不同參數下封閉矩形聲腔的結構-聲耦合特性分析

王 園 張建潤 顧 偉 黎文瓊

(東南大學機械工程學院，南京211189)

工程中許多結構如車輛駕駛室、車廂和船艙等，可以近似看成由彈性板圍成的聲腔結構.對這類聲腔結構耦合機理的研究，在噪聲與振動主動控制方面有著十分重要的現實意義和工程應用價值.對于由彈性板-聲腔組成的系統的振動與聲場特性，文獻［1-4］提出了彈性板-聲腔組成的耦合系統的求解方法.Pan 等［5］利用模態耦合分析法研究了簡支板-矩形聲腔組成的耦合系統的自由振動特性，重點分析了簡支板的模態密度(對應板厚度)、阻尼對耦合系統的影響，但沒有考慮聲腔的深度和壁面聲阻抗對板-聲腔耦合系統的影響.Kim 等［6］提出了分析簡支板與聲腔耦合特性的阻抗-導納法.靳國永等［7］在Kim 等的研究基礎上，將板-聲腔耦合系統類比成反饋與前饋控制系統，對簡支板與聲腔的耦合特性進行了研究，并且詳細分析了板厚和聲腔深度對第一階板控模態共振頻率的影響，但沒有對其他板控模態和腔控模態的影響進行分析.基于彈性板和聲腔的耦合特性，國內外學者［8-11］對彈性板封閉聲腔內的聲場主動控制進行了廣泛的研究.綜上所述，當聲腔深度不變，而彈性板的模態密度和阻尼變化時，板和聲腔的耦合特性已得到深入研究;但當聲腔參數如聲腔深度改變時，板-聲腔的耦合特性會發生顯著的變化.而目前尚沒有文獻就聲腔參數變化對板-聲腔系統耦合特性的影響進行深入研究.

本文在Pan 等［5］對簡支板-聲腔耦合特性研究的基礎上，進一步分析了聲腔深度改變對板-聲腔系統耦合特性的影響.首先，基于耦合前板和剛性壁面聲腔模態參數，利用模態耦合法對板-聲腔組成的耦合系統的自由振動特性進行求解，得到反映耦合系統固有屬性的模態特征;接著分析了聲腔深度對板-聲腔耦合系統模態特征的影響，包括系統模態共振頻率、模態衰減時間，并詳細研究了板模態與聲腔模態隨聲腔深度改變時的耦合過程.

1 分析模型

彈性板-聲腔耦合系統模型如圖1所示，封閉矩形聲腔的尺寸為Lx，Ly，Lz，位于z =Lz處的彈性板的尺寸為Lx，Ly，邊界形式為簡支;平面波Pin 作用在彈性板上，方位角和仰角分別為θ，α.聲腔內聲壓的波動方程為

式中，p，c0分別為聲腔內的聲壓和聲速.聲腔內部聲場在聲腔壁面處的邊界條件為

圖1 彈性板-聲腔耦合系統模型

式中，ρ0為聲腔內聲場的介質密度;n 為聲腔壁面法向;Za為聲腔壁面z≠Lz處聲阻抗;w(x，y，t)為彈性板法向位移;ω 為角頻率.

對于聲腔上的彈性薄均質板，在受聲腔內外聲場激勵時，彈性板彎曲振動方程為

式中，定義力的方向指向聲腔外為正;ρ，E，μ，h 分別為彈性板的體密度、彈性模量、泊松比和厚度;fp為聲腔外作用在彈性板上的總聲壓，這里指作用在彈性板上的平面聲波Pin 和其反射聲波之和，并令入射平面波和反射波的聲壓相等，忽略板向聲腔外輻射聲對其振動的影響.

利用簡正模態振型函數的正交性，剛性壁面聲腔內點r 處聲壓p(r，ω)、無阻尼彈性板σ 點處振動速度v(σ，ω)=jωw(x，y，t)和施加在彈性板上平面波性質的外力fp(σ，ω)，分別可表示為

式中，pq，ve，Fe分別為聲腔內聲場、板振動速度和外力的模態幅值;φq，se分別為剛性壁面聲腔聲場分布和無阻尼板振動的振型函數.Pan 等［5］把φN，sM作為分析帶有阻尼的彈性板、具有聲阻抗的聲腔壁面的板-聲腔耦合系統的基函數，本文分析也采用此方法，即

式中，(l，m，n)為N 階聲腔模態的模態序數;(u，v)為M 階板模態的模態序數.考慮式(2)的聲腔壁面邊界條件，利用格林函數，式(1)轉變為

式中，Af為z =Lz處彈性板表面;Al為z≠Lz處聲腔壁面;β 為壁面Al處的聲導納率，β =ρ0c0/Za;Ga為聲腔格林函數，即

式中，Gp為板的格林函數.

式(13)展開可寫成

式中，I 為單位矩陣;λ =－jk;A11和A12分別為(N+M)×(N+M)階零矩陣和單位矩陣.

式中，kaN=ωaN/c0，kaN，ωaN分別為剛性壁面聲腔的第N 階聲模態波數和共振角頻率;kpM= ωpM/c0，kpM，ωpM分別為耦合前的第M 階板模態波數和共振角頻率;BN，M為第M 階板模態和第N 階聲腔模態之間的耦合系數;MpM，MaN為第M 階板模態和第N 階聲腔模態的模態質量，MpM=ρhΛM，MaN=ρ0ΛN;ηpM，ηaN分別為第M 階板模態和第N 階聲腔模態的阻尼損耗因子，它們與對聲腔壁面導納率β 積分有關［5］，ηpM=4.4π/(TpMc0)，ηaN=4.4π/(TaNc0)，TpM，TaN分別為第M 階板模態和第N 階聲腔模態的60 dB 衰減時間.分析時假定所有TpM都相等，TaN都相等.

2 彈性板-聲腔耦合特性分析

2.1 模態耦合系數

模態耦合系數BN，M是板和聲腔的模態匹配程度，決定板模態和聲腔模態間是否耦合.由式(17)可知，耦合系數不為零，板模態(u，v)和聲腔模態(l，m，n)必須滿足條件:u+l 和v +m 均為奇數.

2.2 傳遞因子

模態耦合系數決定板模態和聲腔模態之間是否耦合，而傳遞因子決定它們耦合的程度［5］，其中第N 階聲腔模態與第M 階板模態的傳遞因子FN，M為

其中

由式(19)和(20)可知，當模態耦合系數BN，M≠0 時，傳遞因子FN，M≠0，此時第N 階聲腔模態與第M 階板模態之間的能量傳遞由以下因素決定:ωaN－ωpM，Lz等.傳遞因子FN，M趨于0，第N 階聲腔模態與第M 階板模態之間能量傳遞也趨于0;而當FN，M?1，此時板與聲腔的模態耦合比較重要，有大的能量傳遞出現.

2.3 耦合系統的固有頻率和模態衰減時間

板-聲腔耦合系統模態存在腔控模態和板控模態2 種.對于腔控模態，耦合系統的大部分能量儲存在聲腔聲場中，板控模態［5］與之相反.

由上面的理論分析可知，當耦合系統不受激勵時，即Y=0，式(14)變成求解耦合系統的自由振動特征問題，可得到2(N+M)個特征值λL和其共軛值λ*L，其中L =1，2，…，N+M，耦合后的第L 階共振頻率和模態衰減時間分別為fL= Im(λL)c0/(2π)，TL=6.91/(Re(λL)c0).當有外部激勵時，即Y≠0，對式(14)進行求解，得到的向量X 就是耦合系統受激勵時的板振動和聲腔聲場的模態坐標，代入式(4)和(5)即可求得聲腔聲壓和板振動速度的分布.

得到聲腔內聲場和板振動的模態坐標后，聲腔內聲勢能EaN和板振動能量EpM為

式中，ΛaN和ΛpM分別為N ×N 維和M ×M 維對角矩陣，對應的對角線上的元素分別為ΛN和ΛM.

3 理論計算與分析

根據圖1的板-聲腔耦合系統模型，設頂面是7 mm 厚的鋁板，密度為2 770 kg/m3，楊氏模量為71 GPa，泊松比為0.33.聲腔內空氣密度為1.21 kg/m3，聲速為344 m/s.

3.1 聲腔深度對板-聲腔耦合特性的影響

矩形聲腔聲場模態的共振頻率為

由式(23)可知，聲腔模態序數中n≠0 的共振頻率fl，m，n隨著聲腔深度Lz而改變.再由式(19)可知，當聲腔模態和板模態間耦合系數不為零時，聲腔和板的模態間傳遞因子分為2 種情況:①當聲腔模態序數n≠0 時，傳遞因子由對應耦合前共振頻率差決定，差值越小，耦合越強;②當聲腔模態序數n=0 時，其共振頻率不隨聲腔深度變化，此時傳遞因子由聲腔深度來決定，其隨聲腔深度增大而減小.

圖2 板模態和聲腔模態隨聲腔深度變化的傳遞因子(TaN =15 s，TpM =0.5 s)

圖2(a)為板模態(1，1)和聲腔模態隨聲腔深度變化的傳遞因子，只有聲腔模態(0，0，0)和板模態(1，1)在分析的聲腔深度范圍有大的傳遞因子，但值小于1，并且隨著聲腔深度的增加，傳遞因子逐漸減小;由于此時聲腔模態序數n =0，傳遞因子由聲腔深度決定.圖2(b)中，只有聲腔模態(0，0，1)和板模態(3，1)在聲腔深度0.99 m 處傳遞因子約為1，其他聲腔模態和板模態(3，1)的傳遞因子都遠小于1.板模態(1，1)與聲腔模態(0，0，0)之間的傳遞因子由聲腔深度來決定，而板模態(3，1)和聲腔模態(0，0，1)之間的傳遞因子則由對應耦合前共振頻率差決定.

由圖3可知，前5 階板控模態的共振頻率隨聲腔深度的增加，逐漸趨向于耦合前的板共振頻率.這是由于此聲腔深度范圍內與板模態起主要耦合作用的聲腔模態序數n =0，傳遞因子大小由聲腔深度決定，對應圖2(a)中傳遞因子隨聲腔深度的增加逐漸變小(板模態(1，2)、(2，1)、(1，3)、(2，2)與此相似)，并且在所分析的聲腔深度范圍內都小于1，即板模態和聲腔模態間耦合逐漸變弱，并且無強耦合.而隨著聲腔深度的變化，板控模態(2，3)、(3，1)、(1，4)的共振頻率出現向高頻躍變現象，其中板控模態(3，1)的共振頻率躍變出現在0.99 m 的聲腔深度處，對應圖2(b)中傳遞因子約為1 的聲腔深度，即在此深度，板和聲腔的模態耦合前共振頻率接近相等.與板控模態(3，1)一樣，在板控模態(2，3)、(1，4)的共振頻率出現躍變的聲腔深度處，傳遞因子約為1.

圖3 聲腔深度對板控模態共振頻率的影響(TaN =15 s，TpM =0.5 s)

對應圖3中板控模態的共振頻率變化情況，圖4中前5 階板控模態衰減時間TL隨聲腔深度的增加逐漸趨于恒定值;而板控模態(2，3)、(3，1)、(1，4)的衰減時間則出現了峰值，這是由于在出現峰值處耦合最強，并且有大的能量傳遞.

圖4 聲腔深度對板控模態衰減時間TL 的影響(TaN =15 s，TpM =0.5 s)

3.2 彈性板模態與聲腔模態耦合機理分析

由圖2(b)知，當聲腔深度在0.956～1.03 m之間時，板模態(3，1)和聲腔模態(0，0，1)的傳遞因子出現約為1 的峰值，其余傳遞因子值遠小于1，滿足強耦合分析條件.分析時令作用在板表面處平面波Pin 的幅值Pin0為2 Pa，仰角α 和方位角θ均為0°，激勵頻率分別為腔控模態和板控模態的共振頻率.

當板模態(3，1)和聲腔模態(0，0，1)的傳遞因子約為1 時，圖5(a)中腔控模態(0，0，1)與板控模態(3，1)的板振動能量與聲腔內聲勢能之比接近相等;距離能量比相等處越遠，能量比相差越大.圖5(b)顯示隨著聲腔深度增加，與圖5(a)相同，板控模態(3，1)的衰減時間先增加到峰值點再減小，而腔控模態(0，0，1)則相反;在耦合最強的聲腔深度處，腔控模態(0，0，1)和板控模態(3，1)的衰減時間趨于相等.

圖5(c)中，隨著聲腔深度增加，腔控模態(0，0，1)和板控模態(3，1)的共振頻率變化有3 個特點:①共振頻率隨聲腔深度變化的曲線相交于一點，在相交點處耦合最強;并且離耦合最強點越遠，其偏離耦合前的固有頻率越小.②腔控模態(0，0，1)的共振頻率由高于耦合前的共振頻率變成低于耦合前的，出現了躍變現象，而板控模態(3，1)的共振頻率則相反.③腔控模態(0，0，1)的共振頻率變成了板控模態(3，1)共振頻率的延續，而板控模態(3，1)的共振頻率是腔控模態(0，0，1)共振頻率的延續.

圖5 聲腔深度對板與聲腔耦合的影響(TaN =15 s，TpM =0.5 s)

當聲腔深度為0.990 4 m 時，耦合系統中板和聲腔2 部分的響應如圖6和圖7所示，板的振型和耦合前(3，1)模態振型一樣，聲腔模態(0，0，1)的模態幅值遠大于其他階聲腔模態.驗證了分析的耦合系統分別是腔控模態(0，0，1)和板控模態(3，1).

圖6 板振動速度分布(TaN =15 s，TpM =0.5 s)

圖7 聲腔聲場模態幅值(TaN =15 s，TpM =0.5 s)

4 結論

1)模態耦合系數決定板模態和聲腔模態是否耦合.當模態耦合系數不為零時，模態之間有可能耦合;反之，則一定不耦合.而傳遞因子決定板和聲腔的模態耦合程度，傳遞因子越大耦合越強，板和聲腔的模態之間能量傳遞也越大.

2)聲腔深度Lz對傳遞因子的影響分為2 種:①當聲腔模態序數n=0 時，聲腔深度直接決定傳遞因子大小;②當聲腔模態序數n≠0 時，傳遞因子由對應耦合前共振頻率差決定.

3)調整聲腔深度使聲腔和板的模態間傳遞因子越大，則它們之間的耦合越強，耦合后的系統共振頻率、模態衰減時間較耦合前偏離越大.

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