矩陣實C-特征值的計算

張桂穎，于 濤

(通化師范學院 數學系，吉林 通化 134002)

1 引言

矩陣的C-特征值在許多現代隨機過程計算及應用二階線性偏微分方程解某些物理問題的計算中有著重要的應用.本文中記λc(A)為A的全體C-特征值集，λ(A)為A的全體特征值集.我們知道若λ∈λc(A)，且λ∈R則對?θ∈R，eiθλ∈λc(A)[1]，因而我們研究矩陣的C-特征值只需研究λc(A)中的全體非負實C-特征值.但是計算矩陣的實C-特征值也并非易事，文中將計算復矩陣的實C-特征值問題轉化為計算實矩陣的特征值問題.

2 主要結論

定義1[2]設A=(aij)∈Cn×n是給定的矩陣，如果對某λ∈C及x=(xi)∈Cn{0}，使A=λx，則稱λ為A的C-特征值，x為相應的C-特征向量.

定理1A∈Cn×n,且λ≥0是給定的,則

λ∈λc(A)?λ∈λ(A).

證明 必要性λ≥0,λ∈λc(A),存在x∈Cn{0},A=λx,從而

Ax=A(λ)=λ(A)=λx

即λ∈λ(A).

充分性λ∈λ(A),存在x∈Cn{0},Ax=λx,

若A與x線性相關,則存在μ∈C使得A=μx,即μ∈λc(A),而

λx=Ax=A(μx)=|μ|2x

說明|μ|=λ,有|μ|=λ∈λc(A).

若A與x線性無關,則取y=A+λx,y必非零,

A=Ax+λA=

λx+λ(A)=λy,λ∈λc(A).

定理2A=Ar+iAi∈Cn×n,Ar,Ai∈Rn×n,λ=λr+iλi∈C{0},λr,λi∈R,則

λ∈λc(A)?1∈λ()

λrAi-λiAr-λrAr-λiAi).

證明 必要性λ∈λc(A),即存在x=u+iv∈Cn{0}，u，v∈Rn，使A=λx,展開可得

{Aru+Aiv=λru-λiv
Aiu-Arv=λiu+λrv

(1)

即

(u
v)=
1λ2r+λ2i(λr(Aru+Aiv)+λi(Aiu-Arv)
λr(Aiu-Arv)+λi(-Aru-Aiv))=
1λ2r+λ2i(λ2ru+λ2iu
λ2rv+λ2iv)=(u
v)

所以有1∈λ().

充分性 1)若λr=0則λi≠0,此時=1λi(Ai-Ar

-Ar-Ai),設X+iY∈C2n{0}滿足(X+iY)=X+iY,則X=X,Y=Y,故只須取X∈R2n{0},使X=X,X=(u

v),代入即可推出(1)式,設x=u+iv則有A=iλix=λx.

2)若λr≠0,且1∈λ(),則X=X,X=(u

v)≠0,將(u

v)=(u

v)左乘(λrI-λiI

0λ2r+λ2iλrI)，可得

(ArAi

Ai-λiλrAr-Ar-λiλrAi)(u

v)=

(λrI-λiI

0λ2r+λ2iλrI)(u

v)，

再左乘(I0

λiλrII)可得

(ArAi
Ai-Ar)(u
v)=(λrI-λiIλiIλrI
λiIλrI)(u
v)

即可推出(1)式,設x=u+iv則有A=λx.

推論1A=Ar+iAi∈Cn×n,Ar,Ai∈Rn×n,λ=λr+iλi∈C{0},λr,λi∈R,則

0≠λ∈R∩λc(A)?λr∈λ(1),λ∈R

Ai-Ar).

證明 必要性λ∈R∩λc(A),即存在x=u+iv∈Cn{0}，u，v∈Rn，使A=λx,展開可得

{Aru+Aiv=λru
Aiu-Arv=λiu

(2)

v)=λr(u

v)，所以λr∈λ(1).

v)=λr(u

v)，將1代入展開即為(2)式，又λ=λr，故A=λrx=λx.

推論2A=Ar+iAi∈Cn×n,Ar,Ai∈Rn×n,λ=λr+iλi∈C{0},λr,λi∈R,則

0≠λ=iλi∈λc(A)?λi∈λ(2),λ∈C

-Ar-Ai).

證明 仿推論1的證明即可.

由此得到了簡單復矩陣的實C-特征值與普通矩陣的特征值的關系,實質上也是給出了計算復矩陣實C-特征值的方法.

3 舉例應用

例1 計算矩陣A=(1+i-1

i0)的實C-特征值.

解法1A=(1+i-1

i0)(1-i-1

-i0)=(2+i-1-i

i+1-i),det(λI-A)=(λ-1)2,λ=1(二重),由定理1有1∈λc(A),再由[1]有-1∈λc(A),從而A實C-特征值為±1.

解法2A=(1-1

00)+i(10

0010

10-11

1000)，det(λI-1)=(λ-1)2(λ+1)2，λ=±1(各二重)，由推論1,A實C-特征值為±1.

由此例題可以看出方法二比方法一計算簡便些，而且結果直接.在解題過程中可以直接應用方法二.矩陣的C-特征值與特征值有本質區別,一個矩陣可能存在C-特征值,還可能根本就不存在C-特征值,將復矩陣的C-特征值存在的判定及計算轉化為普通矩陣的特征值問題是解決矩陣C-特征值問題的最好辦法.

參考文獻：

[1]楊奇.矩陣分析[M].北京:機械工業出版社,2005.

[2]Roger A.Horn and Charles R.Johnson.Matrix Analysis[M].New York:Cambridge University Press,1985.

[3]Roger A.Horn and Charles R.Johnson.Topic in Matrix Analysis[M].New York:Cambridge University Press,1991.

[4]逄明賢.矩陣譜論[M].長春:吉林大學出版社,1989.