多類重力場模型的精度分析

郭春喜，張盼盼,馬艷鴿

(1.長安大學 地質工程與測繪學院，陜西 西安 710064;2.國家測繪地理信息局大地測量數據處理中心，陜西 西安 710054)

高分辨率、高精度的地球重力場模型在物理大地測量中發揮著重要的作用[1-2]。隨著衛星重力計劃的實施，使得重力場模型的精度和分辨率得到改善，CHAMP、GRACE、GOCE等重力衛星使得全球重力場模型的中低階的精度提高兩個量級或者更高[3-4]。章傳銀等[5]利用大陸的GPS水準實測高程和空間異常數據，對EGM2008重力場模型進行外部檢核。Gilardoni[6]等利用GOCE重力衛星數據和EGM2008構建GECO超高階重力場模型。GKostelecky等[7]利用GNSS/水準數據對EIGEN-6C4重力場模型進行外符合精度的檢核。鄭增記等[8]從重力場模型的大地水準面起伏誤差階方差及位系數差階方差兩個方面對GOCE衛星重力數據建立的重力場模型進行分析，得出相較于GRACE衛星，GOCE衛星所獲得的重力場信息更加精確、更加豐富的結論。趙德軍等[9]從大地水準面累計誤差、幾何水準面與重力水準面之差和不同重力場模型之間進行譜組合3個方面評估GOCE重力場模型的精度，得出GOCE數據能夠提高重力場中頻、甚至高頻信號的結論。但是以上文獻對EGM2008、GECO和EIGEN-6C4超高階重力場模型進行整體精度評估的研究較少，另外對于不同重力場模型之間進行組合有待進一步研究。本文首先在重力場模型的內部檢核及外部檢核兩個方面重點探討EGM2008、GECO、EIGEN-6C4、GOCO03S、GO_CONS_GCF_2_DIR_R5和GO_CONS_GCF_2_TIM_R5的精度趨勢，并分析不同模型之間的差異。其次，對GOCO03S、GO_CONS_GCF_2_DIR_R5和GO_CONS_GCF_2_TIM_R5重力場模型選取合適的截斷階次，進一步聯合EGM2008、GECO或EIGEN-6C4超高階重力場模型進行不同階次的組合獲得組合重力場模型，可望提高重力場模型的精度。

1 原理與方法

1.1 高程異常計算

根據重力場模型,計算GNSS控制點P的模型高程異常[3,10]：

(1)

1.2 重力場模型的內符合精度檢核

重力場模型的內符合精度檢核通常有兩種方法，一種是比較重力場模型的階方差，另一種是比較不同重力場模型之間位系數差的階方差，兩者都可以用大地水準面高的形式表示[10-11]：

(2)

(3)

(4)

(5)

其中：n=n′。

1.3 重力場模型的外符合精度檢核

利用GNSS/水準數據進行重力場模型的外符合精度檢核，由式(1)可計算GNSS控制點P的模型高程異常ξp，由GNSS/水準數據確定高程異常的方法為

ζGNSS/水準=H-h.

(6)

式中：H為大地高，h為水準實測的正常高。因此可以得出殘差高程異常為

Δζ=ζGNSS/水準-ζp.

(7)

則利用下式進行重力場模型的外符合精度評定

(8)

式中：n為觀測值的個數。

1.4 組合重力場模型的確定

組合重力場模型是對低階重力場模型截取可靠的階次，對超高階重力場模型利用低階重力場模型進行不同階次的組合，得到各自對應的組合重力場模型。具體的步驟：

1)對低階重力場模型選擇截斷階數k(k=10，20，30，…，N；N為低階重力場模型的最大階數)，組成新的重力場模型，新模型的0～K階由低階重力場模型獲取，K到2 190階由超高階重力場模型相應的階補充得到。

2)利用新的重力場模型計算GNSS點對應的模型高程異常，由式(7)計算殘差高程異常，然后由式(8)計算模型的精度。

3)選擇精度最高的模型為最終的組合重力場模型，其對應的階數k為最佳的截斷階數。

2 算例分析

2.1 重力場模型內符合精度檢核

本文選擇EGM2008、GECO、EIGEN-6C4超高階重力場模型及GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5低階重力場模型進行實驗分析，由式(2)計算6個重力場模型的大地水準面階方差，結果見圖1。由圖1可以看出：EGM2008、GECO、EIGEN-6C4及DIR_R5四個重力場模型的階方差均保持在mm級，而GOCO03S模型在0～191階的階方差保持在mm級，191階之后的精度達到dm級，TIM_R5模型在0～228階的階方差保持在mm級，228階之后的精度達到dm級；EGM2008、GECO及EIGEN-6C4三個超高階模型的階方差最大分別出現在108、215和358階，在此之后階方差逐漸變小，而GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5模型的階方差最大分別出現在248、298和279階，此時已接近其最大階數；GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5模型中低階位系數與EGM2008模型相比，各模型階方差分別在168、229和194階之前都小于EGM2008模型的階方差，由于3個模型中都加入GOCE衛星數據。GOCO03S在109階之前的階方差略小于GECO模型的階方差，由于GOCO03S模型除利用GOCE衛星信息，還加入GRACE、CHAMP衛星信息和激光測距的信息。TIM_R5的階方差基本都大于GECO模型的階方差，由于GECO模型除了利用GOCE衛星數據的信息之外，還利用了GRACE衛星的信息。DIR_R5模型的階方差在227階之前小于GECO模型的階方差，這是由于DIR_R5模型不僅利用了GOCE數據，還利用了25a的LAGEOS激光測衛的數據以及8a的GRACE數據。GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5模型的階方差大體上都大于EIGEN-6C4模型的階方差，這是由于EIGEN-6C4模型的求解過程中加入25a的LAGECO激光測距數據、k波段變率數據、(92/12)a的SST數據以及350 d的GECO數據； DIR_R5和TIM_R5模型的階方差在150階之內基本保持一致，150階之后， TIM_R5模型的階方差明顯小于TIM_R5模型的階方差，同樣這是由于DIR_R5模型不僅利用了GOCE數據，還利用了25a的LAGEOS激光測衛的數據以及8a的GRACE數據。GOCO03S模型階方差在130階之后明顯大于DIR_R5和TIM_R5模型的階方差，這是由于GOCO03S模型僅利用短時間的GOCE衛星觀測數據；EGM2008的階方差在235階之前大于GECO模型的階方差，因為GECO模型的求解過程中引入了GOCE衛星數據來改善高頻信息，在235階之后二者的階方差相同；EIGEN-6C4模型的階方差除在251～374階之外，階方差均小于EGM2008和GECO模型的階方差，同樣是由于EIGEN-6C4模型的求解過程中加入了25a的LAGECO激光測距數據、k波段變率數據、(92/12)a的SST數據以及350 d的GECO數據。

圖1 6種重力場模型大地水準面高階方差統計圖

根據式(2)和圖1得到的重力場模型階方差信息，利用式(4)計算6個重力場模型的累計階方差如圖2所示。從圖2可以看出：6個重力場模型中，EIGEN-6C4模型的階方差最??； DIR_R5模型的累計階方差小于EGM2008、GOCO03S和TIM_R5模型的累計階方差。DIR_R5模型的累計階方差在257階之前小于GECO模型的累計階方差，在此之后大于GECO模型的累計階方差；GOCO03S和TIM_R5模型的累計階方差小于EGM2008模型累計階方差的階次分別為212和251，GOCO03S和TIM_R5模型的累計階方差都大于GECO和EIGEN-6C4模型的累計階方差；EGM2008、GECO和EIGEN-6C4模型的累計階方差大約分別在300、500和370階之后趨于穩定，變化不是很明顯。

圖2 6種重力場模型大地水準面高累計階方差統計圖

由于EIGEN-6C4模型的內符合精度優于其他5個模型，以該模型為基準檢核其他5個的模型互差階方差，檢核GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5低階重力場模型互差階方差時，EIGEN-6C4模型分別取各低階模型的最大階數進行計算。利用式(2)和式(5)分別計算其余5個模型的互差階方差和互差累計階方差如圖3和圖4所示。

圖3 模型與EIGEN-6C4模型互差階方差

圖4 模型與EIGEN-6C4模型互差累計階方差

由圖3可以看出：對于EGM2008、GECO超高階重力場模型的互差階方差在高頻部分呈現出較大的差異，而在超高階部分兩種模型的互差階方差表現出很好的符合性；對GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5低階重力場模型，150階之后，DIR_R5模型的互差階方差最小，TIM_R5模型的互差階方差次之，GOCO03S模型的互差階方差最大。

由圖4可以看出：EGM2008模型的位系數差累計階方差大約在250階之后趨于穩定， GECO模型的位系數差累計階方差大約在350階之后趨于穩定；GECO模型的位系數差累計階方差明顯小于EGM2008模型的累計階方差，由于GECO模型中加入GOCE衛星數據，其0～360階的精度得到改善。3種低階重力場模型的位系數差的累計階方差中，DIR_R5模型的位系數差的累計階方差最小。

2.2 重力場模型外符合精度檢核

本文選取長江南京段控制網數據進行重力場模型的外符合精度檢核，總共有53個高精度的GNSS控制點，每個點位都有基于WGS-84坐標系下的大地坐標以及二等水準高程數據。圖5為點位分布圖。

圖5 點位圖

對EGM2008、GECO、EIGEN-6C4、GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5重力場模型選取不同的階次，分別計算53個GNSS控制點對應的模型高程異常，并與GNSS/水準實測的高程異常做比較，并且利用式(8)評價精度，結果見表1。從表1可以看出：在250、280及300階次，GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5重力場模型的外符合精度比EGM2008、GECO和EIGEN-6C4模型的外符合精度高，說明GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5低階重力場模型具有精度較好的高頻信息；GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5三個低階模型，DIR_R5模型的外符合精度最高，TIM_R5的外符合精度次之，GOCO03S的外符合精度最低；EGM2008、GECO及EIGEN-6C4模型的外符合精度明顯高于GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5模型的外符合精度以及EGM2008、GECO及EIGEN-6C4模型在250、280及300階次的外符合精度。

2.3 重力場模型譜組合

本文對GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5低階重力場模型截取可靠的階次，對EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場模型利用純衛星重力場模型進行不同階次的組合，得到各自對應的組合重力場模型(例如：GOCO03S/ EGM2008、GOCO03S/ GECO、GOCO03S/ EIGEN-6C4等，具體表示低階重力場模型與超高階重力場模型的組合重力場模型)。對EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場模型對應的組合重力場模型進行精度分析，結果分別見圖6、圖7及圖8。

表1 重力場模型與GNSS/水準的高程異常比較結果 m

圖6 EGM2008對應的組合重力場模型精度趨勢

圖7 GECO對應的組合重力場模型精度趨勢

圖8 EIGEN-6C4對應的組合重力場模型精度趨勢

由圖6、圖7及圖7可以看出EGM2008、GECO及EIGEN-6C4模型對應的組合模型在150階前的精度趨勢基本一致，在150階以后各組合模型的精度趨勢表現出明顯差異。選擇精度最高時對應的階次為組合模型的可靠截取階次，由圖6可以看出組合模型GOCO03S/EGM2008、DIR_R5/EGM2008及TIM_R5/EGM2008的可靠截取階階次分別為90、260及220。由圖7可以看出組合模型GOCO03S/ GECO、DIR_R5/GECO及TIM_R5/GECO的可靠截取階次分別為90、260及230。由圖8可以看出組合重力場模型GOCO03S/EIGEN-6C4、DIR_R5/ EIGEN-6C4及TIM_R5/EIGEN-6C4的可靠截取階次分別為90、2600及260。

組合模型以及EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階模型計算實測GNSS點位的高程異常值，并與GNSS/水準實測的高程異常值比較，結果見表2。由表2可以看出，在本實驗區域：EGM2008模型對應的組合模型精度最優為0.063 m，最差為0.072 m，而EGM2008模型的精度為0.074 m，因此高程異常的精度提升15%；組合模型的精度比EGM2008的精度高；GECO模型對應的組合模型精度最優為0.060 m，最差為0.074 m；而GECO的精度為0.078 m，因此高程異常的精度最高提升23%；組合模型的精度比GECO的精度都要高；EIGEN-6C4模型對應的組合重力場模型精度最優為0.064 m，最差為0.077 m；而EIGEN-6C4的精度為0.078 m。因此高程異常的精度最高提升18%；組合模型的精度比EIGEN-6C4的精度都要高；3種低階重力場模型對超高階模型的精度提升能力從大到小依次為DIR_R5、TIM_R5及GOCO03S。

表2 超高階模型及其對應的組合重力場模型與實測高程異常比較結果 m

3 結 語

1)EGM2008、GECO、EIGEN-6C4及DIR_R5四個模型的階方差均保持在mm級，而GOCO03S模型在191階之后的精度達到dm級，TIM_R5模型在228階之后的精度達到dm級。6個重力場模型中，EIGEN-6C4模型的累計階方差最小。

2)GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5模型中低階位系數與EGM2008模型相比，各模型階方差分別為168、229和194階之前都小于EGM2008模型的階方差，說明采用GOCE衛星數據可以提高重力場模型的高頻精度。

3)EGM2008、GECO模型的互差階方差在高頻部分呈現出較大的差異，而在超高階部分兩種模型的互差階方差符合性好；EGM2008模型的位系數差的累計階方差大約在250階之后趨于穩定， GECO模型的位系數差的累計階方差大約在350階之后趨于穩定；3個低階重力場模型的位系數差的累計階方差中，DIR_R5模型的位系數差的累計階方差最小。

4)利用GNSS/水準數據檢核組合重力場模型表明，組合重力場模型能提高重力場模型精度。EGM2008對應的組合重力場模型精度比EGM2008精度至少提高3%，最優提高15%。GECO對應的組合重力場模型精度比GECO精度至少提高5%，最優提高23%。EIGEN-6C4對應的組合重力場模型精度比EIGEN-6C4精度至少提高2%，最優提高18%。

5)3個低階重力場模型對超高階模型的精度提升能力從大到小依次為DIR_R5、TIM_R5及GOCO03S。