如何解決幾何動點型問題

☉江蘇省盱眙縣第二中學 莊億農

如何解決幾何動點型問題

☉江蘇省盱眙縣第二中學 莊億農

動點型問題就是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上，設計一個或幾個動點，并對這些點在運動變化的過程中相伴隨著的等量關系、變量關系、圖形的特殊狀態、圖形間的特殊關系進行研究考查.常見的動點型問題有單動點型和多動點型兩類.當一個問題是求有關圖形的變量之間關系時，通常建立函數模型或不等式模型求解；當求圖形之間的特殊位置關系和一些特殊的值時，通常建立方程模型去求解.

圖1

一、單動點型

例1 已知，如圖1，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O為原點建立平面直角坐標系，A，B，C三點的坐標分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點D為線段BC的中點，動點P從點O出發，以每秒1個單位的速度，沿折線OABD的路線移動，移動的時間為t秒.

（1）求直線BC的解析式.

（2）若動點P在線段OA上移動，當t為何值時，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的？

（3）動點P從點O出發，沿折線OABD的路線移動過程中，設△OPD的面積為S，請直接寫出S與t的函數關系式，并指出自變量t的取值范圍.

當動點P在線段BD上運動時，即18≤t＜23時（可以用勾股定理求出BD=5），△OPD的面積S=S△OPC－S△OCD=－1.6t+36.8.

點評：這是一道以直角坐標系為載體，通過一個動點在直角梯形邊上的運動，構成面積與圖形的形狀問題，主要考查了矩形的性質、勾股定理等有關知識.

二、雙動點型

例2 如圖2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12.動點P從D點出發沿DC以每秒1個單位的速度向終點C運動，動點Q從C點出發沿CB以每秒2個單位的速度向B點運動.兩點同時出發，當P點到達C點時，Q點隨之停止運動.

（1）求梯形ABCD的面積.

（2）當PQ∥AB時，P點離開D點的時間等于多少秒？

（3）當P，Q，C三點構成直角三角形時，P點離開D點多少時間？

圖2

圖3

（3）當P，Q，C三點構成直角三角形時，有兩種情況：

圖4

圖5

點評：解有兩個動點的運動型問題，先弄清楚兩個動點各自運動的出發點、路線、終點以及運動的速度和時間，然后在假設兩個動點在某處不動的情況下，對圖形進行分析與探究，利用所學數學知識求解.