其它研究中。

1 數學模型

非飽和土單面統一邊界條件下一維固結計算模型如圖1 所示。頂面為統一邊界，底面邊界既不透氣也不透水，非飽和土層表面作用有豎向瞬時均布荷載q，并假設固結及外荷載作用僅發生在z向。其中，H為非飽和土層的厚度，而水平方向無限大。

圖1 非飽和土一維固結計算模型Fig.1 Calculation model for one-dimensional consolidation of unsaturated soil

1.1 控制方程

基于FREDLUND 等[8]提出的非飽和土一維固結理論，基本假定如下：

1) 氣、液相連續，且二者的流動規律分別符合Fick 定律與Darcy 定律；

2) 固體土顆粒和水是不可壓縮的；

3) 固結過程中的變形較小，土體中氣、液相的體積變化系數與滲透系數均假定為常量；

4) 不考慮氣體在水中的擴散和溶解、熱效應、水分蒸發的影響；

5) 固結過程中，土體的變形、超孔隙水壓力和超孔隙氣壓力的消散僅發生在豎直方向。

以上假定并非適用于所有情況。就非飽和土而言，氣、液相的滲透系數是土體濕度(吸力或飽和度)的函數，且土骨架與液相的體積切線模量是非線性關系。當應力增量較小時，假設這些參數在瞬態過程中保持不變，不影響固結規律分析，這對半解析解的求解起到了一定的簡化作用[1,26-27]?；诖?，瞬時均布荷載作用下非飽和土一維固結過程中超孔隙氣壓力與超孔隙水壓力控制方程可以表示為[8]：

其中：

1.2 初始條件

假設外荷載作用后，初始超孔隙壓力在整個土層中均勻分布，即：

1.3 邊界條件

頂面采用統一形式邊界，即：

底面采用不透氣不透水邊界，即：

式中：aa、ba、aw、bw分別為控制上邊界氣、液相滲透性能的參數，即邊界條件由方程中的邊界參數控制。其中，aa、aw分別為不透氣、不透水系數；ba、bw分別為透氣、透水系數?？梢钥闯?，當aa和aw趨于0 時，此時邊界條件為透氣透水邊界；當ba和bw趨于0 時，此時邊界條件為完全不滲透邊界；當邊界參數aa、ba、aw、bw均不為0 時，此時相當于半滲透邊界。對于邊界不同的滲透性能條件，如透氣(水)、半透氣(水)、不透氣(水)，具體參數取值已列于表1 中。

表1 邊界滲透性能相關參數Table 1 The parameters related to the permeability performance of boundary

通過設置合理的邊界參數，所得的解可用于模擬頂面邊界條件為完全滲透邊界、透氣不透水邊界以及半滲透邊界等多種情況，可以將其看作一個固結理論的通解，彌補了目前非飽和土一維固結理論的解答僅限于特定邊界條件下的不足。

2 非飽和土一維固結的半解析解

2.1 Fredlund 非飽和土一維固結方程的通解

對非飽和土層的氣相及液相固結方程式(1)與式(2)進行Laplace 變化，可得：

經過化簡整理，最終求得的通解表示如下：

其中：

C1、C2、D1、D2為關于s的任意函數，可通過邊界條件得到。

式(10)與式(11)分別為非飽和土固結過程中超孔隙氣壓力與超孔隙水壓力在Laplace 變換域內的通解，特定邊界條件下的半解析解只需代入相應的邊界條件即可求得。

2.2 統一邊界條件下半解析解的推導

邊界條件式(6)和式(7)經Laplace 變換后表示為：

將求得的通解式(10)和式(11)及其一階偏導代入頂面邊界條件式(12)與底面邊界條件式(13)，可得：

對以上方程組進行求解，可求得C1、C2、D1、D2表達式分別為：

其中：

將所得的C1、C2、D1、D2的表達式代入式(10)和式(11)，并將其用三角函數形式表示，即：

其中：

式(19)和式(20)即為Laplace 域內單面統一邊界條件下非飽和土一維固結的解。利用Crump方法[28]編程，分別對式(19)和式(20)進行Laplace逆變換，可得時間域內相應解答。

3 對比驗證及參數分析

算例驗證和邊界參數分析過程中的各項參數取值與QIN 等[17]一致，具體如下：

3.1 對比驗證

取aa=aw=0 ，而ba=bw=-1，統一邊界條件下非飽和土一維固結的半解析解即為上邊界透氣透水，下邊界不透氣不透水假定下的解：

其中：

將退化后的結果與文獻[26]中同種邊界條件下的結果進行對比，以此驗證本文所得解的準確性。

圖2 和圖3 分別為z= 8 m 處不同ka/kw條件下，以及ka/kw=10時不同深度條件下超孔隙壓力隨時間t的變化規律。由圖可知，本文半解析解的退化結果與參考文獻[26]中的結果完全一致，由此驗證了所得解的準確性。

圖2 z = 8 m 時不同 ka/kw下超孔隙壓力隨時間t 變化圖Fig.2 Variations of excess pore pressures with time under different ka/kwwhen z = 8 m

圖3 ka/kw=10時不同深度處超孔隙壓力隨時間t 變化圖Fig.3 Variations of excess pore pressures with time under different depths when ka/kw=10

圖2 表明，當計算深度一定時，超孔隙壓力的消散速率隨著ka/kw比值的增大而增大。而觀察圖2(b)發現，在時間t=1×107s 之后，超孔隙水壓消散速率并不隨ka/kw比值的改變而發生變化。根本原因在于，分析中超孔隙水壓滲透系數保持不變，僅改變氣相滲透系數，這只會對超孔隙氣壓力的消散產生影響，因而在超孔隙氣壓力消散完成后，ka/kw比值變化不再對超孔隙水壓力的消散產生影響。

由圖3 可知，在ka/kw不變的情況下，計算深度越小，超孔隙氣壓力開始消散的時刻越早，但最終都于同一時刻 1×106s 左右消散結束。因為頂面既透氣也透水，施加荷載后，臨近頂面的超孔隙氣壓以更快的速率排出；由于底面完全不滲透，則土層中的氣體無法從底面直接排出，而是要逐漸滲透到上部土層再經頂面排出，其滲透路徑更長。因此，隨著深度的增加(即遠離透水透氣邊界)，土體中超孔隙氣壓的滲透路徑也在相應地增加，從而導致其消散速率有所減緩。

對比圖2(a)和圖2(b)、圖3(a)和圖3(b)可以觀察到同一個現象：超孔隙水壓的消散曲線大致分為兩個階段。第一階段為非飽和土固結前期，以超孔隙氣壓力消散為主；第二階段為固結后期，以超孔隙水壓力消散為主，且中間存在一段“平臺期”。產生“平臺期”的原因可能是超孔隙氣壓剛消散結束，由于基質吸力的存在，超孔隙水壓需要一個調整過程方可繼續消散。另外，超孔隙氣壓力消散結束的時刻恰好是“平臺期”的起始時刻，同時也是非飽和土固結前期與固結后期的分界點。不難發現，“平臺期”的位置同樣受ka/kw大小以及計算深度的影響。

3.2 邊界參數對固結特性的影響分析

以下基于本文所得的單面統一邊界條件下非飽和土一維固結的半解析解，通過控制變量，采用不同邊界參數模擬不同滲透性能的邊界，探討不同邊界以及邊界參數在非飽和土固結過程中對超孔隙氣壓與超孔隙水壓消散規律的影響[29-30]。其中，邊界參數的取值參考半滲透邊界及統一邊界條件下非飽和土固結相關研究中參數取值[20,25,31]，其變化范圍定為0～50。

3.2.1 統一邊界模擬不同滲透性能的邊界

為探討不同邊界條件下非飽和土一維固結特性，本文通過設置不同的邊界參數來模擬底面均為完全不滲透邊界，而頂面分別為均質邊界、半滲透邊界以及混合邊界等多種情況。

假設aa=aw=1 ，通過 對 邊界參數ba和bw取 不同的值，從而使上邊界實現從完全不滲透到完全滲透這一變化過程。圖4(a)和圖4(b)分別給出了在ka/kw=10時，超孔隙氣壓及超孔隙水壓在對應的時間t=6×104s 和t=1×108s 下沿土層深度方向的消散曲線。不同滲透性能的上邊界所對應的ba和bw取值具體如下：

圖4 不同邊界條件下超孔隙壓力隨深度的變化圖Fig.4 Variations of excess pore pressures with depth at different boundary conditions

完全不滲透邊界：ba=bw=0；

半滲透邊界：ba=bw=0.1和0.5；

完全滲透邊界：ba=bw=50；

透氣不透水邊界：ba=50,bw=0

從圖4(a)超孔隙氣壓的消散曲線中可以看出，隨著邊界參數ba取值的增大，上邊界的透氣性能愈強，則相同深度下的超孔隙氣壓消散速率越快。對比不同ba取值下的半滲透邊界，其透氣性能同樣與ba大小成正相關。此外，觀察到透氣透水和透氣不透水兩種邊界條件下的超孔隙氣壓消散曲線重合，說明頂面是否透水對超孔隙氣壓消散無影響。

由圖4(b)可知，上邊界的透水性能同樣隨著邊界參數bw取值的增大而逐漸增強，使得上邊界從完全不透水狀態過渡到了完全透水狀態。對比圖4(a)發現，除了完全不滲透邊界，其它各邊界條件下的uw/u0w均從相同的值0.6 左右開始變化，產生這一現象的主要原因是，在固結前期超孔隙氣壓消散過程中，一部分超孔隙水壓也隨之消散，“平臺期”后進入固結后期，超孔隙水壓開始消散。這一現象與圖3(b)中不同深度下超孔隙水壓消散規律一致。但是，由于固結前期超孔隙氣壓已經消散完成，透氣不透水邊界下的超孔隙水壓在固結后期不再繼續消散，而是保持恒定。同樣，對于半滲透邊界，其透水性能與bw數值大小成正相關，且bw不同取值對其影響程度也有所差異。

3.2.2aa和ba對超孔隙氣壓力消散規律的影響

圖5 給出了在頂面完全透水假設下，即aw=0，bw=-1 ， 分別考慮邊界參數aa和ba不同取值在時間t=6×104s 時，超孔隙氣壓力隨深度的變化規律。

圖5 ka/kw=10時超孔隙氣壓力隨計算深度的變化規律Fig.5 Variations of excess pore air pressure with depth atka/kw=10

圖5(a)所示是ba=1，aa分別取0、0.1、1、5、20 和50 時超孔隙氣壓隨深度的消散曲線；圖5(b)所示的是aa=1，ba分別取0、0.1、1、5、20 和50 時超孔隙氣壓隨深度的消散曲線。由圖5(a)可知，當aa從0 增至50 時，超孔隙氣壓的滲透性由完全滲透變為近似完全不滲透；由圖5(b)看出，當ba從0 增大至50 時，超孔隙氣壓的滲透性由完全不滲透變為完全滲透。對比圖5(a)和圖5(b)可知，aa與ba對超孔隙氣壓消散速率影響規律不相同，即超孔隙氣壓的消散速率隨著aa的增大而減小，隨著ba的增大而增大，表明aa與ba對超孔隙氣壓消散速率影響效果完全相反。因此，可以將邊界參數aa看作透氣阻力系數，將參數ba看作透氣系數。透氣阻力系數aa越大說明頂面邊界滲透阻力越大，表現為透氣性能越差，故超孔隙氣壓消散速率越??；而ba越大說明此時頂面邊界透氣性能越好，更有利于超孔隙氣壓消散，故消散速率更快。除此之外，aa和ba對超孔隙氣壓消散速率影響程度也不相同。當aa取值介于0.1～50 時，超孔隙氣壓的消散速率隨著aa的增大呈均勻減小的趨勢；當ba取值介于0～5 時，超孔隙氣壓消散速率隨ba的增大呈增大趨勢，而當ba≥5后各消散曲線近乎重合。

3.2.3aw和bw對超孔隙水壓力消散規律的影響

將頂面邊界視為完全透氣邊界，即aa=0，ba=-1 ，分別考慮aw和bw對超孔隙水壓力消散規律的影響。此時，時間取為固結后期t=1×108s，所得結果如圖6 所示。圖6(a)是bw=1，aw分別取0、0.1、1、5、20 和50 時超孔隙水壓隨深度的消散曲線；圖6(b)則是aw=1，bw分別取0、0.1、1、5、20 和50 時超孔隙水壓隨深度的消散曲線。

圖6 ka/kw=10時超孔隙水壓力隨計算深度變化規律Fig.6 Variations of excess pore water pressure with depth at ka/kw=10

通過圖6(a)觀察到，當aw從0 增至50 時，超孔隙水壓的滲透性由完全滲透變為近似完全不滲透；由圖6(b)看出，當bw從0 增大至50 時，超孔隙水壓的滲透性由完全不滲透變為完全滲透。結合圖6(a)和圖6(b)可以發現，aw和bw對超孔隙水壓消散速率影響規律不同，即超孔隙水壓的消散速率隨著aw的增大而減小，隨著bw的增大而增大，說明aw和bw對超孔隙水壓消散速率影響效果相反。因此，可以將邊界參數aw視作透水阻力系數，而將參數bw視作透水系數。透水阻力系數aw越大說明頂面邊界滲透阻力越大，表現為透水性能越差，故超孔隙水壓消散速率越??；而bw越大說明此時頂面邊界透水性能更佳，越有利于土體中超孔隙水壓消散，故消散速率更快。同樣，aw和bw對超孔隙水壓消散速率影響程度也不相同。當aw取值介于0.1～50 時，超孔隙水壓的消散速率隨著aw的增大呈均勻減小的趨勢；當bw取值介于0～5 時，超孔隙水壓消散速率隨bw的增大而增大，當bw≥5后各消散曲線近乎重合。

3.2.4aa不變而aw變化對超孔隙壓力的影響

為研究邊界參數aw對超孔隙壓力消散速率的影響，取aa=ba=bw=1，aw從0 增至50(透水性由完全滲透變為近似完全不滲透)，則圖7(a)和圖7(b)分別是aw變化時超孔隙氣壓和超孔隙水壓在深度z=5 m 處隨時間t的變化過程。

圖7 當z = 5 m, aw變化時超孔隙壓力隨時間t 的變化規律Fig.7 Variations of excess pore pressures with time at z = 5 m and different aw

從圖7(a)可以發現，無論aw取何值，超孔隙氣壓消散曲線均重合，說明僅改變aw的取值對超孔隙氣壓力的消散不產生任何影響。而從圖7(b)可知，aw發生變化主要影響超孔隙水壓力的后期消散速率：aw越大，超孔隙水壓消散所需時間越長，表明超孔隙水壓消散速度越小。這同樣也說明了非飽和土固結過程中前、后期分別由超孔隙氣壓消散與超孔隙水壓消散控制。

綜上所述，aw是與超孔隙水壓消散相關的邊界參數，其大小僅決定超孔隙水壓消散速率的大小，對超孔隙氣壓的消散過程無影響。

3.2.5aw不變而aa變化對超孔隙壓力的影響

為研究邊界參數aa對超孔隙壓力消散速率的影響，取aw=ba=bw=1，aa從0 增至50(透氣性由完全滲透變為近似完全不滲透)，所得超孔隙壓力在深度z=5 m 處隨時間t的變化過程如圖8(a)和圖8(b)所示。

圖8 z = 5 m 時, aa變化時超孔隙壓力隨時間t 的變化規律Fig.8 Variations of excess pore pressures with time at z = 5 m and different aa

從圖8(a)可以發現aa變化對超孔隙氣壓消散有明顯影響，且都于105s 左右開始。隨著aa取值的增大，超孔隙氣壓消散所需時間越長，即消散速度越小。而觀察圖8(b)可知aa變化僅影響超孔隙水壓力消散的前期。原因在于，這些微小的影響僅是固結前期超孔隙氣壓消散所致。

由邊界條件式(6)可知，參數aa、aw的變化分別主要影響超孔隙氣壓力與超孔隙水壓力的消散過程。因此，當aw不變，僅改變aa時，超孔隙氣壓消散過程受影響程度較大，而對超孔隙水壓消散的后期幾乎沒有影響。

4 結論

本文基于Fredlund 非飽和土一維固結理論得到了統一邊界條件下非飽和土地基作用瞬時均布荷載時的半解析解。通過對邊界參數的分析，可以得到以下主要結論：

(1) 本文得到的統一邊界條件下的半解析解更具通用性，滿足實際工程中不同類型邊界條件的需求。

(2) 通過改變相關邊界參數的取值，可以模擬土層邊界由完全不滲透到完全滲透的變化過程。

(3) 對比不同邊界條件下超孔隙壓力消散規律可知，邊界條件對超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力消散規律影響很大。相對完全透氣透水邊界條件而言，半滲透邊界對非飽和土中超孔隙氣壓及超孔隙水壓的消散有一定的阻礙作用。

(4) 參數aa、aw與ba、bw對超孔隙壓力消散規律的影響效果完全相反。參數aa、aw可視作滲透阻力系數，而參數ba、bw可視為滲透系數。

(5) 參數aa、ba主要影響超孔隙氣壓的消散速率，而aw、bw主要影響超孔隙水壓的消散速率。當邊界參數aa≤0.1或ba≥5時，對應的邊界近乎完全透氣邊界；當aw≤0.1或bw≥5時，對應的邊界接近完全透水邊界。