以矢量圖為導引的調制解調理論教學方法研究

馮心欣，王新兵，鄭海峰，甘小鶯，吳煒捷

(1.福州大學物理與信息工程學院，福建福州350116;2.上海交通大學電子信息與電氣工程學院，上海210094)

0 引言

“通信原理”課程中的一個重要概念是信號的調制和解調處理，對于該處理的講解都是必不可少并貫穿始終的。同時，在實際的通信系統中，調制解調處理也是實現信號無線傳輸和信道復用的基礎。因此，將調制解調處理和帶通傳輸系統講深講透，有利于學生理解整個“通信原理”的知識體系，為他們后期深入地學習通信領域內的各種新知識奠定良好的基礎。

《通信原理》教材[1]和[2]主要從時域波形和頻域頻譜兩個方面對帶通傳輸系統加以分析。這雖然可以全面地描述系統特點，但過多的數學表達式可能會影響學生的理解。本文的重點是討論如何借助矢量圖進行調制解調部分的輔助教學，使得抽象的數學表達式形象化，幫助學生全面深入地理解帶通傳輸系統。

1 矢量圖輔助教學思路

我們在“通信原理”課程教學中，引導學生回憶先修課程“信號與系統”中所提到的正交矢量和正交函數的關系，建立“表征信號的一些參數可以與矢量的范數類比，而信號之間的相關性可以利用矢量的內積運算來描述”的概念[3]。接著引導學生建立載波與二維空間正交坐標軸的對應關系。

我們在講解調制解調系統時，特別是線性調制解調系統的過程中，基于實例引入矢量圖法。

2 基于正交函數的矢量圖建立

“通信原理”課程通常定義的調制載波為正弦波和余弦波。我們可以幫助學生建立如下概念。

(1)形如cos(ωct)和sin(ωct)的余弦波和正弦波是一對正交函數。其原因在于這兩個函數滿足如下條件[4]:

因此，可以把cos(ωct)和sin(ωct)類比成二維空間中的一對正交坐標軸，如x軸和y軸一般。

(2)余弦和正弦函數有如下關系式:

所以可以得出圖1所示的矢量圖。

圖1 正弦/余弦函數矢量圖

該矢量圖是正交調制與解調的基礎，也是數字調制中信號空間星座圖由來的本質[5]。該矢量圖適用于包括模擬和數字在內的線性調制解調系統的輔助教學。

3 以矢量圖為導引的輔助教學示例

3.1 雙邊帶信號的相干解調

通?！巴ㄐ旁怼闭n程的教材定義相干解調為:接收端必須提供一個與接收的已調載波嚴格同步(同頻同相)的本地載波(稱為相干載波)，它與接收的已調信號相乘后，經低通濾波器取出低頻分量。在教學過程中我們發現，通過對時域表達式和頻域頻譜的分析，學生較容易理解同頻的概念，但不易理解同相的概念。我們在此情況下，可以采用矢量圖法進行輔助教學，讓學生以更直觀的方式理解“相干”，為課程后期數字信號的最佳接收部分的講解打好基礎。

我們以教材[1]中的雙邊帶(DSB)信號相干解調處理為例。DSB信號通?？梢员硎緸?Sm(t)=m(t)cos(ωct)。利用相干解調法解調DSB信號時，可以分為兩大步驟:①接收信號經過中心頻率與調制載頻相同的帶通濾波器，進行帶外噪聲濾除;②濾波后的信號與本地載波相乘后經過低通濾波器取出低頻分量。

經過步驟①處理的信號可以表示為已調信號和窄帶噪聲之和，即

如果以圖1(b)為參照坐標系的話，上式可表示為圖2所示的矢量圖。

圖2 DSB混合信號矢量圖

步驟②的處理是真正進行相干解調的過程，類似于將空間中的矢量向坐標軸映射的過程。要解釋該概念，需從以下兩點入手。

首先，讓學生明確以下觀點:對于低通濾波器而言，如果輸入信號的頻率遠大于濾波器的截止頻率，則低通濾波器等效于積分器。這一觀點既可以從直觀角度來加以說明，即積分器的輸出值是對多個時刻信號輸入值的累加，導致信號的抖動被鈍化，等同于濾除高頻分量;也可以從數學的角度加以說明，即低通濾波器和積分器的傳遞函數對于頻率遠大于濾波器截止頻率的信號而言是相同的[4，5]。

其次，引導學生理解步驟②的處理過程，即相乘低通處理等價于相乘積分處理也等價于函數間的相關運算，類似于矢量映射。我們觀測圖2可直觀地得出，如果本地載波與已調載波完全同頻同相，即生成的是一個“相干”載波，則等價于將Sm(t)+ni(t)映射于cos(ωct)軸，解調出來的信號將由調制信號m(t)和噪聲同相分量nc(t)構成，該噪聲正交分量ns(t)則完全被消除。反之，如果本地載波與已調載波是同頻不同相的，即等價于將Sm(t)+ni(t)映射于cos(ωct+)軸，如圖3所示，可能引起信號強度變小和噪聲強度變大。在極端情況下，如果本地載波與已調載波正交，即=π/2或-π/2或 ，則等價于將Sm(t)+ni(t)映射于sin(ωct)或-sin(ωct)軸。此時，解調出的信號將完全由噪聲正交分量ns(t)構成，不存在任何調制信號分量，解調失敗。

圖3 本地載波與調制載波同頻不同相

我們可以利用上述矢量圖進行輔助教學，幫助學生直觀地建立圖4所示的思維圖，加深對線性調制及相干解調的理解。

圖4 相干解調、相關運算、矢量映射關系圖

3.2 調幅信號非相干解調的門限效應

調幅信號可以采用包絡檢波法進行非相干解調，結合本文3.1節，可以在此處向學生解釋“非相干”的含義，即，不需要本地生成相干載波，也沒有相乘低通處理的過程。包絡檢波法的缺點在于存在門限效應，即當包絡檢波器的輸入信噪比小于一定門限值時，解調器的性能將急劇惡化。我們如果以矢量圖輔助講解門限效應，可以降低學生對公式繁雜推導所產生的恐懼心理，同時獲得直觀的理解，增強教學效果。

同樣以教材[1]為例，包絡檢波器的輸入信號可以表示為

式中，E(t)就是所求的信號與窄帶噪聲的合成包絡，也是包絡檢波器的輸出。在大信噪比和小信噪比的條件下，以圖1(b)為參照坐標系，式(4)可以表示成圖5所示的矢量圖。

圖5 AM混合信號矢量圖

當包絡檢波器輸入信噪比足夠大時，如圖5(a)所示，輸出包絡E(t)近似等于A0+m(t)+nc(t)。該包絡中包含有用信號m(t)，此時包絡檢波器可以正常解調。而當輸入信噪比小于某個門限值時，如圖5(b)所示，輸出的包絡E(t)幾乎都由噪聲構成，包絡檢波器不能正常解調，出現門限效應。

4 結語

本文提出了基于矢量圖的“通信原理”課程輔助教學法。該教學法引導學生建立載波和二維空間正交坐標軸的對應關系，從矢量映射的角度理解調制系統。該方法具有簡單直觀的優點，可以提高學生對核心知識和概念的理解水平，有助于其后續知識的學習。

[1]樊昌信，曹麗娜，通信原理(第六版)[M].北京:國防工業出版社，2009.

[2]張力軍等著，通信原理[M].北京:高等教育出版社，2008.

[3]鄭君里，應啟珩，楊為理，信號與系統(第三版)(上、下冊)[M].北京:高等教育出版社，2011.

[4]Simon Haykin等著，林秩盛等譯，信號與系統(第二版)[M].北京:電子工業出版社，2004.

[5]Richard G.Lyons，Understanding Digital Signal Processing(3rd Edition)[M].US:Pearson Education，2010.