拋物線

題呈現如圖1,拋物線y2=8x與動圓M:(x-8)2+y2=r2(r>0)交于A,B,C,D四個不同點.(1)求r的取值范圍;(2)略.2.探究一般性結論對于一般的拋物線C:y2=2px(p>0),動圓M:(x-a)2+y2=r2(r>0),有什么類似的結論?若a-p≤0,即a≤p,則當x=0時,|PM|取最小值|a|.這時若r=|a|,則拋物線C圓與圓M相切于頂點,且這兩曲線有且僅有這一個公共點;命題1 拋物線C:y2=2px(p>0)與動圓M:(x-a

焦鵬鵬若過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，則以這兩個點為端點的線段稱為拋物線的焦點弦，如圖1中的線段[AB].以拋物線上的一點及拋物線的焦點為端點的線段稱為拋物線的焦半徑，如圖1中的線段[AF、BF.]求焦點弦長和焦半徑問題在拋物線試題中比較常見.本文主要談一談有關拋物線焦半徑與焦點弦公式的推導及其應用.

點(t,t)為拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上的不動點.設拋物線C的解析式為y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(2)對于任意實數b,實數a應在什么范圍內,才能使拋物線C上總有兩個不同的不動點?解(1)由題意,得∴拋物線C的解析式為y=x2-x-3.令x=x2-x-3,解得x1=-1,x2=3.∴不動點為(-1,-1)和(3,3).(2)若拋物線C有兩個不同的不動點,則由x=ax2+(b+1)x+(b-1),整理得ax2+bx+(b-1)

遇到判斷直線與拋物線位置關系的問題.此類問題側重于考查直線的方程、弦長公式、點到直線的距離公式、拋物線的方程、一元二次方程的根的判別式、韋達定理等.判斷直線與拋物線的位置關系，主要有代數法和幾何法兩種方法.本文主要探討一下如何用代數法判斷直線與拋物線的位置關系.一、直線與拋物線的位置關系直線與拋物線有三種位置關系：相交、相切、相離. 如下圖所示.其中相交的有兩種情況，即相交于一點（當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時）、相交于兩點.二、用代數法判斷直線與拋物

00) 喻瑞明拋物線性質的教學是高中數學教學實踐中不可缺少的一部分，有關拋物線性質的考題也是層出不窮.我們知道，拋物線中蘊含了許多優美的結論，本文從2018年全國Ⅰ卷文科第20題考查拋物線的性質出發，利用幾何畫板探究了拋物線中雙定點的一些性質，供同仁參考.文[1]中已探究了拋物線的性質，并得到如下結論：結論1 如圖1，已知拋物線y2=2px(p>0)，點B(-m,0)(m>0)，設斜率存在的直線l與拋物線相交于M,N兩點，則直線l過定點A(m,0)的充要條

、選擇題1.若拋物線y=ax2的焦點坐標為（0，2），則a的值為（）。A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓在拋物線上，若|PF|=3，則點P到x軸的距離為（）。A.2B.2C.D.15.已知拋物線過點（-11，13），則拋物線的標準方程是（）。6.設F為拋物線C：x2=16y的焦點，直線1：y=-1，點A為拋物線C上任意一點，過點A作AP⊥L，則|AP-AF||=（）。A.3B.4C.2D.不能確定7.已知直線L1：x-y+4=0和直線12：x=-2，拋物線

次函數的圖像是拋物線，在考查二次函數知識時，常常會出現一類由二次函數圖像即拋物線提供信息，利用二次函數性質作推理判斷的題目。解決這類問題，我們必須熟悉二次函數表達式中的字母系數與拋物線之間的關系，學會看二次函數y=ax2+bx+c的圖像，具備從函數圖像中獲取信息的能力?？?span class="hl">拋物線與y軸的位置：由x=0時y=c，可知拋物線與y軸交于（0，c）。當拋物線與y軸的交點在x軸上方時，c＞0；當拋物線與y軸的交點在x軸下方時，c＜0；當拋物線經過原點時，c=0?？磼佄?/div>

初中生世界 2021年47期2021-12-29

選擇題1.已知拋物線C：x=8y2，則該拋物線的焦點到準線的距離為( )。2.直線l過拋物線y2=2x的焦點F，且直線l與該拋物線交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1+x2=3，則弦AB的長是( )。A.4 B.5 C.6 D.83.已知拋物線y2=2px(p＞0)，過拋物線的焦點作x軸的垂線，與拋物線交于A，B兩點，點M的坐標為(-2，0)，且△ABM為直角三角形，則以直線AB為準線的拋物線的標準方程為( )。A.y2=8xB.y2=

次函數的圖像是拋物線，在考查二次函數知識時，常常會出現一類由二次函數圖像即拋物線提供信息，利用二次函數性質作推理判斷的題目。解決這類問題，我們必須熟悉二次函數表達式中的字母系數與拋物線之間的關系，學會看二次函數y=ax2+bx+c的圖像，具備從函數圖像中獲取信息的能力?？?span class="hl">拋物線的開口方向和大?。?span class="hl">拋物線開口向上，a>0;拋物線開口向下，a<0;拋物線開口越小，[a]越大;拋物線開口越大，[a]越小?？?span class="hl">拋物線對稱軸所在位置：系數a與系數b一起決定拋物線對稱軸x

4.如圖11，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，-2），點A的坐標是（2，0）.P為拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D.交直線BC于點E.拋物線的對稱軸是直線x=-1.（1）求拋物線的解析式.（2）若點P在第二象限內，且PE=1/4OD，M為直線BC上一點，在x軸的上方，是否存在點M，使△BDM是以BD為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標;若不存在，請說明理由.

一、選擇題1.拋物線y=4x2的焦點坐標是( )。2.已知拋物線的準線方程為x=-7,則拋物線的標準方程為( )。A.x2=-28yB.y2=28xC.y2=-28xD.x2=28y3.已知拋物線的方程為標準方程,焦點在x軸上,其上一點P(-3,m)到焦點F的距離為5,則拋物線方程為( )。A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x4.過點F(0,3)且和直線y+3=0相切的動圓圓心的軌跡方程為( )。A.y2=12xB.y2=-12xC

)。例1(1)拋物線y=2(x+2)2-4向右平移3個單位長度,向上平移1個單位長度得到的拋物線的解析式是_____。(2)拋物線y=x2-4x向左平移4個單位長度,向上平移5個單位長度得到的拋物線的函數表達式是_____。(3)拋物線y=x2-4x關于x軸對稱的拋物線的函數表達式是____,關于y軸對稱的拋物線的函數表達式是_____,關于原點對稱的拋物線的函數表達式是_____。分析：拋物線y=ax2+bx+c中,a的絕對值決定拋物線的形狀,a的正負決

一、選擇題1.拋物線y=-x2的準線方程是（）。A.B.C.D.2.拋物線上的動點Q到其焦點的距離的最小值為1，則p=（）。A.B.C.D.3.如圖1，在同一平面內，A、B為兩個不同的定點，圓A和圓B的半徑都為r，射線AB交圓A于點P，過P作圓A的切線l，當變化時，切線l與圓B的公共點的軌跡是（）。A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線4.已知m，n∈R，則“mnA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5.已知拋物線y

一、選擇題2.拋物線y2=2p x(p＞0)上的動點Q到其焦點的距離的最小值為1,則p=( )。3.如圖1,在同一平面內,A、B為兩個不同的定點,圓A和圓B的半徑都為r,射線A B交圓A于點P,過P作圓A的切線l,當變化時,切線l與圓B的公共點的軌跡是( )。圖1A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線4.已知m,n∈R,則“m n＜0”是“拋物線m x2+n y=0的焦點在y軸正半軸上”的( )。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D

容寫成本文及《拋物線的一些性質》[1]。研究發現，有些平面幾何問題用射影幾何研究更自然、條理更清楚，而用平面幾何方法處理則有難度。本文繼續用射影幾何的方法討論拋物線的性質，特別是由拋物線的兩條切線與焦點得到的相似三角形的性質，用到的射影幾何知識可參看[2-4]或其它高等幾何書籍。本文討論的部分問題來源于文獻[4]。1 主要結果與證明先給出一個在討論二次曲線問題時常用的性質。性質1 設拋物線的切線交兩定切線于X,X′，點F是焦點，則∠XFX′是定角。圖1 拋

林朝輝摘要：拋物線綜合題是壓軸題中重要題型，角相等是拋物線綜合常出現條件，對于這個條件的轉化，大部分學生比較迷茫的，無從下手，本文介紹角相等的幾種常見的處理方法：借助對稱、構造全等、構造相似，構造圓等。關鍵詞： 拋物線；角相等中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2018）16-0138-01

段曉曉一、拋物線天下一家解析幾何中，方程y2=2px的圖形稱拋物線；函數中，二次函數y=ax2的圖象也稱拋物線.于是發問：這兩種拋物線是一家人嗎？【例1】二次函數y=14x2+1的圖象如下：試探索，平面上是否存在這樣的定直線l和定點F，使得圖象上任何一點P（x，y），到F的距離與到l的距離相等？【解答】（配方法）由等式y=14x2+1兩邊乘以4并移項：x2-4y+4=0，兩邊同時加上y2，得x2+（y-2）2=y2，兩邊開平方，同取算術根，得14x2=

、選擇題2.若拋物線y2=2p x(p＞0)上一點P(2,y0)到其準線的距離為4,則該拋物線的標準方程為( )。A.y2=4x B.y2=6xC.y2=8x D.y2=1 0x3.過點(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個公共點的直線有( )。A.1條 B.2條 C.3條 D.0條4.已知P為拋物線y2=4x上的一個動點,直線l1:x=-1,l2:x+y+3=0,則點P到直線l1,l2的距離之和的最小值為( )。5.拋物線y2=4x的焦點為F,點P為拋物

1.(1)由拋物線C:y2=2p x(p＞0)過點P(1,-2),可得4=2p,p=2。從而拋物線的方程為y2=4x,準線方程為x=-1。(2)拋物線的焦點為F(1,0),所以直線l的方程為y=2x-2。設點A(x1,y1),B(x2,y2)。則由韋達定理有:x1+x2=3,x1x2=1。5 2.(1)拋物線C:x2=2p y(p＞0)的焦點為拋物線C的準線方程為y=由拋物線的定義可知|B F|等于點B到拋物線C的準線的距離。又因為點B到x軸的距離比|B

五中學 徐洪軍拋物線一組結論的證明與應用■浙江省江山市第五中學 徐洪軍拋物線有很多優美的結論,在平時的學習中,同學們要能夠靈活應用。下面,筆者通過拋物線一組結論的證明與應用來進一步揭示拋物線的本質。結論1 已知直線l經過拋物線C:y2= 2px(p〉0)的焦點F,直線l與拋物線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則y1·y2=應用1 已知直線l經過拋物線C:y2= 8x的焦點F,直線l與拋物線C交于A(x1, y1),B(x2,y2)兩點,則:(

梅磊拋物線是歷年高考的重點，在近幾年高考試題中，?？疾?span class="hl">拋物線的定義、標準方程和幾何性質。由于拋物線的離心率為1，拋物線的標準方程中只有一個二次項，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準線，所以相對于橢圓和雙曲線而言，高考中有關拋物線的試題相對簡單一點。下面以2016年高考數學全國卷中的幾道拋物線試題為例，帶同學們玩轉拋物線。endprint

00) 李偉健拋物線中的一個定點問題的充要條件安徽省滁州中學(239000) 李偉健命題已知拋物線y2=4x及點P(2,2),斜率為1的直線l不過點P,且與拋物線交于A和B,直線AP、BP分別交拋物線與另一點C和D.證明AD、BC交于一定點Q.本文對這一命題一般化研究,獲得了這一定點問題的充要條件.定理已知拋物線y2= 2px(p＞0)及點P(x′,y′),P不在拋物線上,斜率為k的直線l不過點P(x′,y′),且與拋物線交于A和B,直線AP、BP分別交拋

□劉頓拋物線的變換□劉頓二次函數是中考重要而常見的考點，且大多出現在綜合題和壓軸題中，其中有關拋物線的變換更是頻頻亮相，現歸類說明，供參考！一、拋物線的旋轉例1（2016·菏澤）如圖1，一段拋物線：y=-x（x-2）（0≤x≤2）記為C1，它與x軸交于兩點O、A1；將C1繞A1旋轉180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉180°得到C3，交x軸于A3；……如此進行下去，直至得到C6.若點P（11，m）在第6段拋物線C6上，則m=________.圖

獻［1］探討了拋物線的一類伴隨圓——內切圓族的方程和性質.在此基礎上，筆者對拋物線y2=2px(p＞0)的內切伴隨圓族的方程與性質進行了進一步的探討，得到了一些結論.1 相關定義1.1 內切圓在拋物線的內部，與拋物線有且只有一個交點的圓，叫做拋物線的內切圓(圖1).1.2 內切圓族與拋物線內切，且具有共性的一族圓稱為拋物線的內切圓族(圖1).2 相切于一點的內切圓族圖1 內切圓與內切圓族圖2 引理1內切圓族引理1［1］設拋物線C的方程為y2=2px(p＞0

a≠0）的圖像拋物線是一個軸對稱圖形，當我們面對拋物線的問題時如果能用好用足拋物線的對稱性，則能化繁為簡，迅速求解. 本文以杭州、泰州、北京的三道中考壓軸題為例，層層遞進，分析研究借助拋物線的對稱性解題的好處.綜上所述：當點C的坐標為（0，8）時，要使y1隨著x的增大而減小，則x>2；當點C的坐標為（0，-8）時，要使y1隨著x的增大而減小，則x<-2.【點評】二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是軸對稱圖形，當a>0時，在對稱軸的左側，y隨著x的

給出有關直線與拋物線位置關系的另類判別方法.結論1 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0）拋物線y2＝2px（p≠0）Ay2＋2pBy＋2pC＝0，△ ＝（2pB）2－4A·2pC＝4p（pB2－2AC），結論2 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0），拋物線x2＝2py（p≠0），探究結論1和結論2 推廣至一般情況，可得下面結論：結論3 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0），（2）直線l與拋物線相交 ?（y1＋y2）（y1－y2）＞－p2；（3）

置的改變.對于拋物線的幾種變換，可以歸結為:一看頂點位置，二看開口方向.下面例舉拋物線的平移、軸對稱、旋轉問題的求解策略.1 拋物線的平移一般地，拋物線的平移有以下規律:例1 已知拋物線y=x2+2x－3，如何平移此拋物線使其圖象與拋物線y=x2－4x+7的圖象完全重合.可知，將拋物線y=x2+2x－3向右平移3個單位，再向上平移7個單位，與拋物線y=x2－4x+7的圖象完全重合.例2 已知y=2x2的圖象是拋物線，若拋物線不動，把x軸，y軸分別向上、向右

上任意2個點的拋物線是否也有無數個?即便能夠明確經過2個點的拋物線有無數個，那能否按照某種需求來選擇或明確經過已知2個點的拋物線呢?順延這條思路，深挖下去，會顯出豐實的寶藏.探究1 經過平面上任意2個點的拋物線是否有無數條?在平面直角坐標系Oxy中，若有一條曲線y=ax2+bx+c經過任意給定的2個點 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由c為參量，得c可以取到無數個不同的值使得a≠0，可知過點A，B的拋物線有無數條;(2)當x1x2(x1-x2)=0時