復雜系統可靠性

劉一萌 白銘陽 張小可 李大慶

摘要：隨著科學技術的發展，社會技術系統的體系化、網絡化、智能化程度逐漸加深，形成系統的復雜性。這些復雜系統的“故障”，諸如交通擁堵、謠言傳播、金融崩潰，可以看作是一種“1+1<2”的系統能力負向涌現，難以直接通過系統單元的還原解析來理解，這對原有可靠性理論提出了挑戰?，F有復雜系統可靠性的研究主要從故障規律展開，從兩個角度出發進行，一是考慮故障傳播的系統脆弱性研究；二是考慮故障恢復的系統適應性研究。系統脆弱性研究的重點在于挖掘系統崩潰的內在機理，即故障的傳播機理。系統適應性研究的重點關注于系統適應恢復能力，包括系統故障恢復機理。在此基礎上，本文介紹了相關的可靠性方法研究。

關鍵詞：復雜系統；可靠性；脆弱性；適應性

中圖分類號：N945?? 文獻標志碼：A?? 文章編號：1002-4026（2024）02-0074-11

Complex system reliability

Abstract∶With the development of science and technology， the systematization， networking and intelligentization of the social technology system gradually deepen， forming the complexity of the system. The failures of these complex systems， such as traffic jams， rumor spreading， and financial collapse， can be regarded as a kind of "1+1<2" negative emergence of system capability， which is difficult to understand directly through the reduction analysis of system components. It challenges the classical reliability theory. Research on the complex systems reliability mainly focuses on failures laws， which includes two perspectives. One is the study of system vulnerability considering failure propagation. The other is the study of system adaptability considering failure recovery. System vulnerability studies focus on exploring the internal mechanism of system collapse， namely the failure propagation mechanism. System adaptability studies focus on the capacity to adapt and recover， including the system failure recovery mechanism. Based on this， the article introduces relevant research on reliability method.

Key words∶complex system; reliability; vulnerability; adaptability

復雜系統具有涌現性，難以簡單地由單元的規律推理得到整體的規律[1-2]。系統工程為構建復雜社會技術系統提供指導，并被廣泛應用于各個工業部門中。在錢學森等老一輩領軍學者帶領下，我國的系統科學和工程取得較大發展，從工程系統走向社會系統，提出開放的復雜巨系統方法論[3]及其實踐形式[4]。近年來，系統學內涵得到不斷深化并形成豐富理論成果[5-12]，在社會管理[13]、應急救援[14]、農業[15-16]、交通運輸[17-18]等各領域均做出積極貢獻。在系統工程方法論與技術上，我國學者提出的WSR（物理-事理-人理）方法論[19]、灰色系統方法[20]、TEI@I方法論[21]等都在國內外產生了一定影響。

基于火箭及計算機的工程實踐，Lusser、馮·諾伊曼等人指出隨著系統越來越復雜，可靠性成為了決定社會技術系統能否成功運行的關鍵問題[22-23]，可靠性學科隨之迅速發展。20世紀90年代，可靠性系統工程理論被提出[24]，進而學者們又進一步細化了可靠性系統工程理論并提出其技術框架[25]。近幾年，系統復雜性隨著信息技術和智能技術的進步而不斷提高。一方面，這種復雜性給系統帶來了脆弱性挑戰，系統出現了不同于簡單系統的故障模式，形成了“1+1<2”的負向涌現。例如復雜系統內單元之間存在故障耦合，這使得少量單元的故障可能引發級聯失效，導致整個系統崩潰。另一方面，復雜性也可能帶來系統的適應性，可使系統具備從擾動中恢復和適應的能力。例如生態系統中物種多樣性[26]、內穩態機制[27]、共生網絡的嵌套性[28]等在增加了系統復雜度的同時，也使得種群和個體能在各種各樣的風險挑戰和環境變化下幸存。

傳統可靠性方法是在元件數相對較少、元件間關系較為簡單的系統上發展起來的，難以適用于分析復雜系統的可靠性。為此想要解決這些復雜系統的可靠性問題，必須借助系統科學研究和發展新理論、新方法應對新挑戰?？煽啃韵到y工程的實質是與故障做斗爭，通過研究有關故障的規律，從而基于故障規律對故障進行事前預防和事后修理[24]。對復雜系統可靠性的研究也需要圍繞其特有故障機理展開。系統可能因故障擴散而全面崩潰，也可能因故障恢復而穩定維持自身性能。因此可將復雜系統可靠性研究分為考慮故障傳播的系統脆弱性研究和考慮故障恢復的系統適應性研究兩類。

1 考慮故障傳播的系統脆弱性研究

系統脆弱性是指系統被干擾后容易發生全局性崩潰的性質，一些具有罕見性、突發性等特點的重大事件往往是引發系統崩潰的原因之一。這類事件通常危害性高且迅速發生，后果嚴重并且難以預測。最為常見的導致系統發生全局性崩潰的原因是故障在系統中的傳播。識別故障傳播的機制和途徑，有助于減少系統故障，降低系統脆弱性并提高可靠性。

1.1 復雜網絡滲流理論

對故障傳播的研究可以基于復雜網絡滲流理論。滲流屬于幾何相變現象[29]，統計物理中的滲流理論[30]定量地刻畫了網絡整體層面的連通性喪失。在滲流過程中，網絡的節點/連邊被逐步移除，導致最大連通子團規模（其度量了網絡連通性）降低。網絡節點/連邊移除的方法包括逐步隨機移除節點/連邊，或給定某屬性的閾值，通過提高閾值來逐步移除屬性低于閾值的節點/連邊等。滲流過程中存在臨界點，稱為滲流閾值，在臨界點附近，最大連通子團統計上變為0。以交通網絡為例[31]（如圖1所示），該研究對每條連邊（道路）計算了當前道路車速與最大限速的比例 （r）。對于給定的閾值q，每條道路可以被分為功能正常的道路（r>q）和故障的道路（r

1.2 故障傳播機理

利用滲流理論對系統故障傳播機理進行研究主要關注系統的擾動模式以及故障傳播方式。系統的擾動模式是指故障出現的方式，主要包括隨機擾動和蓄意攻擊兩類。故障傳播方式主要指故障的擴散方式，包括傳染病故障模型和級聯失效模型等。下面主要介紹以上兩種擾動模式和兩種傳播方式。

1.2.1 系統的擾動模式

隨機擾動是指節點/連邊的故障在復雜網絡中隨機產生。研究發現隨機擾動下的無標度網絡具有優于隨機網絡的魯棒性[32]。無標度網絡是一種度分布（即對復雜網絡中節點度數的總體描述）服從或者接近冪律分布P（k）～k-α的復雜網絡[33]。理論推導和數值仿真表明冪律分布的參數α<3的無標度網絡在隨機攻擊下難以解體[34]。此外研究還發現，像互聯網這種度分布近似為冪律分布的復雜網絡，雖然對于隨機刪除節點這種攻擊具有高度魯棒性，但是針對蓄意攻擊卻相對脆弱。

蓄意攻擊是指挑選復雜網絡中具有度數高、介數高等特征的重要節點，或權重高、重要度高的重要連邊進行攻擊使其故障的擾動方式。在蓄意攻擊下，如果按照度的大小順序來移除節點，無標度網絡只要刪除極少數的中心節點就會崩潰，比隨機網絡更加脆弱[32]。這也表明了無標度網絡的高度異質性，即大部分連邊集中于中心節點處。除了基于節點度數的攻擊策略外，許多研究也基于其他原則的攻擊策略分析故障傳播，例如介數或基于其他不同中心性的攻擊策略[35]。

1.2.2 系統的故障傳播方式

常見的系統故障傳播模型主要有傳染病模型和級聯失效模型。傳染病模型是一種引入復雜網絡理論來對流行病傳染現象進行分析的方法。傳染病模型框架主要基于兩個假設：可劃分性和均勻混合性?？蓜澐中允侵競魅静∧Ｐ桶凑諅€體所處階段對其進行分類，并且個體可以在不同階段之間轉化。均勻混合性是指可以認為任何人都可以感染其他任何人[36]，而不需要確切地知道疾病傳播所依賴的接觸網。傳染病模型可以應用于不同學科領域的場景，分析不同類型系統的故障傳播特征，對系統的脆弱性進行研究[37]。通過傳染病模型研究發現，在故障動態傳播過程中，網絡的拓撲結構是很大的影響因素。例如在疾病傳播過程中，個體主動與已感染個體徹底斷開聯系[38-39]，網絡拓撲結構因此變化，進而會產生磁滯等豐富的動力學現象。

級聯失效是指初始一小部分單元的故障有可能引發其他單元故障，進而產生連鎖反應，最終導致網絡無法履行正常功能[40]。因此級聯失效模型可用于研究少數單元的故障是否會觸發整個系統的故障等問題。級聯失效模型大致可分為基于負載重新分配、基于節點相互依賴關系和基于鄰居生存數量等三大類[41]。

在基于負載重新分配的級聯失效模型中，每個單元有相應的容量并承擔一定的負載。當某單元故障時，其所承擔的負載會重新分配給其他單元。重新分配后，其他單元節點的負載可能超出容量，然后出現新的故障，從而引起故障傳播。最直接的一類假設是，故障節點的負載會傳播給鄰居節點，如纖維束模型（fiber bundle model） [42]、沙堆模型[43-44]等。研究者圍繞這些模型分析了網絡的脆弱度如何隨網絡結構異質性等因素而改變。此外，在輸送物質、能量、信息的基礎設施網絡中，流量重配策略并不只是簡單地分配給鄰居[45]。2002年Motter等[46]提出的級聯失效模型則假定每對節點之間的流量（如因特網中的數據流量、交通系統中的車輛流量）按照最短路徑分配，每個節點的負載是該節點的介數（通過該節點的最短路徑數量），容量是初始負載的1+α倍，其中α為大于0的容忍（tolerance）參數。該模型表明，對于該類流量為負載的異質網絡，級聯失效機制也會引發類似于只攻擊關鍵節點而造成整個系統崩潰的現象。

在基于節點相互依賴關系的級聯失效模型中，節點與節點之間存在依賴關系，某個節點故障會引發依賴于該節點的相關節點發生故障。例如，互聯網依賴于電力網絡供電，電力網絡依賴于互聯網進行控制，電力網與互聯網形成了相互耦合的網絡。電力網絡中的節點失效，將會導致依賴該節點的互聯網中的節點失效，進而引發依賴于這些互聯網節點的電力網絡節點失效，故障不斷傳播導致系統崩潰。對該耦合網絡模型[47]的研究發現，耦合關系較強時會產生不連續的滲流相變，即最大連通子團規模隨著刪去節點比例的增加而不連續地跳變為0。這對于系統風險的預測、管理是十分不利的。Parshani 等[48]提出了一個分析框架，用于研究同時包括連接關系連邊和依賴關系連邊的網絡的穩健性。研究表明連接關系連邊的故障和依賴關系連邊之間存在協同作用，并引發了級聯故障的迭代過程，對網絡穩健性產生破壞性影響。Li等[49]建立了空間嵌入的相互依賴網絡模型，并發現首次故障的范圍超過閾值半徑時就可能導致全局崩潰。上述負載重新分配的級聯失效模型也可以建模為節點間相互依賴關系[50]。

在基于鄰居存活數量的級聯失效模型中，當節點鄰居存活數量小于給定閾值時節點故障。這一類模型包括閾值模型（threshold model）[51]、k-core滲流[52]以及Bootstrap滲流[53]等模型。閾值模型中，每個節點故障當且僅當鄰居故障的比例超過該節點的閾值，從而初始故障節點可能觸發整個系統的崩潰。k-core滲流過程中，度小于k的節點會被移除，移除節點可能帶來其他節點的度也小于k，從而引發級聯失效的現象。k-core滲流能夠區分出核心節點與邊緣節點，可用于分析網絡結構、識別脆弱節點[54]。Bootstrap滲流模型中，初始激活f比例的節點，其他節點若有k個鄰居激活則也會被激活，從而產生級聯現象。此外，除了基于故障傳播模型之外，隨著人工智能的發展，神經網絡、圖學習等方法也逐漸用于研究故障傳播[55]。

1.3 基于故障傳播模型的可靠性研究

上述故障機理揭示了復雜系統故障的傳播規律，為分析和降低系統脆弱性提供有力的理論支持。目前研究者們基于故障傳播模型展開了對系統可靠性方法的研究，包括對復雜系統的可靠性設計、可靠性評估、關鍵節點識別等。

在復雜系統可靠性設計方面，Adilson等[56]提出了一種基于在初始攻擊后選擇性地進一步移除部分節點和連邊的無成本防御策略，通過移除部分單元阻斷了故障級聯傳播，提高系統的可靠性。Yingrui等[57] 研究了相互依賴網絡的負載重分配策略。相互依賴網絡中，故障連邊的一部分負載會通過耦合關系轉移給相互依賴的另一個網絡上。該研究提出了通過恰當選擇網絡耦合強度（一個網絡中分配給其他網絡的負載比例）可以增加兩個網絡生存的可能性。Christian等[58]提出了通過正確選擇一小部分節點進行自治（獨立于網絡其他部分）可以顯著提高魯棒性。研究發現介數和度是選擇此類節點的關鍵參數，通過保護介數最高的少數節點可顯著降低系統崩潰的可能性。Schfer等[59]提出了在故障發生時重新分配負載的策略。該策略中基于最短流路徑的策略能夠將之前的異構負載分布的網絡節點和鏈路變為更加均勻的負載分布。這些流路徑的使用能夠增加網絡的魯棒性，同時減少網絡容量布局的投入成本。Pastor-Satorras等[60]提出了依賴于網絡特定無標度結構的最佳免疫策略，為避免故障傳播并提高系統魯棒性提供了理論分析。

在復雜系統可靠性評估方面，Li等[31]對交通流網絡進行滲流分析，發現在滲流閾值附近交通系統的連通狀態會從全局連通變為局部連通，為控制系統擁堵提供了有效幫助。此外，Li等[50]發現因局部故障引發的故障呈現輻射狀以近似常速進行傳播，通過理論分析給出故障傳播速度則隨著單元對故障的容忍程度的升高而降低，并在大量網絡中得到了驗證。Zeng等[61]基于滲流理論對故障模式進行研究，提出了涵蓋交通擁堵從出現、演化到消散整個生命周期的健康管理框架，為未來交通的智能管理提供了理論支撐。

在識別關鍵節點方面，Yang等[62]提出了一個動態級聯失效模型，模擬了電網系統中的級聯故障。研究基于該模型識別出了電網的關鍵脆弱節點并發現給定電網中的相同擾動會在不同條件下導致不同的結果，即從沒有損壞到大規模級聯。Nesti等[63]構建了故障傳播模型，對電網的故障模式進行識別，根據故障的可能性對線路故障模式進行排序，并確定了此類電網最可能的故障發生方式和故障傳播方式。Liu等[64]利用小世界網絡理論分析了系統的拓撲結構統計特性，提出了基于小世界聚類的故障傳播模型，并利用Dijkstra算法找到了具有高擴散能力的故障傳播路徑和相關關鍵節點，驗證了該方法能夠有效地發現系統的薄弱點，為設計改進和故障預防提供重要依據。

2 考慮故障恢復的系統適應性研究

適應性是指系統在不斷變化的環境中仍然保持自身性能的能力。系統適應性使系統能從壓力中恢復[65]，反映系統適應性的兩個關鍵因素分別是系統降級程度和系統性能恢復時間[66]。圖2展示了系統性能在擾動前后的變化[67]。te時刻系統受到擾動，td時刻系統受擾結束，系統性能水平由F（t0） 降至F（td）。ts時刻系統開始恢復性能，tf時刻系統到達最終平衡狀態，系統性能水平恢復至F（tf）。

2.1 復雜系統適應性的景觀理論

復雜系統對擾動的適應過程可用動力系統理論進行建模。動力系統理論中，系統由一組狀態變量所刻畫，系統狀態變量的各個分量聯合定義了系統是否健康可靠。一個處在健康狀態的復雜系統，在擾動下可能會突然進入故障狀態，例如生態系統的物種滅絕[65]、熱帶雨林的沙地化[68]、金融危機[69]等等。系統狀態變量的演化規律由微分方程或隨機微分方程所描述，系統的穩定狀態就是微分方程的吸引子[70]，系統內可能存在多個吸引子。外界對一個復雜系統的狀態變量x或者系統參數θ進行擾動，系統因適應性不會直接脫離現有吸引子狀態，依舊維持穩定。但當擾動足夠大，超過系統恢復能力的臨界點，使系統無法適應該變化時，系統可能脫離原有的吸引子狀態，被其他吸引子吸引。

由于微分方程或隨機微分方程常?？捎赡芰烤坝^所表示，復雜系統擾動前后的適應過程可以用景觀進行直觀描述[71]（如圖3所示）。系統可以看作景觀曲面上運動的小球，景觀高度表示系統的能量（Lyapunov函數值），小球傾向于往系統能量低的狀態運動，即小球會傾向于向谷底運動。如圖3（a）所示該景觀有兩個“谷底”，每個“谷底”表示一個吸引子。對處于健康態的系統施加擾動，系統狀態發生改變，對應于圖中實心小球的移動。小擾動下系統狀態不會脫離健康態吸引子。大擾動下系統則會脫離健康態吸引子，進入故障態。對系統參數θ的擾動，對應于圖中三維景觀形狀的改變（如圖3（b）所示）。當系統參數改變到臨界點時，健康態失穩，系統發生故障。而當系統健康態對應的吸引域越大、越深時，系統越容易在擾動后保持在健康態。

在處理由少數變量描述的低維系統時，只需沿用經典的動力系統理論即可。但當處理由高維狀態變量描述的系統時，例如大量基因組成的調控網絡或由大量物種組成的生態系統，就會面臨狀態空間指數爆炸、系統參數多等困難。對于此類高維系統，可結合統計物理中的粗?；?、平均場近似等技術來克服局限性[72-73]。近年來，自旋玻璃理論被引入用于分析生態系統的穩態性質[74]。例如Altieri 等[75]使用自旋玻璃中的Replica方法對廣義L-V方程進行求解，發現了低噪音下存在玻璃相，系統吸引子的個數正比于變量數的指數倍。Gao等[76]對包括基因、化學反應等多種類型網絡動力學進行粗?；玫搅讼到y崩潰的臨界點。

2.2 基于景觀理論的系統適應性分析

景觀理論能夠衡量系統是否即將發生故障或者崩潰，并揭示復雜系統崩潰的根源，為分析系統適應性提供支持，被廣泛應用于不同領域。例如在生物領域， Huang等[77]發現了癌癥等疾病可以理解為基因調控網絡動力學中的吸引子。這種吸引子可能是正常細胞中本就具備的，也可能是基因突變后產生的。在生態領域，Hoegh-Guldberg等[78]分析了珊瑚礁的恢復能力，識別了珊瑚生長速率（系統參數）的臨界點。當珊瑚生長速率下降到臨界點，原本由珊瑚主導的生態環境將突變為水藻主導的生態環境。在社會科學領域，極端思想的傳播在互聯網屬于一種故障態對應的吸引子。Johnson等[79]建立了網絡極端思想的模型，指出了由于極端思想網絡的適應性，單個平臺大幅度封殺并不足以使極端思想在互聯網上滅絕，反而可能加劇極端思想的發展。

將復雜系統的崩潰或者故障建模為健康狀態吸引子的失穩，也可以指導不同領域復雜系統可靠性設計和診斷。在復雜系統可靠性設計方面，研究發現元素間存在強耦合的系統容易存在臨界點，減少耦合可避免系統發生突變[40]。隨著復雜系統單元之間的交互變強，系統單元的行為可能會嚴重改變或損害其他單元的功能或操作。因為強耦合系統的動態變化往往很快，可能超過人類反應的速度。金融危機就是強耦合導致系統崩潰的事例。因此為了使系統具有更高的可靠性，需要適當降低系統中的耦合強度。在可靠性診斷方面，有研究利用臨界點附近存在臨界慢化[80]以及閃爍（flickerling）[81]等現象實現對系統狀態（是否達到臨界點）的預測[82]。例如，Veraart等[83]構建了藍藻微觀世界來測試臨界慢化現象，藍藻微觀世界受到擾動的實驗表明，臨界慢化確實發生，恢復速度可用于衡量復雜系統的恢復能力，預測系統到臨界狀態的距離，從而判斷系統是否即將崩潰。

3 討論與結論

可靠性學科是一門與故障做斗爭的學科，復雜系統可靠性的研究主要圍繞故障展開。故障有兩種演化方向：故障擴散與故障恢復。研究從這兩個角度出發，一是考慮故障傳播的系統脆弱性研究；二是考慮故障恢復的系統適應性研究。系統脆弱性研究的重點在于挖掘系統崩潰的內在機理，即故障的傳播機理。系統適應性研究的重點在于基于動力系統與景觀理論挖掘系統故障恢復機理，包括分析系統故障恢復的臨界點?；诠收蟼鞑31，50]和故障恢復機理[84-86]，提出了一系列復雜系統可靠性技術，從而實現對復雜系統的評估、診斷、調控[87-89]。

伴隨著全球化以及信息技術的發展，交通系統、電力系統、金融系統等系統必將越發復雜，系統內單元數量以及關聯程度都將大大增加。單元間的相互依賴可能使少數單元的故障引發整個系統的級聯失效，單元間的復雜相互作用也可能產生未知的故障態吸引子，產生負向涌現。因此，構建、維護復雜系統必將面臨可靠性的挑戰。在過度耦合帶來風險的同時，也可以利用系統的復雜性來增強系統的可靠性。如何通過在系統內恰當地引入復雜性（單元之間恰當的組織形式）以賦予系統自我恢復能力，將是未來構建高可靠復雜系統的關鍵[90]。

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