透平式能量回收一體機水潤滑轉子穩定性研究

寧延強，李 巖，張德勝，葉曉琰，丁競飛

（江蘇大學 國家水泵及系統工程技術研究中心，江蘇鎮江 212013）

0 引言

海水淡化高壓泵與能量回收一體機［1-2］是膜法海水淡化系統節約能源、降低成本的核心部件。通過將泵葉輪與透平葉輪同軸連接，泵端提供超高壓海水，為海水通過半透膜提供必要條件，未通過半透膜的高壓濃鹽水則流入透平端，推動透平葉輪旋轉回收其壓力能。一體機主軸采用水潤滑軸承支撐，相比油潤滑更為環保、經濟，但由于水的黏度較低，因此對設計要求則更高。由于一體機要在高轉速下運行［3］，而水潤滑軸承-轉子系統［4-6］作為一體機的核心部件，對保障一體機的平穩運行起著至關重要的作用。

一體機的工作轉速高達20 000 r/min，且水潤滑形成條件苛刻，因此一體機中水潤滑轉子系統的穩定性分析［7-9］不可忽視。而對一體機中水潤滑轉子系統的研究僅停留在由單個水潤滑滑動軸承支撐，而未考慮口環間隙中水膜產生流體動壓潤滑效應對一體機內部轉子穩定性及臨界轉速的影響。目前對轉子的穩定性判斷有多種方式，主要包括實驗及數值計算。侯峰等［10］對雙螺桿制冷壓縮機轉子軸心軌跡波動特性進行了試驗研究；葉曉琰等［11］研究了不同半徑間隙下水潤滑軸承軸心軌跡的變化；ZHAO 等［12］對大長徑比下的水潤滑橡膠軸承進行實驗研究并確定其動力特性［13］；GAO 等［14］用CFD［15］軟件對水潤滑徑向滑動軸承流體動力潤滑承載能力進行分析，并提出了一種新型過渡弧軸承軸瓦，有利于提高水動力承載能力；DU 等［16］研究了不可壓縮層流靜壓軸承的動力學特性，將槽間流動連續方程從雷諾方程解耦，提高了計算效率；謝帆等［17］基于有限差分法計算了徑向滑動軸承油膜壓力分布；李超等［18］對考慮間隙影響的渦旋壓縮機轉子系統的動態特性進行了研究；LI 等［19］采用窄軸承理論求解滑動軸承液膜的非定常雷諾方程并計算了動力學特征系數；成金貴等［20］運用平均雷諾方程和固體接觸理論建立了止推軸承接觸面間摩擦潤滑理論模型并進行了試驗驗證；LI 等［21］推導了考慮五自由度運動時判別轉子穩定性的臨界質量快速計算公式。

綜上可知，現有研究均未考慮口環間隙水膜的動壓潤滑效應，且尚無證據表明該效應可以忽略。本文通過求解Reynolds 方程和轉子動力學特征方程，考慮口環間隙水膜動壓潤滑效應的影響，研究了一體機轉子系統的臨界轉速及系統的臨界質量，為保障海水淡化高壓泵與透平式能量回收一體機水潤滑轉子系統的穩定運行提供參考。

1 模型及參數

本文研究對象為海水淡化高壓泵與透平式能量回收一體機中水潤滑轉子系統，其結構如圖1所示。其轉子結構左端為透平葉輪，右端為泵葉輪，中間部分為水潤滑軸承，泵葉輪進口延伸段處的軸承為口環。一體機中轉子部件的主要結構參數見表1。

表1 水潤滑轉子系統結構參數Tab.1 Structural parameters of water lubricated rotor system

圖1 一體機水潤滑轉子系統結構示意Fig.1 Structure diagram of water lubricated rotor system of all-in-one machine

2 水潤滑軸承動靜特性分析

在一體機中，轉子系統的動力學特性與軸承的支撐特性密切相關，水潤滑滑動軸承及口環軸承的動力特性計算與分析是整個轉子系統的核心。

2.1 水潤滑軸承靜特性計算

水潤滑軸承原理如圖2 所示，A點為沿y軸逆時針轉動φ后的位置，?為偏位角，θ=φ-?，c為半徑間隙，則水膜厚度h=c+ecosθ，e為偏心距。

圖2 水潤滑軸承原理Fig.2 Schematic diagram of water-lubricated bearings

圖3 水膜網格劃分Fig.3 Water film meshing

水潤滑滑動軸承及口環軸承均屬于圓柱形流體動壓軸承，通過求解雷諾方程得到液膜壓力分布。無量綱化后的雷諾方程為：

式中，L為軸承長度；P為水膜壓力；R為軸頸半徑。

利用有限差分法計算水膜壓力，需對水膜進行正交網格劃分，將水膜劃分成m×n的網格，如圖（i，j）處節點的壓力，且ΓΔPλ=2/n，Δθ=（θH2-θ1）/m，3 所示，每一個節點有對應的坐標，Pi，j表示坐標為θ1為水膜起始角，θ2為水膜終止角。計算各節點的壓力求得壓力分布，將壓力分布以水膜表面進行積分求得水膜承載力。

為了提高計算精度，采用半步長差分法，對水膜端面采用第一類邊界條件，即λ=±1，P=0；水膜周向上采用雷諾邊界條件，即起始邊固定，則有θ=0，P=0；水膜終止邊自由浮動，并取P=0，?P/?θ=0。采用超松弛迭代法計算各個節點的壓力值，初始化各個節點壓力值為P=0，代入雷諾邊界條件，求解得到壓力分布。

為求解水潤滑軸承動力特性系數，需要確定軸承偏心率及偏位角并求得水膜承載力。將水膜承載力分解為x方向和y方向，分別用Fx，Fy表示，則有：

式中，Fx，Fy為無量綱水膜承載力；θ為水膜旋轉角，以x軸負方向為水膜角初始位置。

2.2 水潤滑軸承動特性計算

計算水潤滑軸承剛度阻尼動特性系數采用瞬態雷諾方程求解，對其無量綱化后可表示為［22-23］：

式中，ε'，ε?'為瞬時速度。

將式（4）依次對ε，?，ε'，ε?'求偏導得到擾動微分方程為：

由靜平衡位置及水膜壓力分布結合式（5）～（8）解得水膜擾動壓力，進而求解水膜的剛度阻尼系數：

由上式解得滑動軸承及口環軸承動特性系數。

將式（9）（10）化為直角坐標形式：

3 水潤滑轉子系統穩定性分析

在一體機中，當轉子受到擾動時能否保證系統平穩運行與轉子的穩定性密切相關。水潤滑轉子系統的穩定性可由求解轉子動力學特征方程，通過其特征值實部判別，并通過求解轉子系統臨界質量進行穩定性分析。

將一體機中轉子簡化為一維模型，由受力平衡、力矩平衡方程求得滑動軸承及口環軸承處所受到的壓力，受力分析如圖4 所示。其中G為軸質量，G1，G2分別為透平葉輪質量、泵葉輪質量，F1，F2分別為滑動軸承、口環軸承所提供的承載力。

圖4 轉子受力分析Fig.4 Rotor stress analysis

列出平衡方程為：

求解得F1，F2后，進而轉化為水膜承載力，分別解得滑動軸承剛度、阻尼矩陣K1，C1及口環軸承的剛度、阻尼矩陣K2，C2：

一體機轉子系統的動力學方程為：

式中，X為轉子的位置向量；M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；F為不平衡力。取F=0，則式（16）變為轉子自由振動模型，改寫為：

因此可得到轉子系統的特征方程為：

式中，ξ為特征方程的根，為轉子質量。

將式（18）展開可得：

式（21）的解即為系統的特征值，求得的特征值為兩對共軛的復根，即ξ=αi+im βi，其中αi（i=1，2，3，4）為特征值實部，im為虛數單位，β i為虛部。當α i＜0 時，系統為穩定運行狀態；當α i=0 時，系統處于穩定運行的臨界狀態；當α i>0 時，系統處于不穩定狀態，并求得系統臨界質量。

綜上所述，求解水潤滑轉子系統的穩定性流程如圖5 所示。

圖5 水潤滑轉子系統穩定性程序框圖Fig.5 Water lubricated rotor system stability program block diagram

4 驗證

結合文獻［24］中模型參數，選取與文獻相同的計算模型參數，軸承直徑為30 cm，間隙比為0.002，寬徑比為0.8，轉速為3 000 r/min，載荷為65 000 N。圖6 示出MATLAB 計算結果與文獻中計算結果對比，其中主剛度系數Kxx，Kyy誤差為4%～4.4%，交叉剛度系數Kxy，Kyx誤差為0.4%～4.3%，主阻尼系數Cxx，Cyy誤差為3.3%～4.6%，交叉阻尼系數Cxy，Cyx誤差為4.1%～4.2%?？紤]到計算過程中迭代算法和收斂準則等差異，會導致存在一定的結果偏差，計算結果與文獻中的結果基本吻合，驗證了本文計算結果的可靠性。

圖6 MATLAB 計算結果與文獻結果對比Fig.6 Comparison of MATLAB calculation results and literature results

5 結果分析

考慮口環軸承前、后，軸承水膜壓力分布如圖7 所示，對比可知滑動軸承處水膜壓力約減小了40%。當轉子系統考慮口環間隙水膜所產生的流體動壓潤滑效應后，口環軸承會承擔一部分支撐作用。由于在一定的載荷下，相應的水膜提供的承載力也是一定的，因此滑動軸承處水膜壓力的減小量近似于口環軸承水膜壓力的增量。

圖7 水膜壓力分布Fig.7 Water film pressure distribution

當一體機轉子系統考慮口環軸承后，滑動軸承及口環軸承的剛度系數隨著轉速變化規律如圖8 所示。兩軸承的主剛度系數各自近似相等，即K1xx=K1yy，K2xx=K2yy，隨著轉速增加，滑動軸承主剛度呈明顯線性遞增的趨勢，而口環軸承僅小幅增加?；瑒虞S承與口環軸承的交叉剛度系數均呈x軸對稱分布，即K1xy=-K1yx，K2xy=-K2yx，且滑動軸承的交叉剛度約為口環軸承的5 倍。隨著轉速增加，兩軸承的交叉剛度系數均增大。

圖8 剛度系數與轉速的關系Fig.8 The relationship between stiffness coefficient and rotational speed

當一體機轉子系統考慮口環軸承后，滑動軸承及口環軸承的阻尼系數變化曲線如圖9 所示。隨著轉速的增加，滑動軸承及口環軸承主阻尼系數無明顯變化。對于交叉剛度系數而言，當轉速＜15 000 r/min 時，系數變化較為明顯且呈減小趨勢；當轉速＞15 000 r/min 時，系數趨于穩定不再變化，且C1xy=C1yx，C2xy=C2yx。

圖9 阻尼系數與轉速的關系Fig.9 The relation between damping coefficient and rotational speed

考慮口環軸承前、后的動力特性系數分別為A，B，則動力特性系數變化率表示為：（B-A）/A×100%，則其變化率如圖10 所示?？紤]口環軸承后，系統動力特性系數均有所增加，系統交叉剛度系數及主阻尼系數增加量超過20%，主剛度系數和交叉阻尼系數增加5%左右。因此一體機轉子系統中口環軸承的存在有利于水潤滑軸承承載特性的提升。

圖10 動特性系數變化率Fig.10 Rate of change of dynamic characteristic coefficient

添加口環軸承后特征值變化曲線如圖11 所示，臨界質量變化曲線如圖12 所示。

圖11 特征值變化曲線Fig.11 Eigenvalue change curve

特征方程的解為2 個共軛負根，且有2 個實部，隨著轉速的升高實部1 呈現先減小后增大的趨勢，而實部2 單調遞減且恒為負值?？紤]口環軸承后，實部1 有所增加但上升趨勢減緩，故而臨界穩定狀態時的轉速增加。隨著轉速增加，系統的臨界質量逐漸減小，在一體機工作轉速下，考慮口環軸承支撐后系統的臨界質量將提升8.4%左右。因此未考慮口環軸承將導致系統臨界轉速和臨界質量的計算產生誤差，從而影響水潤滑轉子系統穩定性設計的準確性。

不同長徑比下水潤滑轉子系統臨界質量變化如圖13 所示，長徑比的增加使得系統的臨界質量增加，且在低轉速下臨界質量受長徑比的影響較為明顯，這是由于軸承的剛度增加，承載性能有所提升，增大軸承的長徑比有利于提高系統穩定性。

圖13 不同長徑比的臨界質量Fig.13 Critical mass of different length diameter ratio

不同半徑間隙下的水潤滑轉子系統臨界質量變化如圖14 所示，隨著軸承半徑間隙的增加，系統的臨界質量逐漸降低，軸承的承載能力下降導致系統在高轉速下運行不穩定，因此采用減小半徑間隙的方法來提升系統的臨界質量，且臨界質量隨半徑間隙的降低呈現非線性增加，半徑間隙越小，臨界質量的增量越大。

圖14 不同半徑間隙的臨界質量Fig.14 Critical mass of gap with different radius

6 結論

（1）當未考慮口環間隙水膜時，滑動軸承水膜將會承受更高的壓力；而考慮口環軸承則降低了滑動軸承的偏心率，有利于提高系統的穩定性。

（2）當未考慮口環軸承時，水潤滑轉子系統動特性系數的求解準確性將會降低；考慮口環軸承后，其動特性系數均有所增加，其中交叉剛度系數及主阻尼系數增幅超過20%，主剛度系數與交叉阻尼系數增加約為5%，且隨轉速的增加趨于穩定。

（3）當未考慮口環軸承時系統的臨界轉速和臨界質量的求解結果存在一定偏差，均比考慮口環軸承時有所減小，其中系統的臨界轉速減小7%，臨界質量減小8.4%。因此，考慮口環間隙水膜的動壓潤滑效應可提高一體機水潤滑轉子系統的穩定性。

（4）適當增加軸承的長徑比、減小半徑間隙可以有效提高其承載性能和臨界質量，有助于增強其轉子系統的穩定性。