一種基于模板元編程的量綱檢測方法

羅京麗　杜建革

摘 要：量綱誤用是科學計算應用程序中一種常見的錯誤，對計算結果的正確性影響很大。在此提出一種基于模板元編程的量綱檢測方法TADA，能夠有效完成C和C++程序代碼的量綱檢測工作。該方法利用程序設計語言自身的模板元編程功能，通過定義相關的量綱模板及其計算和標注方法，依靠編譯器在編譯期間完成量綱分析和檢測，無需任何運行開銷，有效解決了傳統量綱檢測系統中解方程組的計算量瓶頸等問題。

關鍵詞：模板元編程；TADA；量綱；計算量瓶頸

中圖分類號：TP393 文獻標識碼：B 文章編號：1004－373X(2009)04－080－06

Dimensional Unit Analysis Method Based on Template Meta－programming

LUO Jingli1，DU Jiange2

(1.Jiangxi Light Industry College,Yichun,336000,China;2.Nanjing University of Technology,Nanjing,210094,China)

Abstract：Misuse of measurement units is a common mistake in many scientific computing applications.It greatly influences the correctness of the application results.TADA,a tool that effectively detects errors of this kind for C/C++ programs is proposed.Making use of the function of template meta－programming in the language itself,TADA analyses the dimensional units and detects mismatches only by a standard C++ compiler in compile time without any runtime overhead.It avoids the computational bottleneck of solving linear equations introduced by traditional methods.

Keywords：template meta－programming;TADA;measurement unit;computational bottleneck

0 引 言

量綱誤用在科學計算程序中是一種常見的錯誤，然而程序設計語言的標準類型系統卻對此無

能為力。物理方程中的量綱錯誤可以手工分析出來，然而求解物理方程的計算機程序中的量綱錯誤卻難以被發現，因為計算程序往往很復雜。例如，一些研究者認為火星氣候探測衛星的丟失，是因為程序中把一個英制單位的變量傳遞給了使用公制單位的模塊［1］。因而，量綱的正確性對計算結果的正確性非常重要。

近年來，研究者們提出了一些量綱檢測方法［2－5］，典型的如Osprey量綱檢測方法［2］。Osprey方法包含5個主要步驟：

(1) 對待檢測源程序進行單位標注，使得檢測器能夠知道每個變量的單位；

(2) C語言解析和語法檢查；

(3) 生成包含單位信息的抽象語法樹；

(4) 生成約束（方程）；

(5) 方程的化簡及高斯消去求解（GE）。

可以看出，Osprey方法步驟較多，每步都需要語言外的其他工具，并需要對其進行修改、擴充，而且最后的高斯消去（GE）計算量非常大，是Osprey方法的性能瓶頸。使用Osprey方法還有一個問題，就是需要同時維護2份源代碼：一份正常代碼用于編譯測試；另一份包含量綱信息的檢測代碼，修改正常代碼后必須及時對檢測代碼進行更新，維護起來也比較繁瑣。此外，由于C++語言的解析非常困難，Osprey方法目前沒有實現對C++程序的量綱檢測。

針對這些問題，提出一種基于模板元編程的量綱檢測方法TADA（TMP－bAsed Dimensional Analysis Method），其基本思路是利用程序設計語言自身的模板元編程（Template Meta Programming，TMP）功能，讓編譯器在編譯時對程序中的量綱進行準確性檢測，從而可以避免Osprey方法的計算量大等諸多問題。TADA方法具有下列優點：

（1） TADA方法可使得應用開發人員不需要維護2份代碼，因為使用TADA方法的檢測程序也完全是一個合法的可編譯的程序。

（2） TADA方法的量綱檢測完全在編譯期間進行，對程序不會引入任何運行時開銷。

（3） TADA方法無需進行方程組求解工作，可以適用于任何規模的程序。與Osprey等方法類似，TADA方法也需要手工對程序添加量綱信息，其標注的工作量與Osprey等方法相當。但TADA方法中編譯器在進行檢測的時候無需進行Osprey方法中的方程組求解工作，因而不再有Osprey方法的計算瓶頸。

（4） TADA方法采用模塊化設計，使得單位的表示與匹配檢測之間實現了松耦合，支持用戶可以以一致的方式增加新的單位。

1 模板元編程（TMP）技術

在C++程序設計語言中，模板元編程［6－8］是實現代碼重用的一種重要機制。下面首先對模板元編程技術進行介紹，然后給出TADA方法中需要使用的幾個基本的模板元程序。

1.1 模板元編程簡介

模板可以將類型定義為參數，以提高代碼的可重用性。模板包括類模板和函數模板等。函數模板與模板函數的區別可以類比于類與對象的區別：函數模板是模板的定義；而模板函數是函數模板的實例，具有程序代碼，占用內存空間。當編譯系統發現了函數模板一個對應的函數調用后，根據實參的類型來確認是否匹配函數模板中對應的形參，然后生成一個重載函數，稱該重載函數為模板函數。類似地，在聲明了一個類模板后，也可以創建類模板的實例—模板類。

類模板的一般形式如下：

template

class 類名｛

//類定義…

｝；

C++的模板系統能夠通過模板的特化、偏特化實現邏輯判斷，并能通過模板遞歸實現循環，構成了一個圖靈完全的二級語言［6］。使用這種二級語言進行編程叫作C++模板元編程（Template Meta Programming，TMP）。模板元編程的驅動力是模板的遞歸實例化。下面給出C++模板元編程的一個示例。

首先定義一個類模板，通過該類模板可實現在編譯期間計算4的任意次方。如下所示：

pow4.hpp

#ifndef POW4_HPP

#define POW4_HPP

//primary template to compute;

template

class Pow4 {

public:

enum { result = 4 * Pow4::result };

};

//full specialization to end the recursion

template<>

class Pow4<0> {

public:

enum { result = 1 };

};

通過下面的程序來使用該模板。

Test.cpp

#endif // POW4_HPP

#include

#include "pow4.hpp"

int main()

{

std::cout << "Pow4<7>::result = "

<< Pow4<7>::result << '\n';

}

程序Test.cpp執行完后，會正確輸出4的7次方的值，該數值是C++編譯器在編譯模板元程序時遞歸計算得到。由于模板元程序完全在編譯期間執行，相當于對編譯器功能進行擴充，因而利用這種程序進行量綱檢測具有良好的可行性。

1.2 基本模板元程序

下面給出TADA方法中需要使用的幾個基本的模板元程序。

（1） 靜態判斷

template

struct StaticIF

{

typedef T2 ResultType;

};

template

struct StaticIF

{

typedef T1 ResultType;

};

語法：StaticIF::ResultType

語義：當cond為真時，ResultType為T1，否則ResultType為T2。

（2） 靜態斷言

template void StaticAssert(){return UnitError;};

template<> void StaticAssert(){};

語法：StaticAssert();

語義：當cond為真時什么也不做，否則產生一個編譯期錯誤（UnitError沒有定義，或void函數不應該有返回值）。

（3） 靜態絕對值

template

struct StaticABS

{

static const int value = n>=0 ? n :－n;

};

語法：StaticABS::value

語義：n的絕對值，其中n為int類型。

（4） 靜態最大公約數

template

struct StaticGCD

{ //b!=0

static const int result = StaticIF<(a,StaticGCD >::ResultType::result;

};

template

struct StaticGCD

{

static const int result=a;

};

語法：StaticGCD::result

語義：遞歸的使用輾轉相除法在編譯期間求出a與b的最大公約數，其中a與b為int類型。

2 TADA量綱檢測方法

TADA量綱檢測方法需要涉及到單位和量綱的表示、計算、標注以及數學運算函數的量綱包裝等各個組成步驟，下面將依次對其進行介紹。

2.1 單位和量綱的表示

在Osprey方法中，量綱是用一個長度為7的向量表示的，每個分量對應一個SI標準量綱。TADA方法中也采用了這種方式。為了簡化闡述，本文只討論長度、重量、時間這三種量綱，其SI單位分別為米、千克和秒（TADA方法可直接推廣到其他各種量綱）。由于TMP程序的特殊性，它并沒有數組或向量的支持，也不能使用浮點數據（使用浮點數表示量綱也會帶來不精確性），量綱在TMP程序中的表示形式有所不同：用u11，u12，u21，u22，u31，u32之類的整型量分別表示米u11u12,千克u11u12,秒u11u12，并輔以ratio表示同量綱、不同單位之間的比值，如分鐘和秒的比值為60。

TADA方法可靜態地建立如下常用單位：

Struct UnitRoot//無量綱

{

static const int u11 = 0;

static const int u12 = 1;

static const int u21 = 0;

static const int u22 = 1;

static const int u31 = 0;

static const int u32 = 1;

static const double ratio;

};

const double UnitRoot::ratio=1;

struct ULength: UnitRoot {}; //長度量綱

struct UWeight: UnitRoot {}; //重量量綱

struct UTime:UnitRoot {}; //時間量綱

struct UAngle:UnitRoot {}; //角的大?。o量綱）

struct UnitLess :UnitRoot {}; //無量綱

struct UMeter:ULength{static const int u11=1;}; //米

struct UKG:UWeight{static const int u21=1;}; //千克

struct USecond:UTime{static const int u31=1;}; //秒

struct UAcceleration:UnitRoot {static const int u11=1;//加速度：米/秒^2

static const int u31=－2;};

struct URadian: UAngle{}; //角度

struct UAngleDegree:UAngle{static const double ratio;}; //弧度

const double UAngleDegree::ratio=180/3.141592653589793;

//弧度與角度的比例

模板元程序在計算公式的時候需要推導出新的量綱，例如在計算“e=12mv2”的時候，編譯器應該能根據等號右邊的公式計算出它的量綱，并與e的量綱進行比較判別。TADA方法的量綱是用分數形式表示的，在每次量綱計算之后都需要進行分數的約分處理，才能進行相等性判斷，因而TADA方法可用如下的方式處理新生成單位，如下所示。

template

struct BuildUnit :public UnitRoot

{

static const int gcd1 = StaticGCD::result;

static const int gcd2 = StaticGCD::result;

static const int gcd3 = StaticGCD::result;

static const int u11 = U11/gcd1;

static const int u12 = U12/gcd1;

static const int u21 = U21/gcd2;

static const int u22 = U22/gcd2;

static const int u31 = U31/gcd3;

static const int u32 = U32/gcd3;

};

2.2 單位和量綱的計算

由于量綱都是用分數表示的，因而其計算會稍有麻煩。下面定義TADA方法中量綱分數的加、減、乘、除和等價測試運算。

（1） 分數的加法運算，如下所示。

template

struct FractionAdd

{

static const int U1=u11*u22+u21*u12;

static const int U2=u12*u22;

};

語法：FractionAdd ::U1、FractionAdd::U2

語義：分數相加并約分，即：

U1U2=u11*u22+u21*u12u12*u22，且GCD(U1,U2)=1。

（2） 分數的減法運算。

TADA方法通過加法實現減法計算，如下所示。

template

struct FractionSub

{

static const int U1=FractionAdd::U1;

static const int U2=FractionAdd::U2;

};

語法：FractionSub::U1、FractionSub::U2

語義：分數相減并約分，即：

U1U2=u11*u22－u21*u12u12*u22，且GCD(U1,U2)=1。

（3） 單位相乘。

分別將3個量綱分數相加，然后使用BuildUnit生成新單位。

template

struct UnitMultiply

{

typedef FractionAdd

b::u12> FM1;

typedef FractionAdd

b::u22> FM2;

typedef FractionAdd

b::u32> FM3;

typedef BuildUnit<

FM1::U1,FM1::U2,

FM2::U1,FM2::U2,

FM3::U1,FM3::U2> ResultType;

};

語法：UnitMultiply::ResultType

語義：單位Ua與單位Ub相乘后的新單位。

（4） 單位相除。

與乘法處理方式相似。

template

struct UnitDivide

{

typedef FractionSub

b::u12> FM1;

typedef FractionSub

b::u22> FM2;

typedef FractionSub

b::u32> FM3;

typedef BuildUnit<

FM1::U1,FM1::U2,

FM2::U1,FM2::U2,

FM3::U1,FM3::U2> ResultType;

};

語法：UnitDivide ::ResultType

語義：單位Ua除以單位Ub后的新單位。

（5） 單位的等價測試函數（宏）

#define UNIT_CHECK(a,b) StaticAssert<

(a::u11==b::u11) && (a::u12==b::u12) &&

(a::u21==b::u21) &&

(a::u22==b::u22) &&

(a::u31==b::u31) && (a::u32==b::u32)>()

語法：UNIT_CHECK(Ua,Ub);

語義：若單位Ua與單位Ub等價則不產生任何效果，否則產生編譯期錯誤。

2.3 單位和量綱標注的原理和語法

與Osprey等方法類似，TADA方法也在待檢測源程序進行單位標注，以使得檢測器能夠知道每個變量的單位。由于經過單位標注的待檢測程序仍然是合法的可編譯的程序，所以標注信息必須由語言自身已有的語法要素構成；標注信息還不能影響被標注變量的任何計算特性及使用方式，只有滿足這兩點要求的標注方式才能使標注工作量最小化。此外，已標注變量應該禁止從未標注變量進行各種隱含的類型轉換，這樣嚴格的限制才能有效進行單位量綱的匹配檢測。對于C++語言來說，可以采用模板類的方式實現。

標注實質上是把語言原始的數據類型替換成TADA方法預定義的模板類，而模板類實現了各種運算符號的重載，同時禁止了任何隱含的類型轉換，使得量綱標注既滿足語法要素的要求，又滿足計算兼容性的要求和禁止隱含轉換的要求。TADA方法中標注的實現如下所示。

template

//T為基礎變量類型（int、double...）

struct UnitBase//U為單位量綱信息

{

typedef UnitBase ThisType;//自身類型

T value; //實際的數值

UnitBase(){}

explicit //禁止從基礎類型進行隱含構造轉換

UnitBase(T init_value):value(init_value){}

operator T (){return value;}

//允許向基礎類型隱含轉換

//以下定義各種運算符，使得標注類可以模擬原始變量進行各種運算

#define TEMPLATE template

TEMPLATE UnitBase(const UnitBase& rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);//單位等價性檢測

value=rhs.value;

}

TEMPLATE ThisType& operator = (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);

value=rhs.value;

return *this;

}

TEMPLATE bool operator == (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);

return value==rhs.value;

}

TEMPLATE ThisType& operator += (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);

value+=rhs.value;

return *this

}

TEMPLATE ThisType& operator －= (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);

value－=rhs.value;

return *this

}

TEMPLATE ThisType operator + (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);

return ThisType(value+rhs.value);

}

TEMPLATE ThisType operator － (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);

return ThisType(value－rhs.value);

}

TEMPLATE UnitBase::ResultType>

operator * (UnitBase rhs)

{

typedef UnitMultiply::ResultType TT;

return UnitBase(value*rhs.value);

}

TEMPLATE ThisType& operator *= (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U2,UnitRoot);

value*=rhs.value;

return *this;

}

TEMPLATE UnitBase::ResultType>

operator / (UnitBase rhs)

{

typedef UnitDivide::ResultType TT;

return UnitBase(value/rhs.value);

}

#undef TEMPLATE

//以下定義可以顯式禁止其他一切引起隱含類型轉換的運算

template ThisType operator + (T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType operator － (T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType operator * (T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType operator / (T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType& operator += (T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType& operator －= (T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType& operator *=

(T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType& operator /= (T2 rhs){return UnitError;}

};

2.4 定義單位量綱

量綱檢測系統應該預定義常用單位量綱，以方便應用開發人員使用。TADA方法采用如下方式定義單位量綱：

{//米

typedef UnitBase Double;

typedef UnitBase Float;

typedef UnitBaseInt;

typedef UnitBaseLong;

}

namespace KG //千克

{

typedef UnitBaseDouble;

typedef UnitBaseFloat;

typedef UnitBase Int;

typedef UnitBaseLong;

}

namespace Second//秒

{

typedef UnitBase Double;

typedef UnitBase Float;

typedef UnitBaseInt;

typedef UnitBase Long;

}

namespace Acceleration //加速度：米/秒^2

{

typedef UnitBase Double;

typedef UnitBaseFloat;

typedef UnitBaseInt;

typedef UnitBaseLong;

}

namespace Radian//弧度

{

typedef UnitBase Double;

typedef UnitBase Float;

typedef UnitBaseInt;

typedef UnitBase Long;

}

namespace AngleDegree //角度

{

typedef UnitBase Double;

typedef UnitBase Float;

typedef UnitBase Int;

typedef UnitBase Long;

}

……

2.5 數學運算函數的量綱包裝

對于指數、對數、三角函數等已有的數學運算函數，其參數與返回值都是沒有單位量綱的，不能直接用于有量綱的公式計算。針對這個問題，TADA方法提供了這些函數的量綱包裝，以sqrt和sin為例如下：

#define HALF_UNIT(U) BuildUnit

template

UnitBase Sqrt(UnitBase

U> n)

{//開方函數應使單位的所有量綱減半

return UnitBase(::sqrt(n.value));

}

#undef HALF_UNIT

template

UnitBase Sin(UnitBase n)

{//正弦函數的參數應為弧度，返回值為無量綱

UNIT_CHECK(U,URadian);

return UnitBase(::sin(n.value));

}

2.6 輔助工具

TADA方法還提供了一些輔助工具，用于將量綱變量以適合閱讀的方式顯示出來，例如：

Unit::Second::Double n(10);

Unit::Meter::Double m(20);

cout<

可以得到這樣的輸出結果：

0.2米/秒^2

2.7 分析和評估

在TADA方法的基礎上，實現了面向C/C++程序的量綱檢測系統（TADA系統），并對TADA系統的檢測能力進行了分析和評估。

首先采用TADA系統來檢測下面的樣例程序。

unit.cpp

#include "unit.h"

using namespace std;

int main(int argc,char* argv［］)

{

Unit::Second::Double n(10);

Unit::Meter::Double m(20);

Unit::KG::Double c; //示量綱不匹配

c=m/n/n;

return 0;

}

在TADA系統中，Visual Studio 2003編譯該程序會出現類似如下的錯誤信息，錯誤信息的第3行就表明了unit.cpp的第9行有錯誤。

meta_prog_basic.h(15) :error C2065:"UnitError":未聲明的標識符

d:\My Documents\Visual Studio Projects\unit\unit_core.h(70) :參見…的引用

d:\My Documents\Visual Studio Projects\unit\unit.cpp(9) :參見…的引用

…

在檢測能力方面，采用文獻［2］的樣例程序對TADA系統和Osprey系統的量綱檢測能力進行了對比評估。在文獻［2］中，Osprey共找到了3個錯誤，其中前2個是單位誤用錯誤，第3個是單位轉換比例因子錯誤。TADA系統也完全找到了前2個錯誤，而第3個錯誤在標注時被避免掉了，因為該單位系統包含了量綱之間的比例因子，能夠進行自動的單位轉換。

在性能和可擴展性方面，TADA系統能夠更有效地實現對C/C++程序的量綱檢測。Osprey系統引入了具有較高計算復雜度的線性方程組求解步驟，需要很大的計算和時間開銷來解線性解方程組。TADA系統基于模板元編程技術，只需要利用語言自身的語法能力，靠編譯器進行單位量綱檢查，沒有帶來太多額外的復雜計算。并且TADA系統不會帶來任何程序的運行時開銷。因此TADA系統可適用于各種規模的C/C++程序，具有更好的性能和可擴展性。

在易用性方面，TADA系統的標注負擔與Osprey系統相當。由于TADA系統利用C++編譯器的功能進行錯誤檢測，而C++編譯器遇到模板錯誤時的錯誤信息卻不很直觀，錯誤報告的可讀性較弱，但仍可以快速定位到錯誤點。

3 結 語

這里提出一種新穎的基于模板元編程的單位量綱檢測方法TADA，并基于該方法實現了一個單位量綱檢測系統。

TADA方法采用模板元編程技術，使得經過單位量綱標注的受測程序仍然是一個完整、合法、可編譯的C/C++程序，無需維護多套程序代碼，也無需進行復雜的解方程組運算，就能夠在程序代碼中發現量綱錯誤，具有良好的實用性和可擴展性，可以有效適用于多種規模程序的量綱檢測。

參 考 文 獻

［1］Mars Climate Orbiter Mishap Investigation.ftp://ftp.hq.nasa.gov/pub/pao/reports/1999/MCO_report.pdf.

［2］Jiang Lingxiao,Su Zhendong.Osprey:A Practical Type System for Validating Dimensional Unit Correctness of C Programs.Proc.of ICSE′06.Shanghai,2006.

［3］Allen E E,Hase D,V.Luchangco,et al.Object－oriented Units of Measurement.Proc.of OOPSLA′04.Canada,2004:384－403.

［4］Brown W E.Applied Template Meta－programming in SIUNITS:The Library of Unit－based Computation.http://www.oonumerics.org/tmpwol/brown.pdf,2001.

［5］Foster J S,Ahndrich M F,Aiken A.A Theory of Type Qualifiers.Proc.of PLDI′99.Ottawa,1999,34(5):192－203.

［6］Todd L Veldhuizen.C++ Templates are Turing－complete.http://osl.iu.edu/~tveldhui/papers/2003/turing.pdf.

［7］Micolai Josuttis,David Vandevoorde.C++ Templates:The Complete Guide.Pearson Education,2003.

［8］The Boost:MPL Library.http://www.boost.org.

［9］Anderson E,Bai Z,Bischof C,et al.LAPACK Users′ Guide.Third Edition.Society for Industrial and Applied Mathematics,1999.

［10］Das M,Lerner S,Seigle M.ESP:Path－sensitive Program Verification in Polynomial Time.Proc.of PLDI′02.Ottawa,2002:57－68.

［11］Antoniu T,Steckler R A,Krishnamurthi S,et al.Validating the UnitCorrectness of Spread Sheet Programs.Proc.of ICSE′04.Edinburg,2004:439－448.

作者簡介 羅京麗 女，1977年出生，江西安福人，江西省輕工高級技校講師，學士。主要研究方向為計算機軟件和計算機應用。

杜建革 男，1973年出生，重慶人，南京理工大學碩士。主要研究領域為計算機軟件和計算機應用。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。