單/雙站輔助的干涉儀標校與選站方法

宋逸豪 黃普明 劉波 馮雪峰 李帥 張千

摘 要：????? 傳統的固定基線干涉儀多誤差聯合標校方法需要三個以上的標校站才能實現干涉儀的在軌實時標校， 但是在標校站數量不足時傳統方法性能將降低甚至失效。 針對標校站數量不足的情況， 本文提出一種固定基線干涉儀單/雙站標校算法。 在干涉儀與標校站之間存在相對運動的條件下， 首先通過多次測量獲得一組標校信號相位差， 其次利用所得相位差列出關于干涉儀各項系統誤差的方程組， 最后使用Penrose逆矩陣輔助的迭代最小二乘法求解出各項系統誤差值。 仿真結果驗證了所提算法的可行性。 在此基礎上， 針對標校站選址對標校后干涉儀定位性能影響的問題， 分解標校站選址的各項指標， 通過數值仿真的方式， 定性分析了標校站選址的各個參數對干涉儀定位精度的影響。 分析結果表明， 單站情況下位于星下點附近的標校站或雙站情況下相距較遠的兩個標校站均能讓標校后的干涉儀獲得更優的定位性能。

關鍵詞：???? 干涉儀; 標校; 系統誤差; 單站; 雙站

中圖分類號：??? ??TJ760； TN971

文獻標識碼：??? A

文章編號：??? ?1673-5048（2024）01-0122-06

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2023.0089

0 引? 言

干涉儀測向方法是無源測向定位的重要手段之一， 它通過對到達波信號到達不同接收器之間的相位差進行處理來獲取到達波的到達方向， 進而計算出輻射源的位置［1-3］。 干涉儀具有較高的測向精度且可以實現單脈沖測向， 因此被廣泛地應用于聲吶、 雷達等電子偵察相關領域。 不過， 受限于器件、 設備的工藝水平和機械結構的控制水平等， 在復雜環境的影響下， 工作過程中的干涉儀會存在多項系統偏差， 對測向精度產生較大的影響。 例如， 各個接收通道之間的幅/相不一致性會導致測量相位差出現偏差； 連接桿的伸縮、 旋轉等活動會造成兩陣元間基線的長度和角度出現偏差； 干涉儀平臺對本身姿態的控制和測量也會存在一定的偏差。 這些偏差最終都會影響到兩通道間接收信號相位差的測量結果， 對波達方向的估計產生影響， 造成測向精度的降低。

為了提高測向精度， 干涉儀需要對自身的各種誤差進行標定和校正（簡稱標校）。 許多學者對此進行了深入研究。 文獻［4］研究了干涉儀的靜態標校方法； 文獻［5］通過求解線性方程組在兩個標校站的輔助下校正了干涉儀的空間指向； 文獻［6］使用總體最小二乘法分別在靜態標校和動態標校的條件下分離了接收信號中的目標信號與噪聲， 對接收通道進行了校正； 文獻［7］利用干涉儀自身的運動特性通過單個長基線測量模糊相位差， 聯合估計出輻射源位置和相位差偏差； 文獻［8］提出了一種標校站輔助的對不同系統誤差的非線性最小二乘聯合估計方法， 能同時有效估計出多種系統誤差； 文獻［9］利用迭代最小二乘法對旋轉干涉儀的多種系統偏差進行校正， 提升了系統性能。

以上研究成果能夠滿足常規環境下的干涉儀標校需求， 但是固定基線干涉儀的多項系統誤差需要用到多個標校站輔助標校工作。 考慮到星載干涉儀可偵察范圍大， 在有偵察需求時波束范圍內可能沒有足夠數量的標校站， 于是有必要討論依托僅有的標校站或者其他位置、 信號已知的廣播站（如電視臺）等來輔助完成標校工作。 本文開展了在干涉儀波束范圍內僅有一個或兩個標校站時的干涉儀標校算法研究， 提出了一種適用固定基線干涉儀單/雙站的多誤差聯合標校算法。 考慮到星載干涉儀可以通過姿態控制調整波束方向， 本文討論了在衛星可視范圍內存在多組可選擇的標校站時的選站問題， 定性分析了標校站布局對干涉儀定位精度的影響。

1 干涉儀誤差模型分析

根據干涉儀測向原理［10］， 兩陣元接收到信號間的無模糊相位差為

式中： c為光速； f為來波頻率； d為基線長度； u為本體坐標系下的目標視線單位矢量； b為干涉儀基線的單位矢量。 假設在測量時刻基線在本體坐標系下的旋轉角或方位角為ζ， 俯仰角為ξ， 那么干涉儀基線的單位矢量b可以表示為

假設在測量時刻主陣元的位置坐標為xO， 目標的位置坐標為xT， 那么本體坐標系下的目標視線單位矢量u可以表示為

由式（1）～（3）可知， 能夠影響干涉儀定位的誤差有： 測量相位差誤差、 信號載頻測量誤差、 基線長度誤差、 基線的方位角誤差、 基線的俯仰角誤差以及平臺位置誤差。 誤差由系統誤差和隨機誤差兩部分組成。 系統誤差由器件本身造成， 可以認為在一次測量的多次采樣過程中是保持不變的； 隨機誤差由測量過程中的各種不穩定隨機因素造成， 每次采樣都會產生不同的隨機誤差。 標校工作的目的是標定和校正干涉儀的系統誤差。

在典型應用條件下， 信號載頻測量誤差和平臺位置誤差對定位結果的影響較小， 通常在標校過程中可以忽略； 基線長度誤差和基線的方位角誤差對定位結果影響較大， 在標校過程中應考慮予以校正； 測量相位差誤差和基線的俯仰角誤差對定位結果影響最大， 在標校過程中必須得到校正［8］。 因此， 標校工作一般會考慮基線的長度誤差、 方位角誤差和俯仰角誤差以及測量相位差誤差4項系統誤差。

其中， 基線的長度誤差、 方位角誤差和俯仰角誤差由干涉儀安裝過程中的測量和安裝精度、 干涉儀本身和所在平臺自身姿態的控制精度共同決定； 測量相位差誤差是整個接收環節中各器件工作產生的幅相誤差累加而成， 包括接收天線、 接收機、 鑒相器以及連接各器件的饋線產生的各類誤差。 由于基線的長度、 方位角和俯仰角無需實時測量， 因此可以認為在一次測量過程中這三者的隨機誤差為0。 用下腳標t的變量符號來表示該變量的真值， 否則表示該變量的測量值， 則有

式中： Δd， Δξ， Δζ， Δφ分別為基線長度、 方位角、 俯仰角以及測量相位差的系統誤差； δφ為測量相位差的隨機誤差， δφ服從均值為0、 方差為σ2的高斯分布。 在考慮誤差后， 兩陣元接收到信號間的無模糊相位差為

由式（5）可知， 如果能對各項系統誤差進行精確估計， 就能有效提升干涉儀定位的精度。

2 系統誤差聯合估計方法

假設標校站的位置和發射信號頻率已知， 向運動中的干涉儀不間斷地發送標校信號， 干涉儀可以通過導航系統得知自身的位置。 在接收到標校信號后， 通過比較測量到的標校信號相位差與計算得到的理論標校信號相位差， 干涉儀可以對各個系統誤差量進行估計。 通過將系統誤差的估計值與原本的測量值相加， 即可得到標校后真值的估計值。 為了減小運算量， 并提高估計精度， 本文使用高斯-牛頓法（G-N法）對系統誤差值進行估計。

設定系統誤差向量為

Δ=ΔdΔξΔζΔφT （6）

bΔ為考慮誤差后的基線單位矢量記， 即

那么， 在某次測量中的測得的第i個標校站發出信號的第n次采樣得到的無模糊相位差為

將式（8）在Δ0=Δd0Δξ0Δζ0Δφ0T處泰勒展開， 忽略隨機誤差項， 可以得到

式中： bΔ0為bΔ在Δ0處的值， 即

bΔξ0和bΔζ0分別為bΔ在Δ0處對Δξ和Δζ求導的結果， 即

記

將式（13）代入式（9）， 保留一階項， 則有

φi， n=gi， n（Δ）|Δ0=C0+（Δd－Δd0）C1+

（Δξ－Δξ0）C2+（Δζ－Δζ0）C3+

（Δφ－Δφ0）C4（14）

經整理可得

C1Δd+C2Δξ+C3Δζ+C4Δφ=φΔ－C0+C1Δd0+C2Δξ0+C3Δζ0+C4Δφ0 （15）

令

在標校測量過程中， 對每個標校信號的每次采樣都能得到一組Ai， n和Bi， n。 將測量得到的所有采樣結果結合， 可得到如下兩個矩陣：

通過式（17）兩個矩陣可聯立得到關于干涉儀系統誤差的一階線性擬合方程組， 即

ΑΔ=Β（18）

由于隨機誤差的存在， 使得直接求解式（18）方程會得到偏差較大的解。 用最小二乘法求解該方程可得到干涉儀系統誤差的估計：

當標校站數量較多時， 由于每個標校站的目標視線向量間存在較大的夾角， 在多次采樣后方程系數矩陣A可以達到滿秩狀態， 此時ATA為一個非奇異方陣， 它的逆矩陣存在且唯一。 隨著標校站數目的減少， 直至只有一個或兩個標校站時， 每次采樣的目標視線向量間只會由于干涉儀平臺自身運動而產生微小的角度變化。 由于隨機誤差的存在， 在采樣間隔較小時， 多次采樣后的方程系數矩陣A存在非常相近的特征向量， 此時ATA會近似成一個奇異方陣， 致使式（19）無法求解。

為了解決上述問題， 本文用ATA的Penrose逆代替其逆矩陣代入式（19）中進行運算。 Penrose逆是矩陣的廣義逆的一種， 它同時滿足全部Moore-Penrose條件［11］。 對于任意方陣， 它的Penrose逆存在且唯一。 當該方陣非奇異時， 其逆矩陣與Penrose逆相等。 本文利用奇異值分解的方法來求取矩陣的Penrose逆。

令P=ATA， 設定奇異值容差， 對P進行奇異值分解：

式中： S為對角陣， 對角線上的值為從大到小排布的矩陣特征值， 即S=diag{σ1， σ2， …， σr}。 將大于容差的特征值組成的對角陣記為S1， 其余的記為S2。 U1、 U2和V1， V2為相應的酉矩陣。 將S2中的奇異值近似為0， 則有

P=U1S1VH1（21）

因此， 可以求得P的Penrose逆為

P+=V1S-11UH1（22）

將式（22）代入式（19）可得， 對于單個或兩個標校站也可適用的干涉儀系統誤差的估計結果為

一次最小二乘法求解得到的結果往往與真實值仍具有一定的偏差， 使用迭代運算可以減小這個偏差。 將本輪運算得到的系統誤差結果作為下一輪運算的系統誤差初值， 每輪運算結束后比較本輪與上一輪的運算結果， 若差值小于設定門限值或迭代次數達到設定門限， 則將本輪運算結果作為計算所得的系統誤差結果輸出。

本文干涉儀系統誤差估計方法的主要流程如下：

步驟1： 將系統誤差Δ的初始值設為0；

步驟2： 根據式（16）～（17）得到方程的系數矩陣A和B， 并列出方程（18）；

3 仿真分析

為了評估本文所提的干涉儀標校算法性能， 對算法進行數值仿真。

設定搭載干涉儀的衛星平臺飛行在距地面800 km高度的圓軌道中， 此時衛星的飛行速度為7.45 km/s。 將地面近似為一個平面處理。 設定零時刻衛星在地面上的投影為坐標原點， 衛星飛行方向為x軸正方向， z軸垂直于地面所在平面指向上。 星上搭載一個十字基線干涉儀， 四條基線的長度依次為1.1 m， 1.2 m， 2.1 m， 2.0 m， 方位角依次為0°， 90°， 180°， 270°， 俯仰角均為0°。 設定系統誤差如下： 最大測量相位差誤差為15°、 最大基線長度誤差為4 mm、 最大基線方位角誤差為0.15°、 最大基線俯仰角誤差為0.15°， 每條基線的每項系統誤差獨立， 服從均值為0的均勻分布。 設定測量相位差的最大隨機誤差為5°， 每條基線每次采樣結果獨立， 且服從均值為0的正態分布。

為了能夠更加準確地分析算法， 本文采用Monte- Carlo試驗對算法進行仿真， 并通過仿真結果的均方根誤差（RMSE）來進行評估。

假設地面上存在一個非合作目標輻射源和若干個已知的標校輻射源。 非合作目標輻射源在每次試驗時隨機位于距離原點800 km內的某處， 信號頻率為4～6 GHz的隨機值； 標校輻射源在每次試驗時隨機散布在距離原點400 km的范圍內， 標校信號頻率為（6+0.15i）GHz， 其中i為標校站序號。 設定干涉儀每0.2 s對到達信號進行一次采樣并獲得測量相位差， 每次測量進行300次采樣， 進行500次Monte-Carlo試驗， 當標校站數量由0個（不進行標校）逐步增加到4個時， 使用各種方法標校后對非合作目標定位距離偏差的RMSE如圖1所示。 可以看出， 相較于其他文獻中提到的只對某項進行校正的方法， 本文提出的對多誤差聯合校正的方法能夠有效提高定位精度， 并解決了傳統的多誤差聯合校正方法中在單/雙站情況下難以解算的問題。

由于測量相位差隨機誤差的存在， 在相同采樣次數的條件下， 更多的標校站能提供更多的采樣數據， 因此相較于標校站較少的情況能得到更好的標校結果。 圖2展示了在保持采樣總時間不變的前提下， 通過改變采樣頻率以調整總采樣點數后， 使用本文所提的標校算法標校后對非合作目標定位距離偏差的RMSE。 可以看出， 對于單站和雙站， 通過減小采樣間隔來增加采樣點數， 能夠有效提高定位精度。

4 選站方案分析

4.1 單標校站選站方案分析

在波束范圍內只有一個可用的標校站時， 標校站的位置可以用站與星下點之間的距離以及站與星下點連線同衛星運動方向之間的夾角兩個維度來表征， 因此用極坐標來描述標校站的位置。? 干涉儀與衛星平臺的設定與仿真分析時的設定相同， 同時保持相同的系統誤差與隨機誤差的設定， 分別對標校站在不同距離和夾角的情況下干涉儀標校后的定位精度進行仿真， 圖3為距離對定位精度的影響， 圖4圖為夾角對定位精度的影響。

由于隨機誤差的存在， 仿真結果存在一定的抖動， 不過仍然能夠看出相應變量對定位精度影響的趨勢。 為了使趨勢更加清晰明確， 對單標校站與星下點距離對定位精度影響的仿真結果進行了線性擬合， 對單標校站與星下點連線夾角對定位精度影響的仿真結果進行了正弦曲線擬合， 可以認為， 擬合過后的曲線能夠代表相應變量變化對結果帶來的影響趨勢。

由圖可以看出， 在單標校站的條件下， 標校站位置距離星下點的距離越遠， 干涉儀的定位精度越低； 標校站和星下點之間的連線與干涉儀平臺飛行方向所在直線的夾角越小， 干涉儀的定位精度越高。 從定位精度的變化率分析， 標校站位置與星下點之間的距離對定位精度的影響更大。 因此， 當只有單標校站可以選擇時， 應優先選擇距離星下點距離近的標校站。

4.2 雙標校站選站方案分析

為了方便討論兩個標校站位置對干涉儀定位精度的影響， 將每個標校站的位置由下列4項數據來表示： 兩標校站連線中心與原點之間的距離L、 兩標校站連線中心到原點的連線與衛星飛行方向之間的夾角α、 兩標校站之間的距離D、 兩標校站連線與衛星飛行方向所在直線之間的夾角β， 具體如圖5所示。

通過仿真分析可知， 當存在多組雙標校站可供選擇時， 兩個標校站之間距離對標校后定位精度的影響最大， 為了能夠在標校后達到更好的定位精度， 應當優先選擇兩個標校站之間距離較遠的那一組； 標校站連線中心到原點之間距離也對標校后的定位精度有一定的影響， 距離較近的一組能夠得到更優的定位精度； 兩標校站連線中心到原點的連線與衛星飛行方向之間的夾角與兩標校站連線與衛星飛行方向所在直線之間的夾角對標校后的定位精度基本沒有影響。

5 結 束 語

本文針對干涉儀的單站和雙站標校開展了研究， 提出了一種干涉儀單站和雙站標校的算法， 算法基于干涉儀多次測量的數據， 利用Penrose逆矩陣輔助的迭代最小二乘法求解出各項系統誤差值， 并通過數值仿真的方法對單站和雙站情況下干涉儀標校站的選站方案做出了定性的分析。 結果表明： 單站情況下位于星下點附近的標校站能讓標校后的干涉儀獲得更優的定位性能； 雙站情況下相距較遠的兩個標校站能讓標校后的干涉儀獲得更優的定位性能。

參考文獻：

［1］ 潘玉劍， 宋慧娜. 基于混合基線的任意平面陣列干涉儀測向方法［J］. 電子與信息學報， 2021， 43（12）： 3703-3709.

Pan Yujian， Song Huina. Direction Finding Method with Arbitrary Planar Array Based on Mixed Baselines［J］. Journal of Electronics & Information Technology， 2021， 43（12）： 3703-3709. （in Chinese）

［2］ 張敏， 張文俊， 李曦， 等. 基于長基線干涉儀相位差的多站無源定位方法［J/OL］. 電子與信息學報， 2023. DOI： 10.11999/JEIT221362.

Zhang Min， Zhang Wenjun， Li Xi， et al. Passive Localization by Multiple Observers Based on the Phase Difference of the Arrival of a Long Baseline Interferometer［J/OL］. Journal of Electronics & Information Technology， 2023. DOI： 10.11999/JEIT221362. （in Chinese）

［3］ Li S， Liu Y S， You L， et al. Covariance Matrix Reconstruction for DOA Estimation in Hybrid Massive MIMO Systems［J］. IEEE Wireless Communications Letters， 2020， 9（8）： 1196-1200.

［4］ 章宏權， 黃劼. 機載干涉儀陣列地面靜態標校系統研究［J］. 新型工業化， 2015， 5（6）： 59-64.

Zhang Hongquan， Huang Jie. Research on Static Ground Calibration System of Airborne Interferometer Array［J］. The Journal of New Industrialization， 2015， 5（6）： 59-64. （in Chinese）

［5］ 鐘丹星， 楊爭斌， 周一宇， 等. LBI測向定位系統的多標校源校正算法［J］. 系統工程與電子技術， 2008， 30（5）： 960-963.

Zhong Danxing， Yang Zhengbin， Zhou Yiyu， et al. Multi-Source Calibration for LBI Direction Finding and Location System［J］. Systems Engineering and Electronics， 2008， 30（5）： 960-963. （in Chinese）

［6］ 丁藝凱. 干涉儀通道誤差校正及信號采集電路設計［D］. 西安： 西安電子科技大學， 2010.

Ding Yikai. Interferometer Channel Error Correction and Signal Acquisition Circuit Designing［D］. Xian： Xidian University， 2010. （in Chinese）

［7］ 張敏， 郭福成， 周一宇， 等. 運動單站長基線干涉儀自校正定位方法［J］. 宇航學報， 2013， 34（9）： 1266-1273.

Zhang Min， Guo Fucheng， Zhou Yiyu， et al. A Single Moving Observer Auto-Calibrated Localization Method Using LBI［J］. Journal of Astronautics， 2013， 34（9）： 1266-1273. （in Chinese）

［8］ 何朝鑫， 張敏， 郭福成. 基于多標校站的干涉儀系統誤差校正方法［J］. 航天電子對抗， 2015， 31（3）： 1-5.

He Chaoxin， Zhang Min， Guo Fucheng. Calibration Method of Interferometer Based on Multiple Known Emitters［J］. Aerospace Electronic Warfare， 2015， 31（3）： 1-5. （in Chinese）

［9］ 蘇成曉， 郭輝， 徐海源， 等. 旋轉干涉儀定位體制系統誤差標校方法［J］. 航天電子對抗， 2021， 37（3）： 28-30.

Sun Chengxiao， Guo Hui， Xu Haiyuan， et al. Calibration Method of Rotating Interferometer Positioning System［J］. Aerospace Electronic Warfare， 2021， 37（3）： 28-30. （in Chinese）

［10］ 郭福成， 樊昀， 周一宇. 空間電子偵察定位原理［M］. 北京： 國防工業出版社， 2012.

Guo Fucheng， Fan Yun， Zhou Yiyu. Localization Principles in Space Electronic Reconnaissance［M］. Beijing： National Defense Industry Press， 2012. （in Chinese）

［11］ 張紹飛， 趙迪. 矩陣論教程［M］. 2版. 北京： 機械工業出版社， 2012.

Zhang Shaofei， Zhao Di. Matrix Theory Tutorial［M］. 2nd ed. Beijing： China Machine Press， 2012. （in Chinese）

Calibration and Emitters Selection Method of Interferometer

Based on Single or Double Emitters

Abstract：The traditional method of joint calibration of fixed baseline interferometer with multiple errors requires more than three calibration emitters to achieve real-time calibration of the interferometer in orbit， but the performance of the traditional method will be reduced or even failed when the number of calibration emitters is insufficient. For the situation that the number of calibration emitters is insufficient， a single or double emitters calibration method for fixed baseline interferometer is proposed. Under the condition of relative motion between the interferometer and the calibration emitters， a set of phase differences of calibration signals is obtained firstly by multiple measurements， and a set of equations about the systematic errors of the interferometer is listed by using the obtained phase differences， finally the systematic errors are solved by the Penrose inverse matrix assisted iterative least squares method. The simulation results verify the feasibility of the proposed method. On this basis， the influence of the emitter selection on the positioning performance of the interferometer after calibration is analyzed qualitatively by means of numerical simulation， decomposing the parameters of the emitter selection. The analysis results show that the calibration emitter located near the sub-star in the single emitter case or two calibration emitters located far apart both can make the interferometer obtain better positioning performance after calibration.

Key words： ?interferometer;? calibration;? systematic error;? single emitter;? double emitters