精析多邊形

高　峰

多邊形的計算問題主要涉及求多邊形內角的大小和多邊形的邊數.n邊形的內角和是（n-2）·180°，外角和是360°，由此可知，由多邊形的邊數可以求出它的內角和，由多邊形的內角和可以求出它的邊數.

不僅如此，我們根據n邊形的內角和是（n-2）·180°可以知道，多邊形的內角和是180°的整數倍；根據多邊形的外角和是360°可知，多邊形的外角和不隨多邊形邊數的變化而變化.在研究多邊形的內角和時，我們將多邊形轉化為多個三角形，這種轉化的思想在解題中起著重要的作用.下面舉例說明這些性質和思想方法在解題中的運用.

1. 利用多邊形的內角和公式

例1已知一個多邊形的內角和是外角和的5倍，求這個多邊形的邊數.

[解析：]因為多邊形的外角和是360°，所以這個多邊形的內角和為5×360°.設這個多邊形的邊數為n，根據多邊形的內角和公式可得（n-2）·180°=5×360°.解得n=12.所以多邊形的邊數為12.

2. 利用多邊形的外角和

例2已知一個多邊形的每個內角都是135°，求這個多邊形的邊數.

[解析：]設這個多邊形的邊數為n，由于這個多邊形的每個內角都是135°，則它的每個外角都是45°.因多邊形的外角和是360°，故n==8.

這道題也可用內角和公式求解，根據多邊形的內角和公式，可得（n-2）·180°=n·135°.解得n=8.

3. 利用多邊形的內角和是180°的整數倍

例3一個多邊形除一個內角外，其余各內角之和為2 750°，則這個多邊形是幾邊形？

[解析：]因為2 750°=15×180°+50°，根據多邊形的內角和是180°的整數倍，且每個內角都小于180°，所以除去的內角是130°.故這個多邊形的內角和是2 750°+130°=2 880°.設這個多邊形的邊數為n，則（n-2）·180° =2 880°，解得n=18.

4. 利用多邊形的外角和是360°

例4一個多邊形的內角中最多可以有幾個銳角？

[解析：]利用多邊形的內角和來解決這個問題顯然比較復雜，我們可以考慮用多邊形的外角和不變的性質解題.如果一個多邊形中的某個內角是銳角，則與之相鄰的外角必為鈍角.因n邊形的外角和是360°，故n邊形的外角中最多可以有3個鈍角.所以一個多邊形的內角中最多可以有3個銳角.

5. 學會轉化問題

把要求解的問題轉化為利用已有知識可以解決的問題，這是解數學題的基本思想方法之一.我們在研究多邊形的內角和時，就是將其轉化到三角形中來解決的，現在我們也可以把其他的問題轉化為多邊形問題來解決.

例5如圖1，求∠BAD+∠B+∠C+∠D+∠E+∠CFE的大小.

[解析：]我們可以通過作輔助線將圖1中的幾個角轉化到三角形或四邊形中，這樣就可以借助它們的內角和來解決問題.

連接AF，由AD和CF交于O點可知，∠FAO+∠AFO=∠C+∠D.

因為∠FAB=∠FAO+∠BAD，∠EFA=∠AFO+∠CFE，所以∠FAB+∠EFA=∠BAD+∠CFE+∠C+∠D.在四邊形ABEF中，∠FAB+∠B+∠E+∠EFA=360°，故∠BAD+∠B+∠C+∠D+∠E+∠CFE=360°.