平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的簡化計算公式

文 輝，李風玲，趙 潔，林超慧，唐壯麗

(惠州學院建筑與土木工程系，廣東惠州 516007)

在輸水工程設計中，主要有圓形、城門洞形和馬蹄形等幾種過水斷面形式，它們都具有力學條件好、水流平順等特點。目前國內外學者對圓形、城門洞形和馬蹄形斷面的正常水深、臨界水深等水力計算問題進行了較為深入的分析研究，得到許多簡捷的計算公式，解決了不少常規算法中存在的工程實際問題［1-9］。平底Ⅰ型馬蹄形斷面由標準Ⅰ型馬蹄形斷面演化而來，即將底拱改為平底，它對于基底壓力不大的地質情況或斷面尺寸較小的Ⅰ型馬蹄形隧洞較為適合，且施工尺寸容易控制，受力條件好，因而應用廣泛［10］。文輝等［11］給出了這種斷面形式的臨界水深的直接計算公式，但該公式為分段函數，需要根據水深的具體情況來判別，選擇相應的計算公式，不便應用。為此，本文從平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深基本方程出發，依據給水排水工程規范及水利工程規范等要求，考慮工程實際應用情況，確定公式的適用范圍，對無量綱臨界水深和無量綱參數之間的關系進一步分析研究，應用擬合優化方法，得到平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的簡化計算公式。

1 臨界水深基本方程及水力要素

1．1 臨界水深的基本方程

明渠水流中存在緩流、臨界流和急流3種流態。臨界水深是相應于明渠水流斷面單位能量最小的水深，在明渠水力計算中是很重要的，它必須滿足臨界流方程:

式中:Q為流量，m3/s;α為動能修正系數，本文取1.0;g為重力加速度，m/s2;A為相應于臨界水深時的過水斷面面積，m2;B為相應于臨界水深時的水面寬度，m。

1．2 斷面的構成

平底Ⅰ型馬蹄形斷面將標準I型馬蹄形斷面的底拱改為平底，如圖1所示(圖中r為頂拱半徑，它是構成平底Ⅰ型馬蹄形斷面最基本的幾何參數;θ為底拱的弦所對應的圓心角的一半，亦為兩側拱對應的圓心角;γ為過水斷面側拱對應的圓心角;φ為過水斷面頂拱對應的圓心角;hd為平底Ⅰ型馬蹄形的特征高度)。

圖1 平底Ⅰ型馬蹄形斷面

1．3 斷面的水力要素

根據平底Ⅰ型馬蹄形斷面的幾何特點，2種水力條件下斷面的臨界水深h和其他水力要素的計算公式如下:

a．當0＜h≤hd或0≤γ≤θ時，有

式中:c為常數，取1.667322。

1．4 臨界水深的隱函數表達式

設無量綱臨界水深為臨界水深與斷面頂拱半徑之比，即

那么2個未知的圓心角就可用無量綱臨界水深 X來表示:

將式(2)～(5)代入式(1)并整理，可得平底I型馬蹄形斷面臨界水深帶反三角函數的高次隱函數表達式:

2 臨界水深計算公式的適用范圍

根據DL/T 5195—2004《水工隧洞設計規范》［12］，為了保證在水位變化情況下無壓隧洞仍能保持無壓流狀態，要求通過最大流量時隧洞過水斷面面積不大于隧洞斷面總面積的85%，即

式中:A*、A0分別為通過最大流量時隧洞的過水斷面面積和總面積。

根據水力要素計算公式可知:

將式(8)和式(9)代入式(7)，得到三角函數超越方程，即

經試算解得 φ=1.9134，X=1.447。為了提高公式的適用性，適當外延h的上限取值，即h上=1.60r;考慮到大多數工程實際應用情況，過小水深沒有太大的實際意義，h的下限取值h下=0.05r，所以無量綱臨界水深計算公式的工程適用范圍為0.05≤X≤1.60。

3 臨界水深的簡化計算公式

為了方便研究，將式(6)左側的已知量設為無量綱參數，即

本文以冪函數形式構造計算公式，通過進行大量試算，并采用編程逐步擬合優化的方法，得到無量綱臨界水深的簡化計算公式:

4 誤差分析

表1 簡化公式誤差分析

從表1可以看出，在工程適用范圍內，臨界水深計算值的最大相對誤差絕對值為0.485%，最小僅為0.020%，且絕大多數小于0.400%，可見式(12)具有較高的精度，可極大地方便工程設計人員在平底Ⅰ型馬蹄形斷面隧洞工程設計中直接使用。

5 算例

某水庫輸水隧洞采用平底Ⅰ型馬蹄形斷面，初設頂拱半徑r=2.5 m，計算通過流量Q=100 m3/s時對應的臨界水深h。

6 結論

a．對平底Ⅰ型馬蹄形斷面的臨界水深基本方程進行數學變換，以冪函數形式構造公式，采用優化擬合方法得到臨界水深的簡化計算公式。

b．該簡化計算公式不是分段函數，無論水深位于隧洞下部扇形還是上部半圓形內，都可以直接計算臨界水深，計算簡捷方便，通用性強，適用范圍廣。

c．在工程適用范圍內，簡化公式最大相對誤差的絕對值為0.485%，計算結果精度較高，可為平底馬蹄形斷面隧洞工程設計提供參考。

［1］文輝，李風玲．再論圓管明渠均勻流正常水深的直接計算公式［J］．水利水電科技進展，2012，32(6):15-17．(WEN Hui，LI Fengling．Further study on explicit formula for normal water depth of uniform flows in circular pipes［J］．Advance in Science and Technology of Water Resources，2012，32(6):15-17．(in Chinese))

［2］文輝，李風玲，彭波，等．圓管明渠臨界水深的直接近似計算公式［J］．人民黃河，2007，29(4):67-68．(WEN Hui，LI Fengling，PENG Bo，et al．Direct approximate formula for cirtical depth of pipe-channel［J］．Yellow River，2007，29(4):67-68．(in Chinese))

［3］李風玲，文輝，彭波． 圓形過水斷面臨界流的近似水力 計算［J］． 人民長江， 2008， 39( 11) : 77-78． ( LI Fengling， WEN Hui，PENG Bo，et al． Approximate hydraulic calculation for critical flow in circular cross-section［J］．Yangtze River， 2008， 39( 11) : 77-78． ( in Chinese) )

［4］文輝，李風玲，歐軍利，等．城門洞形斷面隧洞正常水深的近似算法［J］．給水排水，2007，33(7):19-21．(WEN Hui，LI Fengling，OU Junli，et al．Approximate solution of the normal depth inside tunnel with arch cross-section［J］．Water and Wastewater Engineering，2007，33(7):19-21．(in Chinese))

［5］趙延風，宋松柏，孟秦倩．普通城門洞形斷面臨界水深的近似計算方法［J］．長江科學院院報，2008，25(4):14-15．(ZHAO Yanfeng，SONG Songbai，MENG Qinqian．Approximate method calculating critical water depth in common city-opening shaped cross-section［J］．Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2008，25(4):14-15(in Chinese))

［6］文輝，李風玲．再論城門洞形斷面隧洞臨界水深的近似計算［J］．人民長江，2009，40(11):78-79．(WEN Hui，LI Fengling．Discussion on approximate calculation of cirtical depth of a Arched Section Tunnel［J］．Yangtze River，2009，40(11):78-79(in Chinese))

［7］文輝，李風玲，李霞．標準Ⅰ型馬蹄形斷面正常水深的近似算法［J］．人民黃河，2008，30(7):89-90．(WEN Hui，LI Fengling，LI Xia．Approximate solution on normal depth of standard I type horseshoe section tunnel［J］．Yellow River，2008，30(7):89-90(in Chinese))

［8］王正中，陳濤，盧琴，等．馬蹄形斷面隧洞臨界水深的直接計算［J］．水力發電學報，2005，24(5):95-98．(WANG Zhengzhong，CHEN Tao，LU Qin，et al．The direct solution on critical depth of horseshoe section tunnel［J］．Journal of hydroelectric engineering，2005，24(5):95-98．(in Chinese))

［9］張寬地，呂宏興，陳俊英．馬蹄形過水斷面臨界水深的直接計算法［J］．農業工程學報，2009，25(4):15-18．(ZHANG Kuandi，LU¨ Hongxing，CHEN Junying．Direct calculation of critical depth of horseshoe section tunnel［J］．Transactions of the CSAE，2009，25(4):15-18．(in Chinese))

［10］張邁，柳桃青．一個大型水工隧洞的斷面形狀選擇［J］．湖北水力發電，2008，75(2):10-12．(ZHANG Mai，LIU Taoqing．Selection of cross-section form of a large hydraulic tunnel［J］．Hubei Water Power，2008，75(2):10-12．(in Chinese))

［11］文輝，李風玲平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的直接求解［J］．長江科學院院報，2013，30(4):40-43．(WEN Hui，LI Fengling．Direct solution to the critical depth of I-type horseshoe cross-section with flat bottom［J］．Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2013，30(4):40-43．(in Chinese))

［12］DL/T5195—2004 水工隧洞設計規范［S］．