雙元計算法求體積本征值

吉紫娟，包佳祺，靳海芹，肖明

(1.湖北第二師范學院理論物理研究所，湖北 武漢 430205；2.華中科技大學文華學院光信息科學與技術系，湖北 武漢 430074)

目前，圈量子引力取得的主要成果之一是空間的量子化.利用使空間量子化的自旋網編織空間，以及由自旋網產生的黑洞表面量子化面積與黑洞輻射等的研究，在Hamilton動力學的研究中得到的時空泡沫理論，也為時間的量子化提出了模式.對于空間的量子理論，其成果主要集中在面積與體積的量子化研究上，目前這方面已經取得了完整的結果，并在理論本身以及黑洞量子行為等研究上，做出了理論預言.在空間量子化的具體計算上，存在著不同的方法，它們都能說明量子化的基本原理的正確，而所帶來的不同，則體現了不同方法的特色[1].本文中用抓算符直接抓在圈線上的方式，并采用Penrose的雙元恒等式進行計算，給出一種體積量子化方法.該方法可以求出任意價頂角的體積，并且可以應用到求面積的本征值中，使圈量子引力中求面積、體積本征值的方法達到統一[2].

1 體積算符及其對自旋網的作用原理

1.1圈變量表示的體積算符在介紹雙元計算方法之前，首先給出體積算符的定義及其作用的一般原則[3].體積算符與面積算符一樣，也應當與背景無關，而且它們的作用結果應當是得到有限的期望值和微分同胚不變的.本文利用體積表式：

(1)

來計算體積.由該體積表式出發，可用與背景無關的體積算符的正規化手段，得到空間體積量子化的期望值.為此，定義帶有3個抓的圈變量：

(2)

式中，α為連接s和t的直線段.從而，當圈α縮成一點x時，可得:

(3)

由于(3)式的存在，使得用圈變量Tabc[α]代替微體積平方算符對自旋網頂角的作用成為可能，現在考慮“密度”：

(4)

式中，αστρ為一個三角圈，它的3個點σ，τ，ρ連接在微立體RIε的3個積分表面上，DIε相當于微立體體積密度的平方.

對于量子化的體積算符，有如下表式：

(5～6)

上式中的微體積密度，將通過如下帶有圈變量的形式給出：

(7)

(8)

圈αστρ上的抓三重組(σ，τ，ρ)抓在

(9)

(9)式為空間∑中的體積算符對自旋網態作用的本征方程，它規定了算符作用的一般原則.該式對自旋網S的任何頂點的任意3-頂角展開的任何著色均適用.

(10)

(11)

2 3價頂角、4價頂角及5價頂角的體積

(12)

2.13價頂角的體積譜通過3-頂角的圈線，抓三重組對3-頂角作用時，只有3種不同線型.將3種線型貢獻的抓法數加在一起，經計算，其和為p1p2p3.令p1p2p3=G3，G3為頂角抓法數，將其代入(12)，得到3-頂角的體積譜為：

(13)

式中，p1，p2，p3為毗鄰3-頂角的三條腿的顏色.

2.24價頂角的體積譜對一個4-頂角求體積，首先將其進行3-頂角展開，得到一個確定的3-頂角展開圖，如圖1：

圖1 4價頂角的3-頂角展開

圖2 4價頂角含對穿圈線的網結

對于4-頂角，抓作用的腿型只有(■-■-■)一種，抓三重組抓住通過鄰腿的圈線時對著色抓法數的貢獻為:

(14)

而抓住含有對穿圈線時對著色抓法數的貢獻為:

B4=2(i24p1p3+i13p2p4)+i13[(i23+i34)p1+(i12+i14)p3]+i24[(i34+i14)p2+(i12+i23)p4]+

(15)

(16)

(17)

圖3 5價頂角的3-頂角展開

圖4 5價頂角圈線走向圖

抓三重組在5-頂角的3條腿上，共有(■-■-■)和(■-■，■)兩種腿型作用.經過計算，分別得到5-頂角腿型(■-■-■)，不含與含諸對穿線的情況下對著色抓法數的貢獻A5，B5如下：

(18)

(19)

而5-頂角腿型(■-■，■)，通過5種抓法實現，這5種抓法抓在圈線上時對著色抓法數的貢獻為：C5=p1p2p4+p2p3p5+p3p4p1+p4p5p2+p5p1p3

(20)

(21)

(22)

3 結語

本文中利用將幾何算符中的抓，直接抓在自旋網的圈線上的方法，得到了3，4，5價頂角的體積算符的期望值.在演算過程中，除利用了抓作用使圈線反對稱外，只采用了Penrose雙元恒等式.其結果是，所有類型抓作用均為具有同一本征值的本征作用.存在于空間中的自旋網，在經歷所在空間的區域在頂角上施加的算符作用后，仍保持不變.從而，所有抓三重組作用的全部本征值的求得，將最后歸結為對頂角抓法數的求得，這是一個重要結論.利用雙元計算法得到的本征方程是個代數方程，與國外利用圖式算法求解比較，將更方便，更接近體積算符實際情況.利用該方法還可求得6-頂角或更高價頂角的體積.此外，這種方法不僅可以求得體積的本征值，還可應用到求面積本征值，使圈量子引力中，求面積、體積本征值的方法達到統一，并且還可用于微分同胚約束和Hamilton約束的計算[5].

[1] C Rovelli and L.Smolin，Discreteness of area and volume in quantum gravity[J].Nucl Phys B，1995，442:593-622.

[2] 邵丹，邵亮，邵常貴，等.自旋結網圈表象中體積與面積本征值[J].物理學報，2005，54(10):4549-4555.

[3] Loll R，The volume operator in discretized quantum gravity[J]. Phys Rev Lett，1995，75(17):3048-3051.

[4] Loll R，Spectrum of the volume operator in quantum gravity[J].Nucl Phys B，1996，460:143.

[5] 包佳祺，吉紫娟，肖飛.圈量子引力中面積算符的本征值[J].武漢理工大學學報：自然科學版，2010，32(8):133-135.