TPACK視角下初中數學微項目學習設計與實施
——以“函數在優化家庭儲物空間中的應用”為例

◎ 龔 笛

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《2022 版課標》）中指出，要注重信息技術與數學教學的融合，重視大數據、人工智能等對數學教學改革的推動作用，改進教學方式，促進學生學習方式轉變。TPACK 模型作為信息時代教師所需的新知識框架，整合了技術、學科內容和教學方法，為教學改革提供了新的視角。初中數學作為一門基礎學科，需要不斷探索新的教學方式，以適應時代發展的需要。本文利用數字化學習平臺，將技術整合到數學建模的過程中，提高教學效果和學習體驗。以微項目引領、小組討論、任務驅動的方式進行探究式教學，學生經通過動手實驗理解函數概念，構建數學模型得出解決方案，培養學生數據觀念、模型觀念和應用意識等數學核心素養。

一、基于TPACK 框架的初中數學微項目學習設計流程

（一）TPACK 框架簡介

1985 年，舒爾曼提出了PCK，試圖從專業能力維度給出教師專業發展的一些重要指標。2005 年，科勒與米什拉引入技術知識，指出需要結合特定的教學情境來理解教師的發展，特別強調了信息技術的重要作用［1］，由此，TPACK 框架成型。TPACK 是一套符合信息技術時代教師專業發展需要的專業知識體系，它是由CK（學科知識）、PK（教學法知識）、TK（技術知識）、PCK（學科教學知識）、TCK（整合技術的學科知識）、TPK（整合技術的教學法知識）和TPACK（整合技術的學科教學知識）等七個部分組合而成，各個元素之間的關系如圖1 所示［2］。TPACK 追求的是在學科教學的過程中，將信息技術與學科進行整合。TPACK 框架下的數學教學，要求教師應以CK、PK、TK 三個核心要素為基礎，運用整合技術的數學教學知識（TPACK）進行教學［3］。

圖1 TPACK 框架圖

為進一步提升教育現代化的水平與質量，上海市黃浦區在區域層面系統推進指向核心素養的項目化學習，引領學生走向真實的學習。在探索、實踐、行動研究的基礎之上，提出了實踐層面的概念框架AKAI 循環，即激活（Activation）—新知（Knowledge）—應用（Application）—整合（Integration），如圖2所示［4］。

圖2 概念框架AKAI 循環

教師應用AKAI 模型設計數學微項目時，先對微項目涉及的數學學科知識（CK）進行分析，確定以核心素養為導向的教學目標，再選擇合適的教學法（PK）和信息技術支撐軟件（TK）。接著對這三個要素進行整合，運用整合技術的數學知識（TCK）創設情境，提出問題，激發學生的學習興趣和求知欲；運用學科教學知識（PCK）采用問題式教學和探究式教學，學生以實踐操作、合作探究等形式在解決問題的過程中完成對新知的建構和理解；運用整合技術的教學法知識（TPK）提供更加豐富、靈活、個性化的學習方式和資源，改變教師角色由知識的傳授者轉變為指導者，整合技術的學科教學知識（TPACK）確定教學環節，再進行教學實施和綜合性評價，最后反思總結，具體流程如圖3 所示。

圖3 基于TPACK 的教學設計流程圖

二、TPACK 視角下的微項目學習案例教學設計解析

基于TPACK 視角下的微項目學習設計的維度與流程，筆者在滬教版八年級數學教材第18 單元“正比例函數與反比例函數”單元教學設計的基礎上，設計的以“函數在優化家庭儲物空間中的應用”為題的微項目為例，進行深入的可行性分析與內涵研究。

《2022 版課標》中有三個涉及模型的數學核心素養，分別是模型意識、模型觀念、數學建模，它們是一個整體在不同階段的等級。初中階段的模型觀念具有承上啟下的作用，在平時的教學過程當中，主要是通過應用問題培養模型意識，問題的開放性都很低，而本設計基于單元整體教學，在模型觀念的統領下，以正比例函數知識為背景，根據實際情境提出開放性問題，通過教學過程的推進，完整體驗數學建模的基本過程，為未來學習數學建模奠定基礎。

《2022 版課標》指出應用意識主要是指有意識地利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象與規律，解決現實世界中的問題。也就是說，學生從數學的角度，用數學的語言、知識、思想方法描述、理解和解決各種問題，數學能力不僅僅在于掌握數學知識的多少，解決數學難題的多少，重要的是要看是否會利用數學知識和數學思維去解決實際問題，以及形成學習新知識的能力和適應社會發展的需要。

（一）學科內容知識的整合（CK）

本微項目的設計立足單元教學設計，進一步強化對函數概念的理解：函數是描述變量之間依賴關系的重要數學模型，是數學學習的基礎；還需要了解函數的定義、函數的表示方法、正比例函數的相關知識等。在此基礎上，實驗階段整合科學、物理學科的知識和技能，建模階段整合概率統計領域知識，解決問題階段注重與實際應用的聯系，讓學生感受到函數在實際生活中的應用價值。

（二）教學法知識的整合（PK）

微項目學習強調學生的主動性和探究性，因此本案例中采用實驗探究、創設情境、任務驅動、動手實踐、小組討論等多種教學方法。先以一個真實的情境“根據家庭洗手液的使用量情況估計洗手液用完的時間，綜合其他因素確定洗手液的補貨時間，使得家庭儲物空間最優化”貫穿始終，激發學生解決問題的興趣。再以任務為導向，以知識點為紐帶，將教學內容設計成多個具體的、可操作性強的任務，學生緊密圍繞任務活動，在教師的引導下，實現知識的內在構建，提高學生真實問題的解決能力。

（三）技術知識的整合（TK）

本微項目的數學建模的學習中，數據處理、圖表繪制是基本能力，列統計表、畫各類統計圖、復雜的數值計算可以借助Excel、GeoGebra 等軟件快速、準確地解決。

（四）技術與學科的整合（TCK）

本微項目學習中學生通過收集實驗數據、分析實驗數據抽象出數學問題，用函數的方法研究洗手液累計使用量與實驗天數兩個變量之間存在的數量關系和變化規律；學生在引導下借助“墨水屏”終端上的GeoGebra 數學軟件繪制散點圖，進而猜想得到正比例函數模型，利用統計學方法——最小二乘法建立優化的函數模型，并繪制函數圖像，數字化學習平臺將整個活動中的操作、思維可視化，形成模型觀念，體驗數學建模，這樣可以讓學生更加深入地理解函數的概念和性質，同時也可以培養學生的綜合思維能力和實踐能力。

（五）教學法與學科的整合（PCK）

本微項目實踐時，課前和課中學生在實驗測量、數據記錄、數據分析、繪制散點、建立模型、優化模型、檢驗模型等任務驅動下，經歷運用函數這一數學學科知識概念，構建數學模型并給出相應的解決方案，發展數據觀念、模型觀念和應用意識等數學核心素養。

（六）技術與教學法的整合（TPK）

本微項目在技術方面整合學生“墨水屏”終端和“人人通”學習平臺，構建數字化學習環境?！叭巳送ā睂W習平臺可以連接教室希沃一體機，播放視頻、課件等教學資源，也可以實現直接在平臺上書寫板書、推送板書、學生演示等功能，學生“墨水屏”終端支持獲取板書、自定義筆記、資源共享、用GeoGebra 軟件繪制函數圖像等功能。利用數字化技術提供更加豐富、靈活、個性化的學習方式和資源，使教師角色由知識的傳授者轉變為指導者。另外，通過數字化評估方式和反饋機制關注學生的學習過程，實現形成性和表現性評價，從而引導學生主動探究、實踐創新。

三、TPACK 視角下的微項目學習案例教學設計與實施

（一）教學環節

【環節一】創設情境，提出問題

觀看視頻，提出問題：“你家洗手液應該什么時候購買，家庭儲物空間才達到最優化呢？”

設計意圖：引發興趣和動機，激活前概念和既有經驗；引入問題情境，組織頭腦風暴。

【環節二】實驗分享，分析數據

學生課前活動：實驗記錄每個學生家庭一周7 天每天的洗手液使用量并計算累計使用量，完成“家庭洗手液使用量”實驗記錄表的填寫，詳見表1。

表1 “家庭洗手液使用量”實驗記錄表

分享討論：①你是如何測量的？實驗過程中碰到的困難和解決方法是什么？②分析實驗數據，你覺得有哪些規律？

設計意圖：通過整合科學、物理學科的知識和技能進行實驗測量、數據記錄、數據分析，引導學生運用函數這一數學學科知識概念研究問題，培養學生數據觀念。

【環節三】繪制圖形，建立模型

（1）小組討論：如何用所學的函數表示法呈現洗手液累計使用量y（克）與時間天數x（天）之間的變化規律？

（2）繪制散點圖：①將7 天實驗數據形成的7 個點標記在直角坐標系中，形成散點圖；②預測第8 天和第9 天洗手液累計使用量對應的2 個點的位置。

設計意圖：學生嘗試操作繪圖，借助“墨水屏”終端上的GeoGebra數學軟件繪制散點圖，進而猜想得到正比例函數模型。

【環節四】交流討論，優化模型

（1）小組討論：你覺得正比例函數模型y=kx（k ≠0）中比例系數k 在本問題中如何確定呢？

（2）簡單介紹一種常用的統計分析方法——最小二乘法。

（3）計算“一周7 天平均每天的洗手液使用量”，建立函數模型。

（4）利用GeoGebra 軟件繪制所建立的正比例函數模型的圖像，并觀察討論散點與所畫直線的位置關系。

（5）教師演示繪制基于整個班級實驗測量數據建立的函數模型的圖像，觀察討論散點與所畫直線的位置關系。

（6）歸納：更多的實驗數據，可以更全面地揭示潛在規律，并有助于更準確地解釋某些現象。

設計意圖：利用最小二乘法建立優化的函數模型，師生共同運用GeoGebra 數學軟件繪制函數圖像，數字化學習平臺將活動中的操作、思維可視化，讓學生形成模型觀念、體驗數學建模。

【環節五】數形結合，檢驗模型

（1）計算第8、第9 天洗手液的累計使用量和這瓶洗手液用完的時間。

（2）描出第8、第9 天2 點的位置，對比之前預測的2 點的位置。

（3）討論：你得到哪些結論？

設計意圖：應用建立的函數模型求出結果并討論結果的意義，從而對現實問題做出估計；并用GeoGebra 數學軟件驗證之前的預測。

【環節六】應用模型，解決問題

通過“制訂洗手液購置儲存計劃還需要考慮哪些問題呢？”這一小組討論活動，交流解決問題的方案。

設計意圖：整合多領域知識與應用情境適配性問題，為后續制訂洗手液購置儲存計劃提出建議，發展應用意識。

【環節七】總結歸納，拓展提升

（1）總結歸納：①數學建模的基本過程；②解決問題過程中涉及的數學思想方法；③數學建模的意義和價值。

（2）討論：本節課建立函數模型的方法能在其他現實情境中進一步推廣嗎？

設計意圖：啟發學生從各個方面自主小結；引導學生遷移知識，拓展數學建模的領域，為未來學習數學建模奠定基礎。

【環節八】及時反饋，綜合評價

利用學習平臺，根據評價量表，進行綜合評價，詳見表2。

表2 綜合評價維度量表

設計意圖：運用數字化評價方式和反饋機制關注學生的學習過程，實現形成性和表現性評價，從而引導學生主動探究、實踐創新，最后采用學習平臺上的“課堂打分”功能及時直觀反饋評價數據。

【環節九】作業布置，任務延伸

（1）課堂上通過建立正比例函數模型預測家中洗手液用完的時間，那么事實是怎么樣的呢？請學生回家實驗驗證。

（2）測量、計算家庭洗手液儲物空間，調查、確定各品牌洗手液最佳購置計劃，進而制訂洗手液購置儲存計劃。

（3）使用本節課所學的建模方法，選擇家中其他日用品作為研究對象，進一步優化家庭儲物空間。

設計意圖：作業的設計是課堂的延續也是后續優化項目設計的基礎，借助數字化學習平臺發布探究型任務，便于收集時間跨度大的作業；支持照片、視頻等多形式的作業提交；統計作業結果、實現綜合評價。

（二）教學反思

在實施過程中，我們采用了微項目學習的方式，以家庭儲物空間優化為真實情境，通過建立函數模型，應用建立的模型求出結果并討論結果的意義，從而對現實問題做出估計，提出解決方案，培養學生的數學應用能力和創新思維。

在本次教學實踐中，筆者融合多種現代化的教學技術，如學習平臺、GeoGebra 數學軟件、多媒體教學軟件等，將抽象的數學知識與實際生活相結合，通過直觀的圖像和視頻，幫助學生更好地理解函數建模的過程。數字化技術的運用，不僅提高了學生的學習興趣，也增強了他們對知識的理解和掌握。

從課堂反饋來看，大部分學生對本次教學表現出濃厚的興趣，他們積極參與到課堂討論和項目中，對函數在儲物空間優化的應用有了更深入的理解。同時，學生在解決實際問題的過程中，也鍛煉了他們的團隊協作能力和創新思維。

四、結語

本文從TPACK 視角出發，探討了初中數學微項目學習設計與實踐，以“函數在優化家庭儲物空間中的應用”為例，精心設計并實踐了一種結合了技術、學科和教學法的微項目學習模式。數字化技術支撐下的微項目學習能夠有效地提高學生的學習積極性和學習效果，通過實際操作和應用，學生能夠更深入地理解和掌握數學知識，并能夠在日常生活中應用這些知識解決實際問題，這樣能有效地促進學生的學習和提高學生的問題解決能力。

當前，為跟進新課程的理念，教育數字化技術與數學課程正深度融合，本文不僅提供了一種新的視角來看待初中數學教育，也提供了一種新的教學方式。學生將現實情境數學化，用數學眼光觀察世界；結合數學知識與數字化技術解決問題，用數學思維思考世界、用數學語言表達世界，深入培養對學生未來學習至關重要的創新思維和實踐能力。

未來，筆者可以進一步思考如何更好地將TPACK 模型與微項目學習相結合，以實現教學效果的最優化；如何更好地利用數字化技術提高微項目學習的效率和質量；如何更好地培養學生的創新能力和實踐能力等。同時也需要不斷實踐和總結經驗教訓從而不斷完善和提高TPACK 視角下微項目學習的設計與實踐水平。