求解地基極限承載力的上限有限元滑動面搜索法

王宇航 楊峰

摘 要：提出一種基于上限有限元的滑動面搜索法用于求解地基極限承載力。計算思路為：通過將破壞區域按照假定可能的破壞模式的方式進行網格劃分并且網格參數化，然后利用上限有限元求解對應參數條件下的上限解，再從中選取最優上限解及其對應的滑動面，即達到利用上限有限元搜索最優滑動面的目的。該法綜合了上限有限元計算靈活、剛體滑塊上限法可獲得直觀滑動面的特點，可高效快速的獲得一系列上限解并從中優選，具有計算成本低，且能保證計算精度等優勢。通過條形基礎地基極限承載力的計算分析，驗證了該法的有效性，并可望應用于類似問題。

關鍵詞：極限分析上限有限元上限法剛體滑動面地基極限承載力

1 引言

在進行巖土工程穩定性分析時，采用極限分析上限法能直接快速獲得上限解。傳統的上限法（剛體滑塊上限法）需預先假定破壞模式[1]，而上限有限元法通過將破壞區域離散成三角形單元，通過系統耗能最小原理直接搜索獲得上限解[2,3]。

剛體滑塊上限法對于特定問題求解簡單，并可得到具體的滑動面；上限有限元法計算結果與網格單元存在依賴性，計算獲得的滑動面形狀不明顯。

本文試圖結合兩者的優勢，即采用假定破壞模式的方式劃分上限有限元網格，將破壞區域的滑動面表示成帶參數的多段線，調整滑動面參數并利用上限有限元進行計算獲得一系列上限解，最后從中選取最優解。

本文以經典的條形基礎地基承載力問題為例，說明采用上述思路的實現過程，計算結果與現有文獻進行對比分析，論證基于上限有限元的滑動面搜索法對特定問題的可行性和有效性。

2 極限分析上限有限元

極限分析上、下限理論應用于巖土工程穩定性分析的原理和方法在Chen W F的著作中有詳細的論述[1]。由于計算簡便，極限分析上限法長期以來均采用與極限平衡法類似的假定剛體滑面模型的形式。

然而，當破壞模式不易假定時，采用Sloan等提出的上限有限元模型就變得更加有效[2]。本文所采用的上限有限元原理和流程參考了Sloan等所作的工作[2,3]，區別在于網格劃分按照假定破壞模式的方法進行。

當采用線性規劃模型時，上限有限元需對摩爾-庫倫屈服準則進行線性化，之后模型即可轉化為如下線性規劃問題：

Minimize(1)

Subject to(2)

式(1)、(2)中為目標函數(1)的系數向量；為決策變量，由單元節點速度（實域）、速度間斷線輔助速度參數（非負值）和單元內部塑性乘子（非負值）組成；為等式約束系數矩陣，為等式約束右側向量。

由虛功率平衡方程獲得目標函數(1)；等式 (2)由單元內部和速度間斷線塑性流動約束條件、速度和應力邊界約束條件組成。上限有限元基本原理及具體實現過程參見文獻[3]。

3 條形基礎地基承載力

3.1 上限有限元模型建立

地基極限承載力可方便的轉化為求解承載力系數,和，其中與自重相關的承載力系數的解答需通過數值計算獲得。為減少篇幅，本文僅進行的計算。

地基承載力上限有限元模型網格劃分如圖1所示。利用對稱性，只考慮模型右側的一半?？梢钥闯?，三角形單元的布置與現有的破壞模式近似。破壞模式由5個三角形組成，其中過渡區三角形個數；破壞模式可由圖中的角度,,,唯一確定。為使剛體運動更加靈活，過渡區中每個三角形的角度,可取不同數值。以角度為決策變量，耗散能最小化為目標函數，對應的速度矢量閉合圖為幾何約束條件，即構成剛體滑塊上限法的求解方法。

剛體滑塊上限法認為耗散能僅在間斷線上發生[4]。采用上限有限元時，三角形單元也允許發生塑性變形，而不再是剛體。如圖1，上限有限元求解承載力問題時，建立圖示的坐標系，模型邊界條件為：基礎下方三角形單元左側邊節點向速度分量，上邊向速度分量，向速度分量；下邊界滑動面對應的邊界條件（剛性邊界）為，此約束并未將臨近的三角形單元節點速度置零，而是在剛性邊界添加虛擬節點，并將這些節點的速度分量均置零，然后在滑動面上施加間斷線約束條件。

圖1 地基承載力上限有限元模型網格劃分及邊界條件

由于基礎下方的三角形向速度置零，意味著基礎與地基之間完全粗糙。

上限有限元計算前需確定三角形單元的數目()和摩爾-庫倫屈服準則線性化對應的塑性乘子數目，之后將模型的幾何和力學參數導入已編制的上限有限元程序，通過求解線性規劃問題即可獲得承載力系數的上限解。

3.2 地基破壞時滑動面搜索策略

按照圖1模型設置的三角形單元較少，因此對于特定網格所獲上限解精度不高。于是，將上述上限有限元的網格參數化，即由三個角度參數,,確定一系列的網格，計算對應的上限解，再從中選取最小值，與其對應的,,所確定的破壞模式和滑動面即為搜索過程獲得的最終結果。

從圖1可知，參數,,的取值存在合理范圍：

(3)

因此，參數,,的取值可在式(3)所示的范圍內均勻選取。同時，為了減少無效的計算量，在試算的基礎上也可將式(3)中的參數取值范圍進一步縮小。

4 計算結果討論

按照上述方法，以下采用上限有限元進行地基承載力的計算以及最優滑動面的搜索。

4.1 計算參數的設置

選取破壞模式過渡區三角形單元數目為，塑性乘子數目。于是模型單元總數為102，間斷線數目202。以內摩擦角為 例，參數的取值范圍選取為；參數的取值范圍選取為；參數的取值范圍為。

計算步驟為：①按照2°間隔依次選取參數；②對于每個值，按1°間隔依次選取參數；③對于每組和值，按1°間隔依次選取參數；④對于每組,和值，進行一次上限有限元計算并記錄獲得的值；⑤進行循環計算，獲得取值范圍內每個,和值組合對應的值；⑥得到所有值的最小值。

4.2 計算結果分析與討論

當時，采用上限有限元法獲得的承載力系數計算結果如表1。

表1 地基承載力系數Nγ計算參數和結果

/° /° /° Nγ

128 100 100 40 53 21.00

102 40 51 20.63

104 40 48 20.43

106 40 46 20.40

108 40 43 20.51

110 41 41 20.78

112 41 39 21.20

114 42 37 21.74

116 41 36 22.34

118 42 32 22.84

120 43 30 23.54

表1列出了不同參數取值時計算結果。其中最優解為，對應的,和值分別為106°, 40°和46°。

最優解對應的三角形單元網格劃分和破壞模式見圖2。如圖2(a)，其中地基破壞模式的過渡區內劃分了密集的三角形單元，以形成速度間斷線并減小滑動面范圍。圖2(b)為破壞模式，即表示基礎向下移動單位長度1時，地基內部破壞區域的運動形態?？梢钥闯?，單元之間錯動，說明速度間斷線的作用明顯。被動區的三角形單元向上擠出，說明單元發生了顯著的變形，不再為剛體。

(a) 三角形單元網格劃分

(b) 破壞模式

圖2 計算承載力系數時的網格劃分和所獲破壞模式

按4.1節計算步驟，表1列出了時不同取值對應的較優上限解和參數,值。將表中每個取值對應的破壞區域滑動面形狀繪制如圖3所示。其中值越大，對應的滑動面范圍越大。最優解對應于從上至下第四條滑動面?？梢韵胂?，破壞范圍越大，對應的值越大；然而破壞范圍越小，其破壞區域的速度場變化越劇烈，自重功率也將增加。于是，最優解對應的滑動面包含在圖3所示的最大與最小破壞區域之間。

圖3 不同取值對應的破壞區域滑動面

為說明不同參數取值時計算結果的差異，以下將時，不同和取值對應的值示意如圖4。

圖4 和不同取值對應的承載力系數計算結果

圖4右側坐標軸表示角度，取值范圍為；左側坐標軸為角度，取值范圍為；豎向坐標軸表示承載力系數。從圖中可知，當取較小值、取較大值時，計算得到的值較大。值組成的曲面呈凹形，盡管曲面底部較平緩，但仍存在最小值為20.40，說明通過設定參數取值范圍并逐次計算確實可以搜索到最優解。

表2列出了內摩擦角取不同值時所得的承載力系數計算結果以及對應的角度參數,和值，計算選取, 。其中右側文獻[5]為Soubra采用多剛體塊上限法獲得的值；而文獻[6]為Martin采用滑移線法經高精度數值計算獲得的值，可認為是精確解。

表2 地基承載力系數Nγ計算參數和結果

/° /° /° /° 本文

Nγ 文獻[5]

Nγ 文獻[6]

Nγ

10 86 3 60 0.71 0.85 0.43

20 92 26 56 4.24 4.67 2.84

30 106 40 46 20.40 21.88 14.75

40 118 52 38 113.77 120.96 85.57

從表2可看出，本文所得上限解優于采用剛體滑塊上限法的文獻[5]，這與單元允許發生塑性變形有關；本文上限解較之文獻[6]的精確解仍存在誤差，可通過進一步細化網格，特別是設置多層單元的方式進行彌補，這也是后續需展開的工作。

為了說明塑性乘子數目對計算結果的影響，將值取4~128時對應結果列表如表3?？梢钥闯?，值較小時，所得值變大，計算結果精度降低；而當值大于64時，計算結果的變化不再明顯。

表3 地基承載力系數Nγ計算參數和結果

/° /° /° Nγ

4 100 106 40 46 21.43

8 20.96

16 20.55

32 20.44

64 20.40

128 20.40

地基破壞模式中的過渡區的三角形數目亦對計算結果有影響，將取不同值時對應的值列表如表4?？梢钥闯?，隨著值增加，計算結果變小，計算精度增加。這主要得益于三角形數目越多，破壞范圍越小且過渡區速度間斷線也越多。

表4 地基承載力系數Nγ計算參數和結果

/° /° /° Nγ

128 10 106 40 46 22.32

20 21.72

40 20.99

60 20.68

80 20.50

100 20.40

為了揭示值對破壞模式以及滑動面的影響，將時的三角形單元網格劃分和計算得到的破壞模式示意如圖5。與圖2對比可發現，取值較小時，破壞范圍相應變大，破壞區域的變形特別是基礎角點附近的變形劇烈程度降低，因此所得上限解精度降低。

(a) 三角形單元網格劃分

(b) 破壞模式

圖5 計算承載力系數時的網格劃分和所獲破壞模式

5 結論

以條形基礎地基承載力問題為例，提出采用假定破壞模式的方式建立上限有限元計算網格，并將破壞模式的滑動面參數化。通過上限有限元求解對應參數條件下的一系列承載力系數的上限解，再從中選取最優上限解和對應滑動面，即達到采用上限有限元搜索最優滑動面的目的。

基于上限有限元的滑動面搜索法具有計算成本低，且計算精度有保證，能直觀獲得破壞區域滑動面的優勢；該法可望通過進一步的改進應用于特定的巖土工程穩定性課題。

參考文獻：

[1]Chen W F, Limit analysis and soil mechanics [M]. Elsevier Scientific Publishing Company, New York, 1975.

[2]Sloan S W, Kleeman P W. Upper bound limit analysis using discontinuous velocity fields [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1995, 127: 293–314.

[3]楊峰, 陽軍生, 張學民. 基于線性規劃模型的極限分析上限有限元的實現 [J]. 巖土力學, 2011, 32(3): 914–921.

[4]陳祖煜. 土力學經典問題的極限分析上、下限解 [J]. 巖土工程學報, 2002, 24(1): 1–11.

[5]Soubra A H. Upper-bound solutions for bearing capacity of foundations [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 1999, 125: 59–68.

[6]Martin C M, Exact bearing capacity calculations using the method of characteristics [C]// Proceedings of the 11th International Conference of IACMAG, Turin, 2005, 4: 441–450.

注：文章內所有公式及圖表請用PDF形式查看。