變頻調速異步電動機電磁轉矩計算方法

王崇任，韓 力，李 輝

(重慶大學，重慶400044)

0 引 言

由于異步電動機具有結構簡單、運行可靠、價格低廉、無失步或退磁等一系列優點，因此在國民經濟各行各業應用廣泛。近年來，隨著電力電子技術的快速發展以及大容量變頻器的出現，異步電動機被越來越廣泛地應用于各種變頻調速系統中。變頻調速系統的出現，對異步電動機的電磁設計提出了新的要求。

常規異步電動機的電磁設計僅需要對額定轉矩、最大轉矩和起動轉矩進行校核計算［1］，而變頻調速異步電動機需要在相當寬的頻率范圍內變速運行［2］。因此，傳統的異步電動機電磁設計程序已無法滿足變頻調速異步電動機電磁設計的需要。

π 型等效電路模型計算精度高，但計算程序復雜、計算速度慢［3－4］;Г 型等效電路模型計算簡單，但計算精度低［1，5］。變頻調速異步電動機電磁在設計時，需要校核計算不同工況下多點上的電磁轉矩。為了兼顧計算精度和計算速度的要求，有必要對π型和Г 型等效電路計算模型進一步深入研究，并在此基礎上進行合理選用。

針對變頻調速異步電動機不同頻率段穩定運行電磁轉矩快速、準確計算的問題，本文首先對T 型、π 型、Г 型等效電路及其衍生出的其它等效電路計算模型進行理論分析和對比，并結合變頻調速異步電動機的運行特點，給出了各種等效電路計算模型的特點和適用范圍，通過與π 型等效電路精確計算模型的對比，說明了各種模型和算法的適用范圍。

1 電磁轉矩計算

三相異步電動機穩態電磁轉矩的計算需要用到等效電路。下面，首先對等效電路模型及其特點進行分析。

1.1 等效電路模型

眾所周知，反映異步電動機內部電磁關系的精確等效電路模型為T 型等效電路，如圖1 所示［3－5］。

圖1 T 型等效電路模型

其中images/BZ_61_342_368_394_439.png和images/BZ_61_458_366_495_434.png 分別為定子繞組的相電壓和相電流;images/BZ_61_239_457_279_530.png 為激磁電流;images/BZ_61_542_456_590_533.png為轉子繞組相電流的歸算值;r1和x1σ分別為定子繞組的電阻和漏抗;r2′和x2′σ分別為轉子繞組的電阻和漏抗歸算值;rm和xm分別為激磁電阻和激磁電抗;s 為轉差率。

為了準確反映激磁支路的物理本質，可將串聯的激磁支路轉化成由鐵耗電阻rFe和磁化電抗xμ并聯，從而得到π 型等效電路［3－4］，如圖2 所示。

圖2 π 型等效電路模型

經推導，將T 型等效電路轉化為準確Г 型等效電路，如圖3 所示。其中校正系數［5］:

圖3 準確Г 型等效電路模型

準確Г 型等效電路與T 型等效電路、π 型等效電路完全等價，只是電路的拓撲結構有所區別。在圖3 中，由于校正系數為復數，不便于計算。在額定工頻情況下，考慮到x1σ＞＞r1和xm＞＞rm，因此可將校正系數近似用一個標量來代替［1，5］:

將式(2)代入圖3，由此可得到較準確Г 型等效電路模型［5］，如圖4 所示。

圖4 較準確Г 型等效電路模型

根據較準確Г 型等效電路模型，經推導可得到異步電動機的電磁轉矩計算式［5］:

式中:m1、p、f 分別為定子繞組的相數、極對數、頻率。

根據調速的需要，變頻調速異步電動機可能運行在低頻段，此時的計算參數與高頻段有很大不同，其定子繞組漏抗不再遠大于定子繞組電阻，因此按式(2)、式(3)計算電磁轉矩可能偏離實際。但若采用圖3 的準確Г 型等效電路模型計算，又會引入復數性質的校正系數，給計算帶來不便。為了避免復數校正系數的計算，同時考慮到定轉子電阻的影響，本文提出一個新的校正系數計算方法:

在利用通用π 型等效電路進行異步電動機電磁轉矩計算中，要進行三重循環迭代。最里一層以磁路計算為循環判據，中間一層以轉差率s 為迭代量，以輸出功率為循環判據，最外一層以電動勢計算為循環判據(參見圖5)。在迭代過程中，π 型等效電路中的磁化電抗xμ隨磁路飽和程度變化、鐵耗電阻rFe隨磁密大小變化，定轉子漏抗隨飽和系數變化，其算法十分復雜［3－4］，如果處理不當，有可能出現迭代震蕩或不收斂現象。

為了簡化計算，對于采用恒磁通控制的變頻調速異步電動機，氣隙磁鏈不變，根據圖2 的π 型等效電路模型，在轉子側可利用氣隙磁鏈來直接計算電磁轉矩［6］:

式中:ψg為氣隙磁鏈;ωf為轉差角頻率;L′2σ為轉子繞組漏感的歸算值;im為激磁電流;Lm為激磁電感。

在氣隙磁鏈不變的情況下，磁路的飽和程度不變，式(5)中轉子電阻、轉子漏感、激磁電流、激磁電感等大部分物理量近似為常數，只需計算一次，計算簡單、快捷，其計算量比通用π 型等效電路模型大為減少。本文稱之為恒磁通π 型等效電路計算模型。

綜上所述，根據不同情況，變頻調速異步電動機電磁轉矩的計算方法可歸納為四種模型，如表1 所示。

表1 四種等效電路計算模型

1.2 電磁設計程序

為了驗證上述各種計算模型的適用情況，首先根據三相異步電動機的電磁設計程序，求出電阻和電抗參數，然后分別代入四種等效電路計算模型中，算出各自對應的電磁轉矩，最后與通用π 型等效電路計算模型的結果對比。若相符合，則說明該計算模型可用;若不同，則說明該計算模型有局限性。

為了計算變頻調速電動機的電磁轉矩，應首先給定每個校核點的供電電壓、轉子轉速(或定子頻率)、輸出轉矩。其基本計算思路為先假設電動勢E，再假設轉差率s，然后計算該轉差率下的電阻、電抗值，其次計算出電磁功率，進而求出電磁轉矩Te。與給定轉矩對比，若不同，則重新假設s;若相同，則繼續計算此時的電壓U1。若計算電壓與給定電壓不同，則重新假設E;若相同，則迭代結束，輸出此時的轉差率。其計算流程如圖5 所示。

圖5 通用π 型等效電路計算流程圖

對于采用恒磁通調速的變頻電動機，已知供電頻率便可直接求出對應的E，不再需要假設E，而只需要假設s。因此，采用恒磁通π 型等效電路計算模型，可減少不必要的迭代，提高計算速度。

1.3 計算實例

對某額定功率為2．2 kW、額定電壓為380 V、額定頻率為50 Hz、Y 接、6 極、恒磁通控制的三相變頻調速異步電動機，采用上述四種等效電路計算模型，對以下四種不同運行工況下的電磁轉矩分析進行計算。當電機運行在高頻輕載時，取U1= 186．5 V、f =45．2 Hz、s = 0．005，得到的計算結果如表2 所示;當電機運行在高頻重載時，取U1= 336．9 V、f = 62．8 Hz、s = 0．282 7(此時電機已超負荷運行，電壓和頻率已超過額定值)，得到的計算結果如表3 所示;當電機運行在低頻輕載時，取U1= 6．8 V、f = 1．3 Hz、s= 0．272 8，得到的計算結果如表4 所示;當電機運行在低頻重載時，取U1= 24．9 V、f = 4．3 Hz、s =0. 786 9，得到的計算結果如表5 所示。由于通用π型等效電路為精確模型，因此其它的計算結果均以通用π 型等效電路模型的計算結果作為誤差分析的參考。

表2 高頻輕載運行工況

表3 高頻重載運行工況

表4 低頻輕載運行工況

表5 低頻重載運行工況

由表2～表5 可見，在高頻段，采用四種不同的等效電路計算模型，得到的電磁轉矩誤差均很小，其中較準確Г1型和Г2型等效電路計算模型沒有明顯的差別。為了簡化算法、提高計算速度，建議采用較準確Г1型等效電路模型。然而，在低頻段，較準確Г1型和Г2型等效電路計算模型均出現較大計算誤差。同時可見，在四種不同運行工況下，恒磁通π型等效電路計算模型的誤差都很小，完全滿足工程設計的要求。對于恒磁通控制的變頻調速異步電動機，建議采用恒磁通π 型等效電路計算模型，以達到減少計算量、提高計算速度的目的。而對于低頻調速過程中氣隙磁鏈發生變化的情況，則必須采用通用π 型等效電路計算模型。

以上結論同樣適用于變頻調速異步電動機最大轉矩的計算。

1.4 誤差分析

為了深入探討較準確Г1等效電路模型的計算誤差，下面從理論上做進一步分析。式(1)與式(2)之差反映了較準確Г1型等效電路模型的計算誤差大小:

其中:

當變頻調速異步電動機運行在高頻段時，由于頻率較高，x1σ＞＞r1，xm＞＞rm，則式(7)可化簡為:

此時，很容易得到Δ2≈0，同理可推出Δ3≈0，進而推出Δ1≈0，因此在高頻段較準確Г1型等效電路模型的計算誤差很小。上述算例的計算數據驗證了理論分析的結果。

當變頻調速異步電動機運行在低頻段時，在電壓和頻率不變的情況下，電機的負荷從輕載到重載過程中，隨著定子電流的增大，定子繞組漏阻抗壓降增大，電動勢降低，主磁通減少，鐵心的飽和程度降低，因此rm和xm增大，x1σ略有增大，r1不變(忽略溫度的影響)。由式(8)可見，Δ3中分母為rm和xm的平方和，變化最大，因此隨著負載的增加，鐵心的飽和程度降低，Δ3將減小。

對式(7)做進一步推導，可得:

由式(10)可見，隨著負載的增加，鐵心的飽和程度降低，由于rm和xm同時增大，因此近似不變。當Δ3減小時，Δ2隨之減小。再由式(6)可知，Δ1也隨之減小。因此，對于較準確Г1型等效電路計算模型，低頻重載時誤差較小，而低頻輕載時誤差最大，與計算實例相符。

同理，可對較準確Г2型等效電路計算模型進行誤差分析，在此不贅。

2 最大轉矩計算

為了區分變頻調速異步電動機在高頻運行段和低頻運行段的不同情況，下面分別討論其最大轉矩的具體計算方法。

2.1 高頻段

對于變頻調速異步電動機，常常需要對成百上千個運行點進行校核計算。如果每個運行點都根據π 型等效電路計算模型的三重循環迭代來尋找最大轉矩，則計算速度將十分緩慢。

文獻［7］提出假定s，采用通用π 型等效電路模型，考慮集膚效應、漏磁路飽和的影響，計算s 點對應的電阻和漏抗值，進而計算該點的電磁轉矩，通過不斷比較得到最大轉矩。為了提高計算速度，文獻［7］采用了0．618 法。然而，在實際編程計算中發現，對于臨界轉差率較小的電機，采用該方法會出現無法準確找到最大轉矩的現象。若要保證計算的可靠性，可采取s 從0～1 逐點試探的方法，但該方法需要搜尋整個變頻運行區間，計算量很大，計算速度很慢。

而較準確的Γ1型等效電路計算模型最為簡單，可一步求出最大轉矩。根據較準確Г1型等效電路，經推導可得到最大轉矩以及出現最大轉矩時對應的臨界轉差率［5］:

在式(11)、式(12)中，各參數均默認為額定工況下的值。而在最大轉矩點，定轉子電流達到額定電流2～3 倍，電流的增加將引起磁路飽和程度的變化，從而使得定轉子漏抗發生變化。因此，如果直接引用額定點的參數計算最大轉矩，顯然是不合理的。

為了解決上述問題，本文提出一種新的計算方法。以0．4 倍當前點電壓作為供電電壓，對電動機進行堵轉參數的計算，此時的電流大約為額定值的2～3 倍，其電阻和漏抗參數接近于最大轉矩點的情況。將計算出的電阻和漏抗參數代入較準確Г1型等效電路模型，并利用式(11)計算就可得到最大轉矩。本文將這種修正參數后再計算最大轉矩的方法稱為較準確Г3型等效電路模型。

對上面提到的三相異步電動機，采用通用π型、較準確Г1型及本文提出的較準確Г3 型等效電路計算模型，分別對最大轉矩進行計算，其結果如表6 所示。由此可見，在高頻段，較準確Г1型、Г3型等效電路計算模型的誤差不大，但其計算效率遠高于通用π 型等效電路模型。

表6 三種等效電路計算模型最大轉矩對比(2．5 kW)

為了進一步分析較準確Г1型、Г3型等效電路計算模型對最大轉矩的計算精度，下面對另一臺大容量的三相異步電動機最大轉矩進行計算，其基本參數:額定功率1.2 MW，額定電壓1 400 V，額定頻率60 Hz，Y 接，4 極。計算結果如表7 所示。

表7 三種等效電路計算模型最大轉矩對比(1.2 MW)

對比表6 和表7 的最大轉矩計算精度可見，較準確Г1型等效電路計算模型更適合小容量的電機，而較準確Г3 型等效電路計算模型更適合大容量的電機。究其原因，小電機的定子電阻比重較大，使得堵轉時定子漏阻抗電壓降占外施電壓的比例過大，對主磁路的飽和程度影響太大，影響較準確Г3型等效電路的計算精度。因此，本文推薦在sm≤0．1 時采用較準確Г3型等效電路模型來計算最大轉矩比較合適，否則還是采用π 型等效電路模型。

2.2 低頻段

在低頻段，較準確Г1型和Г3型等效電路計算模型都不再適合最大轉矩的計算，而只能根據π 型等效電路模型，通過轉差率逐點試探法來尋找最大轉矩。逐點試探法可靠性高，但計算速度很慢。為了簡化最大轉矩的計算，許多文獻認為，在式(5)中令即可求得使電磁轉矩達到最大值時的臨界轉差率:

然后，把式(13)代入式(5)，就可求出最大轉矩。然而，這種方法只是一種數學上的推導。實際上，即使對于恒磁通控制的變頻調速異步電動機，ψg和L′2σ也隨s 的變化而變化，因而不能簡單處理。

為了準確而快速地計算低頻段的最大轉矩，根據通用π 型等效電路計算模型，本文采用轉差率定步長試探法。該方法的基本思路:在最大轉矩出現的sN～sm區間，轉矩－轉差率曲線為單調函數。此時，可從額定轉差率sN開始迭代，首先令s1= sN，然后每次增加固定步長Δs:

將s1、s2代入π 型等效電路模型，計算出對應的電阻和漏抗參數，進而計算出對應的電磁轉矩Te1和Te2。若Te2＞Te1，則令s1= s2、Te1= Te2，并重復上述迭代過程;若Te1＞Te2，則此時的Te1便為最大轉矩Tmax、對應的轉差率s1就是臨界轉差率sm。該算法的流程如圖6 所示。

圖6 轉差率定步長試探法求最大轉矩流程圖

由于sN和sm一般相差不大，因此該方法計算快捷，不會出現迭代震蕩或不收斂等現象，計算速度和可靠性顯著提高。

3 結 論

(1)通用π 型等效電路反映了異步電動機內部電磁關系的物理本質，是一種精確模型，適用于變頻調速異步電動機各種工況下電磁轉矩和最大轉矩的計算。但其算法復雜，計算速度慢，有時甚至會出現迭代震蕩現象。

(2)對于恒磁通控制的變頻調速異步電動機，建議采用恒磁通π 型等效電路模型來計算電磁轉矩，在保證計算精度的前提下可有效減少計算量，在計算點數較多的情況下可明顯提高計算速度。

(3)變頻調速異步電動機在高頻運行工況下，建議采用較準確Г1型等效電路模型來計算電磁轉矩，這是最簡單、快捷的算法，其計算精度能夠滿足工程設計的需要。但不能采用該模型來計算低頻運行工況下的電磁轉矩。

(4)本文提出的較準確Г3型等效電路計算模型，計算速度快、精度高，適合于變頻調速異步電動機最大轉矩的計算，但要求臨界轉差率不宜過大。

(5)根據π 型等效電路，本文提出的轉差率定步長試探法，適合于變頻調速異步電動機低頻運行工況下最大轉矩的計算。

［1］ 上海電器科學研究所．中小型三相異步電動機電磁設計程序［M］．上海:上海電器科學研究所，1971．

［2］ 李偉，韓力．感應電動機變頻運行的方式及特性［J］．防爆電機，2003(4):4－7．

［3］ 陳偉華，黃國治．基于精確等效電路的異步電機第二版電磁計算程序［J］．中小型電機，1992，19(1):2－6，23．

［4］ 王亞峰，韓力，譚春雨．基于π 型精確等效電路的三相異步電動機電磁設計程序改進及其探討［J］．電機技術，2003(2):3 －5．

［5］ 許實章．電機學(下冊)［M］．北京:機械工業出版社，1988．

［6］ 王成元，夏加寬，孫宜標．現代電機控制技術［M］．北京:機械出版社，2008．

［7］ 陳偉華，黃國治，羅應立．電磁計算程序(第二版)的最大轉矩、起動性能計算［J］．中小型電機，1992，19(6):6－10．