對機械波半波損失現象的物理解釋

李存志

(西安電子科技大學 物理與光電工程學院，陜西 西安 710071)

機械波的半波損失現象早已被證明［1－3］，不過證明過程均是利用數學方法，證明過程也并不復雜。盡管如此，人們對半波損失現象仍感到困惑，或者說人們承認對半波損失現象的數學解釋，但在物理上并未完全接受。本文則試圖用物理方法解釋半波損失現象。

如圖1 所示，平面簡諧波垂直入射到兩種介質分界面，將引起波的反射和透射。設入射波、反射波和透射波波函數分別為

圖1 平面簡諧波垂直入射到兩種介質分界面示意圖

式中，φ'1和φ2分別為x=0 處反射波和透射波相對于入射波的相位差，u1和u2分別為波在兩種介質中的傳播速度。

在分界面上(x=0 處)的邊界條件為

(1)位移連續，即

(2)應力連續，以縱波為例，有

式中，Y1和Y2分別為兩種介質的楊氏彈性模量。

通常，將式(1)、式(2)和式(3)代入式(4)和式(5)用數學方法證明半波損失現象。

1 用物理方法解釋半波損失現象

由式(1)、式(2)、式(3)、式(4)和式(5)可得出如下推論:

推論1 界面兩側質元具有相同的振動位移、速度和加速度。

推論2 對于同一質元，入射波引起的應變和入射波引起的振動速度反相。

這是因為

同樣可證明，反射波引起的應變和反射波引起的振動速度同相，透射波引起的應變和透射波引起的振動速度反相。

推論3 界面兩側質元的應變同相。

推論4 入射波的平均能流密度減去反射波的平均能流密度等于透射波的平均能流密度。

證明 將式(1)、式(2)、式(3)代入式(4)并對時間t 求導得

將式(1)、式(2)、式(3)代入式(5)并利用u1=得

將式(7)和式(8)相乘并在波的一個周期內對時間求平均得

式中，ρ1和ρ2分別為兩種介質的密度。式(9)正是波的能量守恒方程，可證明此方程對于機械波在固定端和自由端反射時亦成立。

由上述4 個推論可證明如下結論:

結論1 在界面處，反射波與透射波和入射波或者同相或者反相。

證明在界面處，假設在某時刻入射波在正向最大位移處，則在該時刻入射波引起的振動速度和應變應當為零。若此刻反射波和透射波引起的位移不在正向或負向最大位移處，則反射波和透射波引起的振動速度就應當不為零。根據推論1 和推論2，反射波和透射波引起的振動速度應當相等，因而反射波和透射波引起的應變應當相差一負號，這和推論3 相矛盾，即此刻反射波和透射波引起的位移只能在正向或負向最大位移處，結論得證。

結論2 在界面處，透射波和入射波同相。

證明 根據式(9)，反射波的振幅A'1小于入射波的振幅A1，因此在界面處無論反射波與入射波同相還是反相，入射波一側質元的合振動應當與入射波引起的振動同相，根據推論1，在界面處透射波與入射波同相。

結論3 當入射波由波密媒質進入波疏媒質時，在界面處反射波和入射波同相。

證明當入射波由波密媒質進入波疏媒質時，假設在界面處反射波與入射波反相，根據推論1，應有

將式(10)代入式(9)得

由于ρ1u1＞ρ2u2，根據式(11)有

上式與式(10)相矛盾，結論得證。

結論4 當入射波由波疏媒質進入波密媒質時，在界面處反射波和入射波反相。

證明 當入射波由波疏媒質進入波密媒質時，假設在界面處反射波與入射波同相，根據推論1，應有

將式(13)代入式(9)得

由于ρ1u1＜ρ2u2，根據式(14)有

上式與式(13)相矛盾，結論得證。

結論5 對于固定端，邊界條件式(5)失效，式(4)變為

即界面處位移連續且始終為零。

根據上式，透射波的振幅A2=0，即對于這情況沒有透射波，由式(9)得

即反射波的振幅等于入射波的振幅。反射波與入射波相干疊加形成駐波，為了保證界面處質元合振動位移始終為零，界面處應為波節(合振動振幅為零)，從而在界面處反射波與入射波反相。

對于固定端，邊界條件式(5)失效，而應當以下面的應力條件代替式(5)

結論6 對于自由端，邊界條件式(4)失效，式(5)變為

即界面處應力連續且始終為零。

根據上式，透射波的振幅A2=0，即對于這種情況亦沒有透射波，由式(9)得

即反射波的振幅等于入射波的振幅。反射波與入射波相干疊加形成駐波，為了保證界面處應力始終為零，界面處應為波腹(應變始終為零)，從而在界面處反射波與入射波同相。

3 結束語

根據界面處的邊界條件，利用物理方法解釋了機械波的半波損失現象，對半波損失現象的理解有了一個較為清晰的物理圖像。

［1］ 程守洙，江之永.普通物理學［M］.北京:高等教育出版社，1999.

［2］ 劉啟能.產生半波損失的條件究竟是什么［J］.大學物理，2000，19(6):14－15.

［3］ 劉志強.機械波半波損失的證明［J］.大理學院學報，2010，9(4):57－58.