低低跟蹤重力衛星星間距離變率對區域質量異常敏感度分析

郭飛霄 肖 云 汪菲菲 苗岳旺

1 西安測繪研究所，西安市雁塔路中段1號，710054

2 地理信息工程國家重點實驗室，西安市雁塔路中段1號，710054

3 西安測繪信息技術總站，西安市西影路36號，710054

GRACE衛星反演地球表層質量變化的關鍵在于高精度的K 波段測距系統，該系統可精密測量兩顆衛星之間的距離和距離變率，精度可達μm 級［1］。當前利用GRACE 衛星數據反演陸地水儲量變化大多采用球諧系數法［2］，該方法采用GRACE衛星Level－2數據的時變重力場模型，反演結果的時間分辨率為30d，空間分辨率約為500km。為進一步提高陸地水儲量變化反演結果的時空分辨率，有學者基于星間距離變率觀測值對地球表層質量變化非常敏感這一特性，用Level－1B級數據的星間距離變率、GPS和加速度計觀測值直接推求陸地水儲量變化。根據反演原理的不同有兩種方法：重力位差法［3］和Mascon（mass concentration）方法［4－5］。研究結果表明，利用Level－1B數據可以有效提高反演結果的時空分辨率，反演結果時間分辨率甚至可達10d左右，空間分辨率可提高到200km 左右［6］，比球諧系數法更具優勢。Mascon方法是當前研究時變重力場的熱點之一，該方法的特點在于利用了星間距離變率觀測值對區域質量異常非常敏感的特性［7］，在反演區域質量變化時僅用衛星飛臨研究區域上空的數據，因此能提高反演結果的時空分辨率。

本文就星間距離變率對區域質量異常的敏感性進行研究，通過仿真實驗驗證了星間距離變率對地球表層質量變化具有很高的敏感性，并對星間距離變率對區域質量異常的敏感范圍及程度進行仿真評估。

1 數學模型

地球質量變化及其重新分布對地球重力場的影響可以通過重力場模型的球諧系數變化量來描述。下面將推導區域質量異常與相應球諧系數改變量之間的關系。

地球表層某一小塊區域質量變化引起的地球重力位變化為：

式中，G為引力常數，r＝（r，θ，λ）為質點的球坐標，r為質點的地心距，θ、λ分別為地心余緯和地心經度，dV為質量塊體，ρ（r）是體密度，根據級數展開可得［8］：

式中，l、m分別表示階和次，Plm為非完全規格化的勒讓德函數，表示Ylm的復共軛。于是式（1）可寫為：

其中，

另一方面，U可以寫成球諧函數的形式：

由式（4）、（6）推導得：

式中，R為地球平均半徑，是完全規格化的勒讓德函數。

因此，體密度變化Δρ（r）引起的球諧系數｛ΔClm，ΔSlm｝變化如下：

假設地球質量遷移表現為地球表層上一個薄層，在式（8）中取r≈R，并用面密度變化Δσ（θ，λ）代替體密度變化Δρ（r），則由式（8）可得：

式中，Ω是積分區域，dΩ是積分單元?？紤]到固體地球受物質作用產生形變引起的球諧系數變化為：

式中，kl為負荷勒夫數。綜合式（9）、（10），對于地球上某一特定區域內質量變化引起的球諧系數變化量｛ΔClm，ΔSlm｝，可按公式（11）計算：

從式（11）可以看出，某個特定區域內的質量變化可等效為一組球諧系數的改變量。

進一步，將Δσ寫成Δσ＝10×ΔH的形式，ΔH為區域Ω內質量變化的等效水柱高度，即Mascon參數［5］。比例因子10的含義是1 m2區域內質量增加或減少10kg等效為區域內水柱升高或減少1cm。因此，式（11）又可寫為：

從式（12）可以看出，某個特定區域內，質量變化引起的球諧系數改變量與等效水柱高成正比。式（12）建立了地球重力場模型球諧系數改變量與區域質量變化等效水柱高之間的函數關系，通過該關系式可將不同區域的質量變化對地球重力場的影響分離出來［4］。Mascon方法正是利用該原理，提高了地球表層質量變化反演結果的空間分辨率。

2 仿真實驗

2.1 實驗設計

根據§1 可知，給定區域質量變化的等效水柱高，就可按照式（12）計算出一組球諧系數的改變量。因此，為分析星間距離變率對地球表層區域質量異常敏感程度，以GRACE衛星為背景，采用STK 軟件仿真生成GRACE 衛星軌道及星間距離變率數據，并設計如下實驗方案。

2）以兩顆衛星星下點軌跡經過的某一點為中心的正方形區域，模擬增加一定等效水柱高度的質量變化，并計算等價的球諧系數改變量｛ΔClm，ΔSlm｝。

3）將球諧系數改變量｛ΔClm，ΔSlm｝和穩態重力場模型對應階次相加，得到新的重力場模型｛Clm，Slm｝。

4）在新的重力場模型｛Clm，Slm｝條件下，重新積分得到兩顆衛星的軌道，并計算對應時刻的星間距離變量值。

2.2 實驗結果與分析

仿真實驗中模擬生成了24h 的GRACE 衛星軌道及星間距離變量數據。衛星星下點軌跡如圖1所示，在仿真時段內衛星星下點軌跡兩次經過圖1中圓點位置。以該點為區域中心，模擬增加一定等效水柱高度的質量變化。

首先，取以圓點為中心4°×4°的實驗區域，在該區域內模擬增加5cm 等效水柱高的質量變化，計算得星間距離變率殘差時間序列如圖2（a）所示。

圖1 仿真時段內GRACE衛星星下點軌跡Fig.1 Ground track of GRACE satellites in simulation time

圖2（a）顯示，星間距離變率殘差在兩個較短時段內出現了跳變，而這兩個時段正好對應兩顆衛星通過質量異常區域上空，表明星間距離變率對地球表層區域質量變化很敏感，當衛星經過質量異常區域上空時，星間距離變率觀測值能夠敏感反映出該區域質量異常。以兩顆衛星第一次通過質量異常區域時段為例進行分析（圖2（b））。由圖2（b）可以看出，在兩顆衛星通過質量異常區域的時段內，呈現正弦函數變化，變化量可達3.0×10－8m／s，變化時間約為570s，換算成空間域約19.6°范圍。因此，由仿真結果可知，4°×4°區域的5cm 等效水柱高質量異常低低跟蹤衛星星間距離變率觀測值的影響范圍約為星下點軌跡距質量異常區域中心點9.8°的范圍，而該范圍以外的區域，星間距離變率觀測值對該區域質量異常不敏感。上述實驗結果表明，區域質量異常對星間距離變率的影響在空間分布上是有限的。

由式（12）可知，地球表層區域的質量變化會引起重力場的局部變化，重力場的局部改變使得兩顆衛星軌道也發生改變，衛星軌道的變化又引起星間距離變率的改變。以兩顆衛星的基線中點為研究對象進行分析，如圖3所示。

圖2 星間距離變率殘差變化Fig.2 Residual of intersatellite range rate

圖3 衛星通過質量異常區域示意Fig.3 Satellites go across mass anomalyregion

當兩顆衛星進入到質量異常影響范圍后，基線中點受區域質量異常引起的加速度在基線方向上的分量為：

式中，G為萬有引力常數，Δm為該區域質量變化，r為衛星到區域中心的距離，θ為區域異常引起的加速度方向和基線方向的夾角。令GΔm·f（t），由于G、Δm為大于0的常數，因此，加速度和函數f（t）的變化是一致的：

f（t）變化如圖4所示。對比圖2（b）可以看出，在兩顆衛星通過質量異常區域的時段內，f（t）的變化與星間距離變率殘差的變化基本一致，兩組時間序列的相關系數為0.92。這是因為地球表層區域質量變化引起地球重力場的局部改變，當兩顆衛星進入到質量異常區域影響范圍后，質量異常引起的加速度在兩衛星基線方向上的分量使得星間距離變率發生改變。因此，星間距離變率的變化與質量異常引起的加速度在基線方向分量的變化相同。而當兩衛星位于圖3中的C和C′點，即兩衛星到質量異常區域距離相等時為0，相應的星間距離變率殘差也為0。

圖4 函數f（t）的變化Fig.4 Variation of function f（t）over time

由以上分析可知，區域質量異常引起地球重力場的局部改變，重力場局部改變引起的加速度在兩顆衛星基線方向上的分量使得星間距離變率發生變化。為進一步分析星間距離變率對區域質量異常的敏感度，設計兩組實驗進行分析。

實驗一 保持模擬區域質量變化的等效水柱高度不變，分析質量異常區域大小對星間距離變率殘差影響。等效水柱高度取5cm 不變，區域大小分別為2°×2°、4°×4°、6°×6°和8°×8°，所得結果如圖5所示。從圖5可以看出，隨著質量異常區域面積的增大，在兩顆衛星通過質量異常區域上空時，星間距離變率殘差Δρ·的變化幅度逐漸增大，4種情形下變化量分別為0.8×10－8、3.0×10－8、5.6×10－8和8.2×10－8m／s。

圖5 不同區域大小質量異常對星間距離變率影響Fig.5 Influence of mass anomaly to KBRR observation with different area

實驗二 保持質量異常區域大小為4°×4°，質量變化等效水柱高分別為2、4、6和8cm，所得星間距離變率殘差結果如圖6所示。從圖6可以看出，隨著質量變化的等效水柱高度增大，在兩顆衛星通過質量異常區域上空時，星間距離變率殘差的變化幅度逐漸增大，4種情形下變化量分別為1.2×10－8、2.5×10－8、3.6×10－8和4.8×10－8m／s。

以上兩個實驗結果表明，星間距離變率對區域質量異常非常敏感，星間距離變率殘差的變化幅度與該區域質量變化Δm的大小有關。Δm表達式為：

式中，ρw為水密度，ΔH為該區域內等效水柱高度變化，S為區域面積。顯然，在保持區域面積S或等效水柱高H不變的情況下，隨著H或S的增大，區域質量變化Δm也相應增大，星間距離變率殘差變大，表明對該區域質量異常敏感程度提高。

圖6 不同等效水高區域質量異常對星間距離變率影響Fig.6 Influence of mass anomaly to KBRR observation with different equivalent water height

3 結 語

1）區域質量異常對星間距離變率的影響在空間分布上是有限的，對于4°×4°區域的5cm 等效水柱高質量異常，星間距離變率觀測值的影響范圍集中在星下點軌跡距離區域中心點約9.8°左右的范圍。

2）星間距離變率觀測值對區域質量變化非常敏感，4°×4°區域2cm 等效水柱高的區域質量異常引起的星間距離變率變化量為1.2×10－8m／s，星間距離變率觀測值變化量隨著區域質量的增大而增大。

［1］肖云.基于衛星跟蹤衛星數據恢復地球重力場的研究［D］.鄭州：信息工程大學，2006（Xiao Yun.Research on the Earth Gravity Field Recovery from Satellite－to－Satellite Tracking Data［D］.Zhengzhou：Information Engineering University，2006）

［2］Wahr J，Molevarar M，Bryan F.Time Variability of the Earth’s Gravity Field：Hydrological and Oceanic Effects and Their Possible Detection Using GRACE［J］.Journal of Geophysical Research，1998，103（B12）：30 205－30 229

［3］Han S C，Shum C K，Braun A.High－Resolution Continental Water Storage Recovery from Low－Low Satellite－to－Satellite Tracking［J］.Journal of Geodynamics，2005，39（1）：11－28

［4］Rowlands D D，Luthcke S B，Mccarthy J J，et al.Global Mass Flux Solutions from GRACE：A Comparison of Parameter Estimation Strategies－Mass Concentrations Versus Stokes Coefficients［J］.Journal of Geophysical Research，2010，115（B01）：414－431

［5］張坤.基于Mascon方法確定時變地球重力場的研究［D］.武漢：武漢大學，2011（Zhang Kun.Study on the Earth’s Temporal Gravity Field Using Mascon Method［D］.Wuhan：Wuhan University，2011）

［6］王雷.GRACE 時變重力場［D］.武漢：武漢大學，2006（Wang Lei.Time－Variable Gravity Field from GRACE［D］.Wuhan：Wuhan University，2006）

［7］Klosko S，Rowlands D，Luthcke S，et al.Evaluation and－Validation of Mascon Recovery Using GRACE KBRR Data with Independent Mass Flux Estimates in the Mississippi Basin［J］.Journal of Geodesy，2009，83（9）：817－827

［8］Chao B F，Gross R S.Changes in the Earth’s Rotation and Low－Degree Gravitational Field Induced by Earthquakes.［J］.Geophysical Journal International，1987，91（3）：569－596