兩種索單元解析解對比

摘要：目前索單元有兩種形式為拋物線索單元和懸鏈線索單元，兩者均假定索為理想柔索，小應變假定。拋物線索單元在推導協調方程過程中，引入小垂度假定，簡化了協調方程，但其應用受局限，僅應用于小垂度或兩端高差較小的情況；懸鏈線索單元荷載沿索長均布，曲線形狀為懸鏈線，其協調方程及曲線方程復雜，卻是沿索長均布受荷索元形狀的精確解。

關鍵字：拋物線索單元；懸鏈線索單元；解析法；

根據索單元所受荷載及垂度的不同，可將其分為拋物線索單元和懸鏈線索單元。利用兩種單元進行分析時，均采用如下相同的基本假定：

（1）索為理想柔索，只能承受拉力，不能承受壓且無彎曲剛度；

（2）索材料符合虎克定律，且滿足小應變假定。

兩種單元對索的基本假定一致，但兩種單元在求解的推導過程中對索所受力的假定、索形狀的假定卻不同，導致兩種索單元解析解的不同。

1 拋物線索單元

拋物線索單元其平衡形狀認為成拋物線形狀，拋物線索單元除了基本假定外，還假定：索為小垂度；索段上承受的分布荷載近似認為沿弦長均布。

圖1為拋物線索單元，定義其局部坐標o?-x???z?，其中x???軸平行于索段在整體坐標系o-xy平面上的投影線，z?軸和z軸與索上均布荷載同向。根據懸索理論，曲線方程為：

（1.1）

式中：l為懸索兩端節點的水平距離，c為懸索兩端節點的豎向高度差，r為懸索兩端節點的弦向距離，t為懸索張力，h為索力水平分量，為常數。

圖 1拋物線索單元

根據曲線方程，索兩端節點的切線與x???（水平面）的夾角，可以得到下式：

（1.2）

引入小變形假定，索由于張力t引起的變形伸長量Δs可由下式近似求得：

（1.3）

引入小垂度假定，變形后索長s近似按如下求得：

（1.4）

根據s0+Δs=s的變形協調條件，可以得到拋物線索單元的變形協調方程式為：

（1.5）

式（1.5）為給定原長為s0的索在其自重作用下的變形協調方程，索張力水平分量（h）、形狀參數（l，c）、索上均布荷載 以及索的材料特性（E，A）之間的關系。

2 懸鏈線索單元

與拋物線索單元不同，懸鏈線索單元認為索的平衡曲線為懸鏈線，并假定索上的荷載（包括自重）沿索長均布時，并考慮索的大垂度。圖2為懸鏈線索單元，定義其局部坐標系o?-x???z?，其中x??軸平行于索段在整體坐標系o-xy平面上的投影線，z?軸和z軸與索上均布荷載同向。其曲線方程為：

(2.1)

式中：L是懸索兩端節點的水平距離；C是懸索兩端節點的豎向高差；q為沿索長的均布荷載；H是懸索張力的水平分量，為常數。

圖 2懸鏈線索單元

將式(2.1)對x???進行求導，可得懸鏈線斜率方程為：

(2.2)

當 ＝0時，有 。索端張力Ti, Tj與z?(x?),H的關系式為:

(2.3)

在局部坐標系o?-x???z?下，索端張力在各坐標軸上的分量為:

(2.4)

在整體坐標系下，索端張力對索兩端i,j節點產生的節點力分別為:

(2.5)

(2.6)

以上兩式中：(xi,yi,zi)分別是單元兩端節點在整體坐標系下的坐標。

根據幾何條件，變形后索長s可按下式計算：

(2.7)

引入小應變的假定，索由于張力引起的變形伸長量Δs可由下式求得：

(2.8)

根據s0+Δs=s的變形協調條件，可以得到懸鏈線索單元的變形協調方程式為：

(2.9)

式(2.9)反映了索單元原長（s0）、索張力水平分量（H）、形狀參數（L，c）、索上均布荷載q以及索的材料特性（E，A）之間的關系。

3拋物線索單元與懸鏈線索單元比較

拋物線索單元在推導協調方程過程中，引入小垂度假定，而懸鏈線索單元無此假定。拋物線索單元的曲線方程和協調方程都較懸鏈線索單元的簡單。兩者索單元曲線方程與協調方程對比如下：

拋物線索單元曲線方程為：

(3.1)

協調方程為：

(3.2)

懸鏈線索單元曲線方程為：

(3.3)

協調方程為：

(3.4)

(3.5)

拋物線方程比懸鏈線方程明顯簡單，而且小垂度假定的引入使得拋物線索單元的協調方程較懸鏈線的協調方程更加簡單。兩者的應用性，運用以下算例進行對比。

算例 索的彈性模量E=1.13×1011N/m2，索截面面積為A=5.48×10-4m2，均布荷載q=46N/m2（對于拋物線索使得r=l，均布荷載沿即x?軸分布；懸鏈線索沿索長均勻分布）。給定原長情況下，各自的索中拉力h：

（1）

（2）

（3）

（4）

利用matlab計算結果如下表所示：

表1 拋物線與懸鏈線索單元拉力值

編號 拋物線索單元h（kN） 懸鏈線索單元H（kN）

（1） 1.7902×104 3.5495×105

（2） 7.1744×103 9.6251×104

（3） 2.9637×103 5.3952×104

（4） —— 3.5445×104

第四種情況時，用拋物線索單元計算出的結果為負值，由此也可看出拋物線索單元只針對于小垂度問題。比較拋物線索單元和懸鏈線索單元，可知在確定索原長，和其它條件相同時，懸鏈索單元計算出的索拉力的水平分量較大。

4結論

兩種索單元均認為索為理想柔索，不受壓且無彎曲剛度，只能承受拉力作用。在其變形過程中，位移為大位移，假定其應變為小應變，服從胡克定理。拋物線索單元在推導協調方程過程中，引入小垂度假定，而懸鏈線索單元無此假定。拋物線索單元的曲線方程和協調方程都較懸鏈線索單元的簡單，但是有局限性，只能應用于小垂度或兩端高差較小的情況，而懸鏈線索單元是沿索長均布受荷索元形狀的精確解。

參考文獻

[1]董石麟，羅堯治，趙陽等，新型空間結構分析、設計與施工[M]，北京：人民交通出版社2006。

[2]沈世釗，徐崇寶，趙臣等，懸索結構設計[M]，北京：中國建筑工業出版社，2005。

[3]袁行飛，董石麟，二節點曲線索單元非線性分析[J]，工程力學，1999。

作者簡介:周雨斌(1983-),男,湖南株洲人,工學碩士,浙江大學建筑設計研究院,助理工程師

注：文章內所有公式及圖表請以PDF形式查看。