談一次函數與二元一次方程的聯系

劉　頓

我們知道，一個二元一次方程通過適當的變形，就可以變成一個一次函數的解析式，可見二元一次方程與一次函數雖然有著本質的區別，但它們之間也存在著密不可分的聯系.為了幫助同學們學習好二元一次方程與一次函數，現將應掌握的幾個要點敘述如下.

一、二元一次方程與一次函數之間的區別和聯系

區別：（1）二元一次方程有兩個未知數，而一次函數則有兩個變量；（2）二元一次方程用一個等式表示兩個未知數的關系，而一次函數既可以用一個等式表示兩個變量之間的關系，又可以用列表或圖象來表示兩個變量之間的關系.

聯系：（1）在平面直角坐標系中分別描繪出以二元一次方程的解為坐標的點，這些點都在相應的一次函數的圖象上.如方程2x+y＝5有無數組解，像x=1，y=3；x=2，y=1；…以這些解為坐標的點（1，3），（2，1），…都在一次函數y＝－2x+5的圖象上. （2）在一次函數圖象上任取一點，它的坐標都適合相應的二元一次方程.如在一次函數y＝－x+2的圖象上任取一點（－3，3），則x=-3，y=3一定是二元一次方程x+y＝2的一組解.

所以，以二元一次方程的解為坐標的所有點組成的圖象與相應的一次函數的圖象是相同的.

二、兩個一次函數圖象的交點與二元一次方程組解的聯系

在同一平面直角坐標系中，兩個一次函數圖象的交點坐標就是相應的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點，一定是相應的兩個一次函數的圖象的交點.

三、當二元一次方程組無解時，相應的兩個一次函數圖象的位置關系

當二元一次方程組無解時，相應的兩個一次函數在平面直角坐標系中的圖象就沒有交點，即兩個一次函數圖象平行.反過來，當兩個一次函數圖象平行時，相應的二元一次方程組就無解.如二元一次方程組3x-y=5，3x-y=-1無解，則一次函數y＝3x－5與y＝3x+1的圖象平行，反之也成立.

四、用作圖的方法解二元一次方程組

用作圖的方法解二元一次方程組，一般有下列幾個步驟：（1）將相應的二元一次方程改寫成一次函數的解析式；（2）在同一平面直角坐標系內作出這兩個一次函數的圖象；（3）找出圖象的交點坐標，即得二元一次方程組的解.

五、利用二元一次方程組確定一次函數的解析式

在實際應用中，常常利用待定系數法構造二元一次方程組，從而確定一次函數的解析式.

例1 某航空公司規定，乘客可以免費攜帶一定質量的行李，但超過該質量則需購買行李票，且行李費y（元）是行李質量x（kg）的一次函數.現知王芳帶了30 kg的行李，買了50元行李票.李剛帶了40 kg的行李，買了100元行李票.那么，乘客最多可免費攜帶多少千克的行李？

解析：依題意，可設一次函數的解析式為y＝kx+b.則可得二元一次方程組50=30k+b，100=40k+b.解得k=5，b=-100，即一次函數的解析式是y＝5x－100.當x＝20時，y＝0.所以乘客最多可免費攜帶20 kg的行李.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。