基于Monte Carlo方法的戰斗部部件質心偏移量仿真分析

葛任偉 歐陽勇 李 佳

中國工程物理研究院，綿陽，621900

0 引言

由于加工、裝配、材料特性等不確定性因素的存在，導彈的實際質心位置往往偏離理論期望值而產生質心偏移。對于高速運動中的導彈，當其質心偏移量超差時，容易造成導彈偏離軌道而影響控制精度，甚至造成墜毀［1］。隨著導彈技術的進一步發展，遠程化、高命中率已成為導彈的發展方向之一，而隨著飛行速度的增快，其在飛行過程中受到質心偏移因素的影響也越來越大。

通常，在導彈完成裝配后，可以通過測量裝置獲得質心位置的實測值，如質心偏移超差，可通過質量配平的方式進行調整，使其滿足要求。然而，這種方式屬于后驗方法，雖可以使產品滿足要求，在一定程度上卻是以犧牲其他性能為代價，如增加配平質量等。若能在早期設計階段，及時掌握質心偏移的情況，通過理論計算對相關因素進行分析，并采取一定的措施控制質心偏移的范圍，不僅可以提高產品的質量，而且還能大大縮減后期進行質量配平的工作流程及時間。本文以某導彈戰斗部部件為例，探討在設計階段由于給定的尺寸誤差引起的導彈質心偏移量大小的計算方法。

1 質心偏移量計算

1.1 質心偏移產生的原因

考慮加工、安裝等因素，導彈零部件的設計尺寸通常帶有一定的公差；加工時，零部件的實際尺寸誤差具有一定的隨機性；裝配過程中，誤差會按尺寸鏈的方向傳遞，使質心偏離預期位置，多個組件疊加的效果使導彈產生質心偏移。下面以某導彈戰斗部部件為例，分析質心偏移產生的原因。

某戰斗部部件由安裝板與其上布置的組件M1，M2，…，Mn組成，每個組件均通過螺釘與安裝板連接，如圖1所示。圖中oz方向為彈頭飛行方向，ox、oy分別為安裝板的舵面線方向，o為坐標原點，位于安裝板的圓心。令部件ox方向的質心位置函數為fx（X），部件質心期望位置為安裝板中心，即坐標原點，則fx（X）與組件質量、位置參數之間的函數關系為

式中，X、fx（X）、mi、xi分別為組件在ox 方向上的位移量、質心位置函數、組件質量和組件質心距坐標原點的距離。

圖1 模型示意圖

設計期望fx（X）＝0，但由于尺寸偏差、質量誤差存在的必然性，使得質心偏離預期位置，即fx（X）≠0，組件產生質心偏移，其數值大小為質心偏移量。為了減小質心偏移對導彈飛行性能的影響，一般要求fx（X）小于某一給定值。同時由式（1）可以看出，影響質心偏移的因素為各組件的質量及其距組件理論質心的距離，組件的質量通常不會隨裝配等因素而改變，因此，影響組件質心偏移量的因素為組件質心的位移。

在實際工程應用中，x、y方向均會出現誤差，此時的質心偏移量計算公式為

式中，fx，y（X，Y）、fy（Y）分別為組件在xoy 平面的質心位置函數及組件在oy方向的質心位置函數。

1.2 組件裝配尺寸鏈分析

圖2所示為裝配尺寸鏈示意圖，以其中的第i個組件為例，分析裝配尺寸鏈中尺寸誤差對組件質心偏移量的影響，裝配完成后的組件質心在ox方向的尺寸鏈為［2-4］

式中，xi0為 尺 寸 鏈 封 閉 環；x1、x2、x3、x4為 尺 寸 鏈 組 成環；D為組件安裝孔直徑；d為螺釘直徑。

圖2 裝配尺寸鏈示意圖

x1、x2、x3、x4通常會給定設計誤差，xi0也不可避免地存在誤差，其大小由式（3）決定。同樣，可以分析得出oy方向的尺寸鏈及其誤差。

通常采用極值法與Monte Carlo方法計算質心偏移量。

1.3 基于極值法的質心偏移量計算方法

極值法也叫最差情況法，分析的重點是質心偏移量范圍的變化，是組件質心位置的最大變動或最小變動范圍的綜合結果，僅考慮尺寸誤差最壞時的極端情況。極值法計算質心偏移量大小的公式為

同理

然后通過式（2）計算得到組件質心偏移量。

1.4 基于Monte Carlo方法的質心偏移量計算方法

Monte Carlo方法通過隨機模擬和統計試驗來求解數學、物理和工程技術問題的近似解，是一種根據各個單獨變量的分布形式來求解具有多個變量函數分布的方法［5－6］。該方法從所有變量的分布形式中取樣，并把由此得到的各值代入到有關函數中，求得一個函數值，將這一過程重復相當多的次數，便得到若干個函數值，然后估計出這些變量函數值的分布和參數。用Monte Carlo方法模擬進行質心偏差分析包括以下內容：

（1）確定變量概率密度函數。由于尺寸誤差、裝配位置的隨機性，導致組件質心位置具有隨機性，其位置誤差通常服從一定的概率分布。由式（3）可知，每個組件質心位置是其裝配尺寸鏈組成環的函數，組成環的概率分布形式，決定了組件質心位置的分布情況。

（2）產生隨機數、抽樣。為了模擬各組成環尺寸，模擬產生大量的服從（0，1）上均勻分布的隨機數，根據各組成環尺寸誤差的概率分布形式及其相關性，將產生的服從（0，1）上均勻分布的隨機數抽樣轉換為滿足分布形式的隨機數。為了便于討論，本文假設組成環參數之間相互獨立，且概率密度函數服從正態分布，以獲得一組等價于尺寸及公差實際值的隨機數。

（3）確定質心偏移函數。安裝板上組件的質心位置封閉環之間為相互獨立的隨機變量，導彈戰斗部部件質心位置可看作是這些隨機變量的多維隨機函數：

（4）統計模擬結果。通過質心偏移函數就可獲得大量的 Δfx、Δfy和 Δfx，y，對其進行統計分析得到均值、方差等統計量［7－8］，然后對結果進行評判分析。

2 計算示例

現以圖1為例，對采用極值法與Monte Carlo方法獲得的質心偏移量進行對比分析，假設設計時要求的導彈戰斗部部件質心偏移量不大0.45mm，其給定的組件在ox、oy方向上的尺寸、誤差及分布參數相同，如表1所示。

表1 計算參數

將表1中的參數代入式（4），得到組件在ox、oy方向上的質心偏移量范圍均為（－0.4116，0.4116）mm。組件在xoy平面的質心偏移量范圍為（0，0.58）mm，超出了設定值，需進一步縮小各個尺寸的誤差，以滿足設計指標，這將增加產品的加工難度及成本。

借助MATLAB軟件的計算功能，按照1.4節中的分析內容，根據表1中的數據，產生正態分布的隨機數，即各組成環的模擬數據樣本，將其代入質心位置函數，得到質心偏移的模擬數據樣本。當抽樣次數n′為1×104、1×106和4×106時，利用式（5）計算組件在ox、oy方向上的質心位置以及組件的質心偏移量，得到Δfx、Δfy的均值、標準差以及Δfx，y的統計數據。由于組件在ox、oy方向上采用了相同的尺寸、誤差及分布參數，故計算所獲得的Δfx與Δfy的均值、標準差相同，數據如表2所示。圖3a～圖3c所示為Δfx、Δfy的數據樣本統計圖；圖3d～ 圖3f所示為Δfx，y的數據樣本統計圖。

表2 抽樣計算結果

圖3 模擬樣本數據統計結果

由表2與圖3a～圖3c可知，部件質心位置在ox、oy 方向上以99.73% 的概率位于（－0.308，0.308）mm 之 間，以 99.9937% 的 概 率 位 于（－0.412，0.412）mm 之間，在ox、oy 方向上的質心偏移量大于0.45mm的幾率非常小。由圖3d～圖3f可知，組件在xoy平面質心偏移量的分布形式與正態分布函數大于零時的情況相近，這是由于尺寸誤差基于正態分布假設，質心偏移量在計算時只取正值的結果。進一步計算可以得到Δfx，y小于0.45mm 的概率為99.79%，大于極值法計算結果0.58mm的概率為0.0065%?？梢姴捎脴O值法計算得到的結果近于小概率事件，而采用Monte Carlo方法更符合實際情況。因此，可先在設計階段根據給定的尺寸誤差預估質心偏移量的大小，再根據計算結果合理地調整設計公差，達到有效降低產品加工難度的目的。

3 結語

本文基于Monte Carlo方法，以某導彈戰斗部部件分析了尺寸誤差對其質心偏移的影響，對比分析了采用極值法與Monte Carlo方法計算質心偏差的結果。極值法計算的所有尺寸偏差的最大值通常反映的是質心偏移量的范圍，近于小概率事件，故難以客觀地反映實際的情況。Monte Carlo方法因其是基于大多數機械化零件在公差范圍內呈正態概率分布的事實進行計算，所以其計算結果通常更加符合實際的工程情況。本文分析表明，若在設計的初期，根據設計分配的尺寸誤差，利用Monte Carlo方法進行計算，則可以有效地掌握產品質心偏移量的大小，為合理分配公差提供指導。

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